孫 聞，房大中，袁世強(qiáng)，薛振宇

(天津大學(xué)電力系統(tǒng)仿真控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

隨著電力市場化改革的不斷深入，為了追求更大的經(jīng)濟(jì)效益，市場參與者可能將系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)推向穩(wěn)定邊界；此外，電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大以及負(fù)荷的加重，也使得電力系統(tǒng)運(yùn)行的安全問題變得更加突出．近年來，世界各地不斷出現(xiàn)大規(guī)模停電事故[1-2]，造成了難以估計(jì)的損失，如何保證電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行是重大而迫切需要解決的問題[3]．

電力系統(tǒng)可能發(fā)生各種對正常運(yùn)行造成危害的故障或擾動(dòng)，為提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)采取必要的預(yù)防控制措施．預(yù)防控制是在危及電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定的擾動(dòng)發(fā)生之前采取的措施，其目的是消除系統(tǒng)運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)，具體措施包括改變電網(wǎng)結(jié)構(gòu)、調(diào)整發(fā)電機(jī)有功輸出等．在傳統(tǒng)的垂直管理模式下，預(yù)防控制措施由調(diào)度中心制定，其主要目的是確保系統(tǒng)的安全運(yùn)行．而在電力市場環(huán)境下，預(yù)防控制措施不但要考慮技術(shù)的可行性，還應(yīng)兼顧市場參與者的經(jīng)濟(jì)利益．因此，預(yù)防控制問題變?yōu)樵诖_保系統(tǒng)安全性的前提下實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)的優(yōu)化問題．文獻(xiàn)[4-5]提出了結(jié)合能量函數(shù)方法的動(dòng)態(tài)安全調(diào)度算法．文獻(xiàn)[6]假設(shè)故障持續(xù)時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)各發(fā)電機(jī)保持相同轉(zhuǎn)速，通過調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)的有功輸出提高系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[7-9]利用靈敏度方法計(jì)算發(fā)電機(jī)有功輸出的調(diào)整量．文獻(xiàn)[10-11]引入最優(yōu)控制原理用于計(jì)算暫態(tài)穩(wěn)定性能指標(biāo)對控制量的梯度．文獻(xiàn)[12]報(bào)道的是與緊急控制結(jié)合的綜合控制方法．

調(diào)整發(fā)電機(jī)的有功輸出在技術(shù)上可行性較強(qiáng)，通常作為預(yù)防控制的主要措施，其難點(diǎn)在于確定調(diào)整量．針對這一問題，筆者首先引入電力系統(tǒng)角半徑的概念，在此基礎(chǔ)上定義了暫態(tài)穩(wěn)定性能指標(biāo)，通過軌跡靈敏度仿真計(jì)算可得到性能指標(biāo)對發(fā)電機(jī)有功出力的梯度，該梯度信息可用于指導(dǎo)發(fā)電機(jī)有功輸出的調(diào)整．而且，筆者提出了以調(diào)整成本最小為目標(biāo)的最優(yōu)控制方法，并通過在 10 機(jī)典型新英格蘭電力系統(tǒng)上的算例驗(yàn)證了新算法的有效性和合理性．

1 暫態(tài)穩(wěn)定控制目標(biāo)

1.1 電力系統(tǒng)角半徑

對包含n 臺(tái)發(fā)電機(jī)的電力系統(tǒng)，定義δi和θi=δi?δCOI為第i 臺(tái)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子相對于系統(tǒng)同步轉(zhuǎn)速和系統(tǒng)慣性中心(COI)的角度，其中是系統(tǒng)慣性中心的角度，Mi為第i 臺(tái)發(fā)電機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)．發(fā)電機(jī)相對系統(tǒng)慣性中心的功角構(gòu)成一個(gè)以慣性中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的 n 維θ-角度空間．電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)中，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡可映射為各發(fā)電機(jī)功角對應(yīng)的相點(diǎn) (θ1,θ2,… ,θn) 在該 n 維空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡．令

式中 D 為電力系統(tǒng)角半徑，相當(dāng)于 n 維空間中相點(diǎn)與原點(diǎn)(慣性中心)的距離．在數(shù)學(xué)上，系統(tǒng)角半徑是某時(shí)刻所有發(fā)電機(jī)相對慣性中心的功角iθ的歐幾里得范數(shù)，可用于衡量發(fā)電機(jī)功角相對慣性中心的擺開程度．

