孫艷萍， 宋士倉(cāng)

(1.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191; 2. 鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州 450052)

許多科學(xué)和工程中的實(shí)際問(wèn)題都有多尺度解，最典型的例子是具有細(xì)小微結(jié)構(gòu)復(fù)合材料問(wèn)題.一方面，由于數(shù)值計(jì)算需要巨大的計(jì)算存儲(chǔ)空間和CPU工作時(shí)間，我們很難直接得到帶有多尺度解問(wèn)題的數(shù)值模型；另一方面，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，預(yù)測(cè)多尺度解時(shí)常常很難達(dá)到較高的精度.因此，各種多尺度方法和均勻化方法[1]逐漸發(fā)展起來(lái)，文獻(xiàn)[2]中給出了求解帶有小周期系數(shù)的橢圓混合邊值問(wèn)題的高低階耦合雙尺度有限元方法，并給出了逼近誤差分析.文獻(xiàn)[3-5]提出的多尺度有限元方法提供了獲得粗糙網(wǎng)格上解的大尺度結(jié)構(gòu)的有效方式，這種方法在計(jì)算上有很多優(yōu)點(diǎn)，對(duì)粗糙網(wǎng)格問(wèn)題的求解更實(shí)用.

下面利用多尺度有限元方法求解周期復(fù)合材料振蕩系數(shù)雙曲問(wèn)題.

(1)

1 算法構(gòu)造和主要結(jié)果

(2)

(1)的弱形式為： 求uε∈W=

使得

(3)

使得

(4)

(5)

(6)

定理設(shè)uε(x,t)是問(wèn)題(1)的原始解，

(7)

(8)

整理可得:

將上式中的t改為τ，然后關(guān)于τ在(0，t)?(0，T)上積分，考慮到eε的初邊值條件和a(.,.)的強(qiáng)制性，由Poincare不等式和帶權(quán)的Cauchy不等式可得:

再次利用帶權(quán)的Cauchy不等式和Gronwall不等式可得:

從而可得:

由下一節(jié)的引理1，引理6即得結(jié)論成立.

2 幾個(gè)引理的詳細(xì)證明

由文獻(xiàn)(2)可知，問(wèn)題(1)的均勻化問(wèn)題為：

(9)

利用(6)中的結(jié)論，我們知道問(wèn)題(1)的漸近展開(kāi)解為：

u*(x，t)=u0(x，y，t)+εu1(x，y，t)+ε2u2(x，y，t)=

(10)

其中,u0(x，y，t)=u(x，t)為問(wèn)題(1)的均勻化問(wèn)題(10)的解，Nkl(y)滿足如下方程：

(11)

同樣,可以假設(shè)上述問(wèn)題的解具有如下展開(kāi)式：

(12)

其中,uI1(x，t)滿足

(13)

uI0(x，t)滿足問(wèn)題：

(14)

θIε(x，t)滿足問(wèn)題：

(15)

利用uI1(x，t)的定義可知

uI0(x，t)=∏hu0x∈K

(16)

(17)

類似的有

(18)

對(duì)上面兩式右端前三項(xiàng)逐項(xiàng)進(jìn)行分析，有如下引理2、3、4、5.

引理2 若u0(x,t),uI0(x,t)分別是問(wèn)題(10)和(15)的解，則:

(19)

(20)

證明由(3)及插值定理，可以直接得到

引理3 若u1(x,t),uI1(x,t)分別滿足(10)和(13)，則:

(21)

(22)

引理4 若θε(x,t)滿足問(wèn)題：

證明我們記Ωδ={x∈Ω,dist(x,?Ω)≥δ},并給出截?cái)嗪瘮?shù)ζ(x)，滿足

則在R2中， 0≤ζ(x)≤1;在Ω中，|ζ(x)|≤從而

將上式中的t改為τ，然后關(guān)于τ在(0,t)∈(0,T)上積分，考慮到θε的初邊值條件和a(.,.)的強(qiáng)制性，并利用帶權(quán)的Cauchy不等式可得:

(23)

(24)

由類似引理1的推導(dǎo)過(guò)程可得:

(25)

(26)

(27)

(28)

引理5 若θIε(x,t)是問(wèn)題(15)的解，則

證明首先注意到問(wèn)題(15)等價(jià)于下述問(wèn)題：

(29)

類似引理4的證明，可得:

(30)

從而平行于(26)，(27)，(28)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30), (31),(32),(33)可得:

所以

證明因?yàn)槎喑叨扔邢拊臻g是協(xié)調(diào)有限元空間，所以

再由引理2～5，可知引理6成立.

參考文獻(xiàn)：

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