何 艷

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

縱、橫波分離的數(shù)值模擬研究

何 艷

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

從彈性波方程散度和旋度求取入手，通過引入等價(jià)方程，論證了縱波為無旋場(chǎng)、橫波為無散場(chǎng)理論。利用有限差分模擬各向同性介質(zhì)中的地震波場(chǎng)，并分別計(jì)算散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)。結(jié)果表明，在滿足差分范圍內(nèi)速度無劇烈變化的情況下，通過該方法能有效地分離出縱、橫波場(chǎng)。另外，旋度運(yùn)算的矢量性質(zhì)造就了分離后的記錄在震源兩側(cè)極性反向的特性，而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)在物理特性方面極其相似。

彈性波方程；縱波；橫波；散度；旋度

通過彈性波方程數(shù)值模擬得到的是P波(縱波)和S波(橫波)的混合波場(chǎng)。對(duì)于由P波震源激發(fā)記錄中包含反射P波和轉(zhuǎn)換S波的地震數(shù)據(jù)，可以通過散度和旋度的計(jì)算將P波和S波分離?。彈性波縱橫波場(chǎng)分離最初由Dankbaar[1]提出，Devaney等[2]利用極化波分解對(duì)彈性波VSP數(shù)據(jù)中的PS波場(chǎng)進(jìn)行了分離；Dellinger等[3]在空間-頻率域中利用散度和旋度因子對(duì)各向異性介質(zhì)中的P、S波場(chǎng)進(jìn)行了分離。筆者從彈性波方程散度和旋度求取入手，通過引入等價(jià)方程，論證了縱波為無旋場(chǎng)、橫波為無散場(chǎng)理論，并利用有限差分模擬各向同性介質(zhì)中的地震波場(chǎng)。

1 彈性波方程的散度與旋度

關(guān)于位移場(chǎng)U(u,v,w)的X方向二階彈性波方程可以寫為：

(1)

式中，u、v、w分別為x、y、z方向的位移；λ、μ為拉梅系數(shù)；ρ為密度。類似地，可以得出Y、Z方向的方程。

根據(jù)縱波速度Vp、橫波速度Vs與拉梅系數(shù)λ、μ的關(guān)系：

從式(1)中消去λ、μ得:

(2)

引入縱波變量Up和橫波變量Us：

Up={up,vp,wp}Us={us,vs,ws}

(3)

關(guān)于U(u,v,w)的彈性波方程可以寫成關(guān)于Up(up,vp,wp)和Us(us,vs,ws)的等價(jià)方程組:

u=up+usv=vp+vsw=wp+ws

首先計(jì)算橫波散度：

可見，橫波散度為零，即橫波為無散場(chǎng)。

再計(jì)算縱波旋度：

可見，縱波的旋度為零，即縱波為無旋場(chǎng)。

2 數(shù)值模擬

上述結(jié)論存在的前提是均勻介質(zhì)，如果介質(zhì)非均勻，縱波旋度和橫波散度都將非零，因此，從單純的數(shù)學(xué)意義上來說，非均勻介質(zhì)中的彈性波場(chǎng)是不能進(jìn)行波場(chǎng)分離的。但從另一方面考慮，如果應(yīng)用有限差分來求導(dǎo)，數(shù)據(jù)應(yīng)用范圍只是差分范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與差分階數(shù)有關(guān))，在滿足差分范圍內(nèi)速度無劇烈變化的情況下同樣可應(yīng)用上述理論來分離波場(chǎng)。下面僅以二維彈性波方程為例進(jìn)行數(shù)值模擬。

圖1 速度模型

以水平層狀介質(zhì)為例，考察分離波場(chǎng)及地面記錄效果。速度場(chǎng)大小4000×2000m2，速度值如圖1所示，震源位于地表的水平位置中心點(diǎn)。模擬采用10×5m2的速度網(wǎng)格，方程求解同樣采用時(shí)間2階、空間8階有限差分。圖2展示了分離前后的瞬時(shí)波場(chǎng)，可以發(fā)現(xiàn)，波場(chǎng)分離后，縱波波場(chǎng)相對(duì)單一，即除直達(dá)P波外即為PP波(含極弱的SP轉(zhuǎn)換波)，而橫波波場(chǎng)除直達(dá)S波和PS轉(zhuǎn)換波外，還包含SS波。

圖3展示了地面接收到的X、Z分量及分離后的P、S波記錄，分離后的P波記錄為標(biāo)量，而橫波記錄的矢量性質(zhì)，造就了震源兩側(cè)記錄極性反向的特性，而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)恰恰吻合，因此，采用求取旋度的方式分離彈性波場(chǎng)中的橫波波場(chǎng)，為轉(zhuǎn)換橫波的模擬在物理特性方面提供了便利條件。

圖2 水平層狀彈性介質(zhì)中瞬時(shí)波場(chǎng)分離

圖3 水平層狀彈性介質(zhì)波場(chǎng)模擬及分離的地表記錄

3 結(jié) 論

從彈性波場(chǎng)的散度和旋度的求取入手，利用引入的等價(jià)方程論證了縱波的無旋及橫波的無散理論，通過理論推導(dǎo)及模型試算，得出以下結(jié)論：

1)在滿足差分范圍內(nèi)速度無劇烈變化的情況下，通過分別求取波場(chǎng)的散度和旋度能有效地分離出縱、橫波場(chǎng)。

2)由于散度運(yùn)算為標(biāo)量運(yùn)算，因此分離出的縱波波場(chǎng)為單一的標(biāo)量場(chǎng)。

3)旋度運(yùn)算的矢量性質(zhì)造就了分離后的記錄在震源兩側(cè)極性反向的特性，而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)恰恰吻合。因此，采用求取旋度的方式分離彈性波場(chǎng)中的橫波波場(chǎng)，為轉(zhuǎn)換橫波的模擬在物理特性方面提供了便利條件。

[1]Dankbaar J W M.Separation of P-waves and S-waves[J].Geophysical Prospecting, 1985, 33:970～986.

[2]Devaney A J, Oristaglio M L.A plane-wave decomposition for elastic wave fields applied to the separation of P-waves and S-waves in vector seismic data[J].Geophysics,1986,51:419～423.

[3]Dellinger J,Etnen J.Wave-field separation in two-dimension anisotropic media[J].Geophysics, 1990, 55: 914～919.

[編輯] 洪云飛

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1673-1409(2010)01-N051-04