若系統(tǒng)中一臺(tái)或多臺(tái)發(fā)電機(jī)失去同步，則至少有一臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角滿足由式(1)可知此時(shí)

求D 對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可得D 隨時(shí)間變化的速度v 和加速度a，即

圖1和圖 2 分別是穩(wěn)定和失穩(wěn)情況下 D、v、a 隨時(shí)間的變化曲線，對應(yīng)的故障為新英格蘭典型電力系統(tǒng)[13]的 28—29 線路的 28 號(hào)母線 0 時(shí)刻發(fā)生三相短路，分別在0.06 s 和0.08 s 后切除故障線路．

圖1 穩(wěn)定情況下D、v、a 隨時(shí)間的變化曲線Fig.1 Variation of D、v and a with time for the stable case

圖2 失穩(wěn)情況下D、v、a 隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Variation of D、v and a with time for the unstable case

1.2 穩(wěn)定控制性能指標(biāo)

由第 1.1 節(jié)分析可知，若系統(tǒng)遭受大擾動(dòng)后是穩(wěn)定的，角半徑 D 將在某一固定的范圍內(nèi)變化，否則將趨于無窮．對有危害故障，需要采取相應(yīng)的預(yù)防控制措施消除安全風(fēng)險(xiǎn)．首先定義暫態(tài)穩(wěn)定性能指標(biāo)為

式中：Dmax是研究時(shí)段內(nèi)系統(tǒng)角半徑的最大值；ρ是閾值．

由式(3)的定義可知，若ρ的取值恰當(dāng)，J＜0 說明D 是有界的，此時(shí)系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定運(yùn)行，因此 J＜0可作為對有危害故障進(jìn)行預(yù)防控制的目標(biāo)．下面討論ρ的取值問題．

如圖 1 和圖 2 所示，故障切除后，D 隨時(shí)間變化總要經(jīng)過一個(gè)減速的過程(a＜0)，穩(wěn)定情況下速度 v經(jīng)過減速過程后變?yōu)樨?fù)值，此后在正值和負(fù)值之間交替變化，因此 D 始終保持在一定的范圍內(nèi)；失穩(wěn)情況下速度 v 減至某一極小值(如圖中點(diǎn) A 所示，此時(shí)v ＞0，a =0)后轉(zhuǎn)為加速運(yùn)動(dòng)，此后 v 恒為正，D 單調(diào)遞增，趨于無窮．上述特性在對華北電網(wǎng)、南方電網(wǎng)等實(shí)際電力系統(tǒng)的仿真分析中也得到了充分驗(yàn)證．

為了更直觀地說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，分別以 D和v 為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可得到系統(tǒng)遭受大擾動(dòng)后的相圖，圖 3 和圖 4 分別是與圖 1 和圖 2 對應(yīng)的相圖．如圖所示，穩(wěn)定情況下相點(diǎn)總是在某一固定的區(qū)域(安全區(qū)域)內(nèi)運(yùn)動(dòng)；對失穩(wěn)情況，相點(diǎn)的軌跡經(jīng)過點(diǎn) A 后速度 v 迅速增加，沖出穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)失去穩(wěn)定．在數(shù)學(xué)上，點(diǎn)A 對應(yīng)失穩(wěn)情況下的連續(xù)曲線D(t)沿時(shí)間軸變化過程中的第 1 個(gè)由凸函數(shù)變?yōu)榘己瘮?shù)(即 a 由負(fù)變正)且滿足 v ＞0 的拐點(diǎn)．

將點(diǎn) A 對應(yīng)的角半徑 Dflex作為閾值ρ，則預(yù)防控制的目標(biāo)可寫作

結(jié)合圖 4，式(4)可理解為通過采取適當(dāng)?shù)念A(yù)防控制措施，使相點(diǎn)的軌跡始終保持在圖中虛線以左的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)．

