王國鋒，李玉波，秦旭達，喻 秀，李啟銘

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

機械故障診斷在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中起著越來越重要的作用．對反映機械設備狀況的振動信號進行信號分析及特征提取，然后利用數(shù)學模型進行故障識別是目前故障診斷的主要方法．

滾動軸承是機械設備中故障常發(fā)部件，多變的工況條件以及設備自身的非線性，使反映軸承故障的動態(tài)信號表現(xiàn)出較強的非平穩(wěn)特性．目前信號主要的時頻分析方法有短時傅里葉變換、Wigner-Ville 分布、小波尺度分析等．這些方法的時頻分辨率都要受到不確定性原理的限制，因此無法同時在時域和頻域均得到很好的分辨率[1]．

故障識別模型以神經(jīng)網(wǎng)絡模型應用最廣，但利用神經(jīng)網(wǎng)絡模型進行故障識別需要大量的訓練樣本，在有限的訓練樣本情況下，泛化能力差，且優(yōu)化過程存在陷入局部極值的可能[2]；另外，大部分神經(jīng)網(wǎng)絡模型處理的是靜態(tài)模式分類問題，而旋轉(zhuǎn)機械的故障行為是一個動態(tài)變化的過程．

為此，筆者提出了應用時變自回歸(time-varying autoregressive ，TVAR) 和 隱 馬 爾 科 夫 模 型 (hidden Markov model，HMM)的滾動軸承故障診斷方法．時變自回歸模型是一種基于參數(shù)模型的時頻分析方法．它是在 AR(autoregressive)建模的基礎上發(fā)展起來的，TVAR 方法得出的時頻譜圖具有分辨率高、無交叉干擾項以及計算速度快等優(yōu)點，非常適合處理非平穩(wěn)信號，已在故障診斷領域有所應用[3-5]．隱馬爾科夫模型是信號動態(tài)時間序列統(tǒng)計模型，能夠?qū)σ粋€時間跨度上的信息進行統(tǒng)計建模和分類，具有嚴謹?shù)臄?shù)據(jù)結構和可靠的計算性能．它能通過較少的樣本訓練出可靠的模型，并按模式匹配原理，尋找與未知信號最相似的模式作為識別結果，現(xiàn)已成為語音識別的主流技術[6]．傳統(tǒng)故障診斷方法一直停留在靜態(tài)分析基礎上，忽略了故障變化發(fā)展的動態(tài)信息，而 HMM 用于故障診斷，可對故障變化的動態(tài)信息進行統(tǒng)計分析，能夠盡早地發(fā)現(xiàn)故障發(fā)展的跡象．與神經(jīng)網(wǎng)絡相比，保留了更多訓練數(shù)據(jù)的統(tǒng)計信息，具有更高的識別率和魯棒性[7]．

筆者結合了兩種模型的優(yōu)點，研究了非平穩(wěn)信號的時變參數(shù)建模以及隱馬爾科夫建模故障識別過程，并通過實驗驗證該方法在滾動軸承故障診斷中的可靠性．

1 時變自回歸模型

{x(t),t=1,2,…,N }是一非平穩(wěn)時間序列，TVAR是利用先前值 x (t ? i)來估計現(xiàn)在值 x(t)，可寫成

式中：x (t)為信號的采集值；ai(t)(i=1,2,…,p)為時變參數(shù)；p 為模型階數(shù)；e(t)為模型殘差，服從零均值正態(tài)分布．

將時變參數(shù){ai(t),i=1,2,…,p}作為一組基時間函數(shù) gj(t )的線性組合，即

式中：m 為擴展維數(shù)；aij為組合的時不變權值．

將式(2)代入式(1)，得

式中

這樣模型時變參數(shù)的估計問題就變成常參數(shù) aij的估計，從而把一個線性非平穩(wěn)問題轉(zhuǎn)化為一個線性時不變問題．

文獻[8]闡述了利用最小二乘法估計模型參數(shù) A的過程，在估計出參數(shù) A 之后就可以根據(jù)式(2)計算出時變參數(shù) ai(t)(i =1,2,…,p)，繼而求解模型方差，即

瞬時頻率能夠通過 TVAR 參數(shù) ai(t )提取．用各個時刻的參數(shù)依次計算出每個時刻的參數(shù)譜圖，疊加在一起就可以構造一個三維時頻譜圖，因此TVAR 譜函數(shù)定義為

2 隱馬爾科夫模型

HMM 是一個雙內(nèi)嵌式隨機過程，即 HMM 由兩個隨機過程組成：一是隱狀態(tài)轉(zhuǎn)移序列，它對應一個單純的 Markov 過程；二是與隱狀態(tài)有關的觀測序列．其中隱狀態(tài)轉(zhuǎn)移序列是不可觀測的，只能通過另一個隨機過程的輸出觀測序列進行推斷，所以稱之為隱馬爾科夫模型[9]．

