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        關(guān)于Finsler遞歸定理的幾點(diǎn)注記

        2010-11-27 00:56:22燕子宗
        關(guān)鍵詞:優(yōu)化

        燕子宗,尹 飛

        (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

        關(guān)于Finsler遞歸定理的幾點(diǎn)注記

        燕子宗,尹 飛

        (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

        Finsler遞歸定理和S-引理,是二次約束二次優(yōu)化問題的2個(gè)基本結(jié)果。它們以及由Finsler遞歸定理發(fā)展起來的雙邊投影定理在魯棒優(yōu)化和控制領(lǐng)域扮演十分重要的角色。利用二次函數(shù)的連通特性證明了Finsler遞歸定理和S-引理的等價(jià)性,并給出了雙邊投影定理的一個(gè)新證明。

        Finsler遞歸定理;S-引理;雙邊投影定理

        Finsler遞歸定理主要有以下2個(gè)結(jié)果。

        定理1[1]設(shè)A,B是n階對(duì)稱矩陣且B是不定的,則存在t∈R使得A+tB半正定當(dāng)且僅當(dāng):

        xTBx=0?xTAx≥0

        (1)

        定理2[1](嚴(yán)格Finsler遞歸定理) 設(shè)A,B是n階對(duì)稱矩陣,則存在t∈R使得A+tB正定當(dāng)且僅當(dāng):

        x≠0xTBx=0?xTAx≥0

        (2)

        作為S-過程的最早結(jié)果,F(xiàn)insler遞歸定理有很長(zhǎng)的歷史并被重新證明多次[2]。由定理2發(fā)展起來的雙邊投影定理,在控制論的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮重要作用[3,4]。S-過程處理多個(gè)二次約束下二次優(yōu)化的可解性問題。1971年,Yakubovich[5]對(duì)單個(gè)二次約束下二次優(yōu)化的可解性給出了如下S-引理。

        定理3[5](S-引理) 設(shè)A和B是對(duì)稱實(shí)矩陣,二次不等式:

        xTAx≥0

        (3)

        xTBx≥0

        (4)

        成立的充分必要條件是存在非負(fù)常數(shù)λ≥0使得B-λA半正定。

        下面,筆者將證明定理1與S-引理的等價(jià)性,并給出了雙邊投影定理的一個(gè)新證明。

        1 Finsler遞歸定理與S-引理的等價(jià)性

        在對(duì)定理1和定理3等價(jià)性證明之前,首先對(duì)齊二次映射構(gòu)成的錐給出一個(gè)連通性結(jié)果。為了敘述方便,引入記號(hào):

        (5)

        代表由實(shí)對(duì)稱矩陣A∈Rn×n確定的二次錐,使用記號(hào)0(A)分別代表集合(A)所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合。

        引理1設(shè)A∈Rn×n為對(duì)稱矩陣,則集合(A)-{0}至多由2個(gè)連通區(qū)域構(gòu)成。

        證明當(dāng)A半正定時(shí),(A)為全空間Rn,(A)-{0}僅包含一個(gè)連通區(qū)域。當(dāng)-A半正定時(shí),(A)為原點(diǎn)集合,因此(A)-{0}為空。以下討論A是不定的情況。不妨假定A是對(duì)角矩陣且對(duì)角元素為1,-1或者0,因此二次錐(A)可以表示為如下形式:

        (6)

        式中,1≤klt;m≤n。

        若k=1,由錐優(yōu)化理論[6]可以知道,(A)由2個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的2個(gè)二階錐構(gòu)成,于是結(jié)論成立。

        若kgt;1,令x2=…=xk-1=0和xk=1,則二次錐(A)包含一個(gè)連通子集:

        下面給出定理1和定理3的等價(jià)性證明。

        (1)定理1?定理3。

        不妨設(shè)B是不定矩陣,由定理3的假設(shè)可以得到A也是不定矩陣。由定理1知,存在實(shí)數(shù)t使得B+tA半正定。另一方面,由定理3的假設(shè)知,若x1?0(-B),則x1?0(-A)。這一事實(shí)說明當(dāng)t≥0時(shí),B+tA不可能半正定,因此tlt;0。此外,若B是半正定矩陣,當(dāng)然t可以等于0。于是引理1得證。