圖3 穩(wěn)定情況下的相圖Fig.3 Phase diagram D -v for the stable case

圖4 失穩(wěn)情況下的相圖Fig.4 Phase diagram D -v for the unstable case

2 軌跡靈敏度計(jì)算

軌跡靈敏度分析是針對微分方程模型研究狀態(tài)變量變化對參數(shù)依賴性的方法，對穩(wěn)定控制以及參數(shù)調(diào)整有重要的指導(dǎo)意義．

電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可用微分代數(shù)方程組來描述，即

式中：x 和 y 分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量和代數(shù)變量；x0和y0為其對應(yīng)的初值；α 為可控參數(shù)．

式(5)的解記作 x(α,t) 和 y(α,t) ，將其按泰勒級(jí)數(shù)展開并忽略高階項(xiàng)，可得

式中 xα(t)和 yα(t)分別為 x 和 y 對α 的靈敏度，稱作軌跡靈敏度，反映了系統(tǒng)軌跡與可控參數(shù)增量的關(guān)系．

將式(5)對α 求偏導(dǎo)數(shù)可得

xα(t)的初值[14]為

式(8)～式(10)構(gòu)成了電力系統(tǒng)軌跡靈敏度的數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)(5)的伴隨系統(tǒng)．若系統(tǒng)仿真采用隱式梯形積分法，則只需在每一仿真時(shí)步增加1 次線性方程求解的工作即可得到軌跡靈敏度系統(tǒng)(8)～(10)的解．

令式(1)對α求偏導(dǎo)數(shù)可得到系統(tǒng)角半徑 D 對可控參數(shù)的靈敏度，即

其中

暫態(tài)穩(wěn)定性能指標(biāo)J 對可控參數(shù)α 的梯度為

將式(11)的結(jié)果代入式(13)即可得到 J 對控制量的梯度．筆者以發(fā)電機(jī)有功出力向量 PG作為控制量，則式(4)可轉(zhuǎn)化為

3 預(yù)防控制策略

3.1 數(shù)學(xué)模型

本文研究的預(yù)防控制是通過調(diào)整發(fā)電機(jī)有功輸出以消除系統(tǒng)安全運(yùn)行的潛在威脅．文中以調(diào)整成本最低作為目標(biāo)函數(shù)，即

式中：PGi為第 i 臺(tái)發(fā)電機(jī)當(dāng)前的有功輸出；PGi,min和PGi,max分別為第i 臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功輸出上限和下限．

3.2 計(jì)算流程

式(16)描述的最優(yōu)控制問題是一般的非線性規(guī)劃問題，筆者利用 MATLAB 自帶的優(yōu)化軟件包對其進(jìn)行求解．預(yù)防控制計(jì)算的流程如圖 6 所示．圖中flag 是標(biāo)識(shí)符，用于記錄系統(tǒng)是否穩(wěn)定，0 表示穩(wěn)定，1表示失穩(wěn)；暫態(tài)穩(wěn)定判據(jù)為研究時(shí)間內(nèi)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子相對慣性中心的角度均小于指定的門檻值；β 是修正因子，β∈ ( 0,1)；ε是允許的調(diào)整誤差．

需要指出的是，由于電力系統(tǒng)運(yùn)行的復(fù)雜性，預(yù)防控制問題的全局最優(yōu)解往往無法獲得．本文算法的特點(diǎn)是利用性能指標(biāo)對發(fā)電機(jī)有功輸出的梯度確定發(fā)電機(jī)有功出力調(diào)整的大小和方向，并與迭代計(jì)算相結(jié)合，最終得到接近全局最優(yōu)解的控制方案．

式中：Δ PGi是發(fā)電機(jī) i 的有功調(diào)整量；C ( Δ PGi)是調(diào)整量為Δ PGi時(shí)對應(yīng)的經(jīng)濟(jì)代價(jià)(本文中為發(fā)電機(jī)調(diào)整報(bào)價(jià))；NG是參與調(diào)整的發(fā)電機(jī)組總數(shù)．

在基于聯(lián)營體交易的實(shí)時(shí)電力市場中，各電廠的運(yùn)行機(jī)組需要向ISO 提交調(diào)整報(bào)價(jià)曲線，該曲線包括申請?jiān)黾映隽蜕暾垳p少出力兩部分[15]，如圖 5 所示．由于增加有功輸出需要增加燃料成本，故通常情況下增加出力的調(diào)整報(bào)價(jià)高于減少出力的調(diào)整報(bào)價(jià)．