HMM 可以記為 λ={Nλ，Mλ，πλ，Aλ，Bλ}或簡寫為λ={πλ，Aλ，Bλ}．其中 Nλ為模型中 Markov 鏈的狀態(tài)數(shù)目；Mλ為每個狀態(tài)對應的可能的觀測值數(shù)目；πλ為初始概率分布矢量；Aλ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；Bλ為觀測值概率矩陣，對于連續(xù)的 HMM，Bλ是一組觀測值概率函數(shù)．

圖1為1 個三狀態(tài)的離散HMM 的例子，由圖可以看出，1 個HMM 可以由1 組狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率以及與每一個狀態(tài)有關的觀測分布概率來定義．

圖1 三狀態(tài)HMM示意Fig.1 Diagram of three-state HMM

一個標準的HMM 模型需要解決概率計算、模型訓練和隱狀態(tài)估計3 個基本問題．

(1)概率計算．給定模型參數(shù) λ={πλ，Aλ，Bλ}、觀測序列 O={o1，o2，…，ot}，計算觀測序列 O 在給定模型下的概率，即計算似然 P(O︱λ)或者對數(shù)似然ln,P(O︱λ)，它表示參數(shù) λ 擬合數(shù)據(jù) O 的準確程度．可通過前向-后向算法對HMM 進行遍歷實現(xiàn)．

(2)模型訓練，即模型參數(shù)估計問題．也就是說，對于初始模型和給定用于訓練的觀測序列 O={o1，o2，…，ot}，如何調(diào)整模型 λ={πλ，Aλ，Bλ}的參數(shù)，使其能夠最好地擬合觀測數(shù)據(jù) ? argmaxλ=f (O?)λ，這可以通過EM 算法或Baum-Welch 算法實現(xiàn)．

(3)隱狀態(tài)估計．給定模型參數(shù) λ={πλ，Aλ，Bλ}和觀測序列 O={o1，o2，…，ot}，基于某種最優(yōu)準則估計最可能的隱狀態(tài)序列 Q={q1，q2，…，qt}，即估計產(chǎn)生觀測序列的最可能經(jīng)過路徑，這可以通過 Viterbi 算法估計實現(xiàn)．

3 TVAR-HMM故障診斷步驟

圖2所示為利用 TVAR-HMM 進行故障診斷的主要步驟．

圖2 TVAR-HMM故障診斷流程Fig.2 Flow chart of fault diagnosis based on TVAR-HMM

(1)對不同故障類型的振動信號進行 TVAR 建模，得到時頻譜圖．建模過程中，需要選定基函數(shù)gj(t)、模型階數(shù) p 和擴展維數(shù)m ，文獻[10]詳細介紹了它們的選擇方法．

(2)基于能量法提取故障特征．對信號 TVAR 建模后，故障信息完全體現(xiàn)在時頻譜圖上．用能量法提取故障特征可以更加有效地提取時頻圖上的故障信息．文獻[11]已研究了這種方法的有效性．其主要過程是：將時頻空間劃分為若干區(qū)域，分別計算其時頻局部能量，將時頻局部能量作為元素，組成特征向量．

(3)用特征向量訓練 HMM 模型．特征向量為HMM 模型的觀測序列，故障類型為隱狀態(tài)，1 種故障類型訓練1 個HMM 模型．

(4)利用訓練好的模型對測試樣本進行識別，即對于未知的觀測序列，分別計算在各個模型下的輸出概率，然后進行比較，選取輸出概率最大的模型，即代表識別出的故障類型．

4 實驗研究

為了驗證本文方法在實際故障診斷中的應用情況，筆者進行了實驗分析．實驗在一個故障模擬平臺上進行，包括驅(qū)動電機、軸承座、扭矩加載器和采集設備，見圖 3．通過更換正常軸承和故障軸承進行故障診斷實驗．實驗測試的軸承是深溝球軸承，型號為6205-2RS，品牌為SKF，其內(nèi)圈直徑為 25,mm，外圈直徑為52,mm，滾子直徑為7.94,mm．軸承故障用電火花加工而成，故障直徑分別為 0.177,8,mm、0.355,6,mm、0.533,4,mm,3 個等級，深度都為 0.279,4,mm．電機轉(zhuǎn)速為 1,797,r/min．振動信號由加速度傳感器拾取，分別采集安裝無故障軸承、外圈故障軸承、內(nèi)圈故障軸承、滾子故障軸承時的振動信號，各測得數(shù)據(jù) 50 組，每組2,048 點，采樣頻率為12,000,Hz．

圖3 實驗裝置Fig.3 Experimental device

4.1 TVAR建模與特征提取

對無故障、內(nèi)圈故障、外圈故障、滾子故障4 種狀態(tài)信號 TVAR 建模時，參照文獻[10]中的論述，基函數(shù)選擇傅里葉函數(shù)，采用AIC準則確定模型階數(shù)p．在確定模型階數(shù)前必須先確定擴展維數(shù) m，為了保證信號時頻譜的高分辨率和計算速度，一般模型的擴展維數(shù)取為 8～12．本次實驗選取擴展維數(shù) m=10，依據(jù)AIC 準則確定軸承無故障、內(nèi)圈故障、外圈故障、滾子故障狀態(tài)下模型階數(shù) p 分別為 11、15、15、12．