        (2)定理3?定理1。

        定理1假設(shè)蘊(yùn)涵如下包含關(guān)系:

        (7)

        2 雙邊投影定理的新證明

        μPTP-Hgt;0

        (8)

        當(dāng)且僅當(dāng):

        (9)

        引理3[3](Gahinet-Apkarian) 設(shè)A∈Sn是對(duì)稱矩陣,且具有3×3分塊。則存在矩陣X使得:

        (10)

        當(dāng)且僅當(dāng):

        (11)

        引理2和引理3的證明參見文獻(xiàn)[7,8]

        Iwasaki-Skelton,Gahinet-Apkarian各自獨(dú)立的獲得了如下雙邊投影定理,它是定理2的一個(gè)新擴(kuò)展。下面給出雙邊投影定理及其一個(gè)新的證明。

        定理4設(shè)H∈Sn是對(duì)稱矩陣,P,Q是適當(dāng)維數(shù)矩陣,NP和NQ分別是由核空間N(P)和N(Q)的任意一組基作為列向量構(gòu)成的矩陣,則存在矩陣X使得:

        H+PTXTQ+QTXPlt;0

        (12)

        當(dāng)且僅當(dāng):

        (13)

        證明必要性顯然,下證充分性。設(shè)V1是N(P)∩N(Q)的一組基作為列向量構(gòu)成的矩陣,將其分別擴(kuò)充為N(P)和N(Q)的一組基,記擴(kuò)充的列向量構(gòu)成的矩陣記為V2和V3,即:

        R(V1,V2)=N(P)R(V1,V3)=N(Q)

        這里R(·)代表由矩陣的列向量構(gòu)成的線性空間。由線性代數(shù)知識(shí)得到,V1,V2和V3的列向量構(gòu)成N(P)⊕N(Q)的一組基。令V=(V1,V2,V3),則V列滿秩。

        取R(P)∩R(Q)一組基作為列向量構(gòu)成矩陣A,則:

        P+PA=Q+QA=A

        或者等價(jià)地,有:

        ATP+P=ATQ+Q=AT

        顯然AT的核空間N(AT)=N(P)⊕N(Q)。令X1=(QT)+AATP+,則有:

        由V的構(gòu)造知,PV=(O,O,PV3),QV=(O,QV2,O),因此有:

        由引理3知,在條件(13)的假定下,存在Y使得:

        (14)

        其中:

        3 結(jié) 語

        雙邊投影定理3的證明是對(duì)Gahinet-Apkarian給出證明的一種修改,該證明同時(shí)應(yīng)用了引理2和引理3。這2個(gè)引理都是定理4的特殊形式。例如在定理4中令P=Q可得引理2,若令:

        P=(O,O,I)Q=(O,I,O)

        則有:

        將其分別代入到式(12)和式(13)中就可以得到式(10)和式(11),即得引理3。

        [2]Uhlig F.Onaffine scaling algorithm about pairs of quadratic forms and exetnsions:A survey[J].Linear Algbra Appl,1979,25:219~237.

        [3]Gahinet P,Apkarian P.A linear matrix inequality approach toH∞control[J].Int J Robust and Nonlinear Control,1994,(4):421~448.

        [4]Iwasaki T,Skelton R E.All controllers for the generalH∞control problem:LMI existence conditions and state space formulas[J].Automatica,1994,30(8):1037~1317.

        [5]Yakubovich V A.S-procedure in nonlinear control theory[J].Vestnik Leningrad Univ,1971,(1):62~77.

        [6]Ben-Tal A,Nemirovski A.Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis,Algorithms and Engineering Applications[A].MPS-SIAM Series on Optimization[C].2001.

        [7]黃琳.穩(wěn)定性與魯棒性的理論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

        [8]俞立.魯棒控制:線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

        [編輯] 洪云飛

        O177.91;O224

        A

        1673-1409(2010)01-N021-03

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