圖5 實(shí)時(shí)電力市場發(fā)電機(jī)組調(diào)整出力報(bào)價(jià)曲線Fig.5 Bids curve of a unit in the spot market

預(yù)防控制的數(shù)學(xué)模型為

圖6 預(yù)防控制計(jì)算流程Fig.6 Flow chart of preventive control

4 算例分析

算例采用的10 機(jī)新英格蘭典型電力系統(tǒng)[13]如圖7 所示，其中 1 號(hào)發(fā)電機(jī)作為平衡機(jī)，系統(tǒng)中所有發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典模型，負(fù)荷采用恒阻抗模型，仿真時(shí)間為4 s，暫態(tài)穩(wěn)定功角門檻值為π rad，發(fā)電機(jī)有功輸出調(diào)整收斂精度ε=0.1 MW，修正因子β=0.4．為簡化計(jì)算，假設(shè)發(fā)電機(jī)增加出力和減少出力的報(bào)價(jià)相等．各發(fā)電機(jī)的初始有功輸出及上下限和調(diào)整報(bào)價(jià)如表 1 所示．算例的計(jì)算在 MATLAB 環(huán)境下實(shí)現(xiàn)，暫態(tài)過程的數(shù)值仿真采用隱式梯形法．

圖7 新英格蘭典型電力系統(tǒng)Fig.7 New England 10-generator 39-bus power system

表1 發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)和調(diào)整報(bào)價(jià)Tab.1 Generator data and adjusting bid

對兩個(gè)有危害故障進(jìn)行了分析，結(jié)果如表 2 所示．表中第 1 列是故障線路，28*—29 表示線路 28—29 的 28 號(hào)母線側(cè)發(fā)生三相短路故障，通過切除該線路消除故障；第3 列和第4 列分別是調(diào)整發(fā)電機(jī)出力前后的臨界切除時(shí)間(CCT)，可見本文的預(yù)防控制算法能夠有效地消除穩(wěn)定性風(fēng)險(xiǎn)．

表2 調(diào)整前后有危害故障分析結(jié)果Tab.2 Analysis results of severe contingencies before and after generation reschedulings

計(jì)算中引入修正因子β是為了防止過量調(diào)整，同時(shí)提高收斂速度．表 3 給出了β取值對計(jì)算結(jié)果的影響：β太小，雖然迭代次數(shù)減少，但計(jì)算精度下降；β太大則會(huì)降低收斂性．β的取值在 0.4～0.6 能夠兼顧收斂速度和計(jì)算精度．

表3 不同修正因子下的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Computation results for different β

本文算例中只考慮了單個(gè)故障的情況，若需同時(shí)處理多個(gè)有危害故障，只需增加約束條件(14)，即增加優(yōu)化問題(16)中的不等式約束即可．在計(jì)算過程中，可能出現(xiàn)可行域?yàn)榭盏那闆r(如發(fā)電機(jī)有功輸出約束不能夠滿足導(dǎo)致無解等)，此時(shí)說明僅靠調(diào)整發(fā)電機(jī)出力不能滿足暫態(tài)穩(wěn)定性的要求，需要結(jié)合其他穩(wěn)定控制措施，相關(guān)內(nèi)容另做研究．

5 結(jié) 語

通過軌跡靈敏度仿真計(jì)算，得到穩(wěn)定性能指標(biāo)對發(fā)電機(jī)有功輸出的梯度，該梯度信息可用于計(jì)算有功出力的調(diào)整量，最終得到暫態(tài)穩(wěn)定約束下控制成本最小的預(yù)防控制方案．該方法的優(yōu)點(diǎn)是不受元件模型的限制，穩(wěn)定性能指標(biāo)包含了所有發(fā)電機(jī)的功角信息，適用于多機(jī)失穩(wěn)的情況．此外，梯度計(jì)算可附在時(shí)域仿真程序中同時(shí)進(jìn)行，只需在仿真計(jì)算的基礎(chǔ)上增加少量的計(jì)算量．

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