4 種類型的振動信號TVAR 建模后，可以得到相應的時頻譜，如圖 4(a)～(d)所示．由時頻譜中可以看出，不同故障類型軸承的振動信號的頻率成分是不同的，并且軸承存在故障時，時頻譜中存在時變性與沖擊性．圖 4(e)為軸承外圈故障信號時域波形，圖4(f)為軸承外圈故障信號經(jīng)傅里葉變換后得到的頻譜．通過圖4(d)～(f)的比較可以明顯看出圖4(d)與4(f)中信號的頻率成分保持一致，圖 4(d)與 4(e)中頻率成分發(fā)生沖擊的時間及時間間隔基本一致．這說明經(jīng) TVAR 建模得到的時頻譜具有較高的時頻分辨率．

基于能量法對時頻圖進行特征提取時，考慮到速度與精度雙重因素，經(jīng)過多次實驗分析，選擇將時頻譜分為16 部分(過多會影響HMM 訓練速度；過少會影響測試的準確度)，求每一部分能量的均值，將均值序列歸一化作為特征向量．通過特征提取，每種狀態(tài)得到 50 組 16 維的特征向量，4 種狀態(tài)共得到 4×50組特征向量．

圖4 4種狀態(tài)的時頻譜Fig.4 Time-frequency spectra of four states

4.2 HMM建模與故障識別

建模時，采用 4 個隱狀態(tài)代表無故障軸承、內(nèi)圈故障軸承、外圈故障軸承和滾子故障軸承，分別記作λ1、λ2、λ3、λ4．模型的觀測序列是 TVAR 建模后得到的 16 維特征向量．初始概率分布矢量、初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和初始觀測值概率矩陣均由 Matlab 中rand 函數(shù)隨機取得，然后歸一化．

選用120 組特征向量(每種狀態(tài)30 組)作為訓練樣本，訓練前需使用Lloyd 算法對特征向量進行標量量化．訓練算法為Baum-Welch 算法． HMM 的訓練過程中，隨著迭代次數(shù)的增加，最大對數(shù)似然估計值也在不斷增加，直到達到收斂誤差為止．訓練結束后，得到4 個隱狀態(tài)對應的4 個HMM 識別模型．圖5 給出了4 種狀態(tài)的HMM 訓練曲線，所有狀態(tài)在迭代次數(shù)20 都達到了收斂，收斂速度快．

圖5 HMM訓練曲線Fig.5 HMM training curves

在訓練好各狀態(tài) HMM 以后，將剩余的 80 組特征向量(每種狀態(tài)20 組)作為測試樣本輸入到各狀態(tài)HMM 模型中(測試前需使用 Lloyd 算法對特征向量進行標量量化編碼)，在各個模型下能夠各自輸出 1個對數(shù)似然概率值．對數(shù)似然概率值反映了特征向量與各 HMM 的相似程度，對數(shù)似然概率值越大，特征向量越接近該狀態(tài) HMM，特征向量屬于使輸出對數(shù)似然概率值最大的模型所對應的故障類型．識別算法選用 Viterbi 算法．表 1 給出了部分測試樣本的測試結果，通過得到的對數(shù)似然概率值，可以準確識別出軸承的故障類型；對于同一種故障類型，故障程度越高，得到的對數(shù)似然概率值越大．

為了比較基于HMM 和基于BP 網(wǎng)絡、RBF 網(wǎng)絡故障診斷模型的識別效果，將本實驗的數(shù)據(jù)分別用BP 網(wǎng)絡、RBF 網(wǎng)絡故障診斷模型來識別．網(wǎng)絡的層數(shù)設置為3 層，輸入層神經(jīng)元個數(shù)為16 個，輸出層神經(jīng)元個數(shù)為 4 個．采用與基于 HMM 故障診斷模型同樣的訓練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)分別訓練和測試 BP 網(wǎng)絡和RBF 網(wǎng)絡，得出診斷結果．

圖6為本次實驗中 3 種模型的故障識別正確率比較．由圖6 可見，基于 HMM 故障診斷模型的有效識別率明顯好于基于 BP 網(wǎng)絡或 RBF 網(wǎng)絡故障診斷模型．實驗結果表明，基于 HMM 故障診斷模型可以成功地診斷旋轉(zhuǎn)機械的軸承故障，識別率較高，穩(wěn)定性好．

表1 部分測試結果Tab.1 Some testing results

圖6 HMM、BP、RBF識別有效性比較Fig.6 Diagnosis accuracies of HMM、BP、RBF

5 結 論

(1)TVAR 模型非常適合非平穩(wěn)信號的處理，時變參數(shù)體現(xiàn)了信號頻率的時變性和沖擊性．TVAR 建模分析得到的信號時頻譜的分辨率高，且無交叉項的干擾，計算速度快．

(2)HMM 模型可以成功地對旋轉(zhuǎn)機械的軸承故障進行診斷，識別率高．由于其為動態(tài)時間序列統(tǒng)計模型，非常適合識別信息量大、非平穩(wěn)性強、特征重復再現(xiàn)性不佳的故障信號，在旋轉(zhuǎn)機械故障診斷中有很好的應用前景．

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