陳耀輝

(南京財經(jīng)大學經(jīng)濟學院，江蘇 南京 210046)

孫春燕

(南京財經(jīng)大學應(yīng)用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046)

美式期權(quán)定價的一個非線性偏微分方程

陳耀輝

(南京財經(jīng)大學經(jīng)濟學院，江蘇 南京 210046)

孫春燕

(南京財經(jīng)大學應(yīng)用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046)

在最優(yōu)停時理論中，利用動態(tài)規(guī)劃原則，得到了關(guān)于美式(看漲或看跌)期權(quán)定價的一個非線性Black-Scholes型偏微分方程，利用粘性解的概念證明了該偏微分方程的解的存在性和唯一性，由此得到了美式期權(quán)定價的一個新方法。

美式期權(quán)定價；動態(tài)規(guī)劃原則；非線性Black-Scholes型偏微分方程；粘性解

與歐式期權(quán)定價存在解析表達式相反，美式期權(quán)定價是沒有顯式解的，美式期權(quán)的無套利定價是最優(yōu)停時問題的解[1，2]。簡單地說，最優(yōu)停時問題的解可以通過2個主要的方法確定：一是基于擬變分不等式公式[3～5]，二是基于自由邊界問題公式[6，7]。這2種方法都必須使用數(shù)值算法來確定美式期權(quán)價格，其優(yōu)點和不足見文獻[8]。

下面，筆者提出了關(guān)于美式期權(quán)定價問題的一個微分公式，在這個新的公式中，將要尋找一個函數(shù)v=v(t,x)滿足v(T,x)=g(x)和Black-Scholes類的非線性偏微分方程：

(1)

式中，x≥0，t∈[0,T)；r，d，σ為給定的常數(shù)；并且非線性項q是如下的形式：

(2)

式中，“現(xiàn)金流”函數(shù)c(x)按下式定義：

(3)

1 美式期權(quán)定價理論

假設(shè)股息支付股票的價格動態(tài)X(s)=Xl,x(s)是由幾何布朗運動(在等價鞅測度Q下)決定，即它按照下列隨機微分方程發(fā)展變化：

dX(s)=(r-d)X(s)ds+σX(s)dW(s)s∈(t,T]

(4)

其中，d≥0是股票的確定股息；r≥0是無風險利率；σgt;0是波動度； {W(s)|s∈[0,T]}是一個標準布朗運動；T是期權(quán)合約的執(zhí)行時間，具有初始條件X(t)=x。因此，一個美式期權(quán)的無套利定價是：

(5)

其中，上確界是對停時τ∈[t,T]而言；El,x表示在等價鞅測度Q條件X(t)=x下的期望。筆者將討論支付函數(shù)g:R→R:

(6)

式中，Kgt;0是合約的執(zhí)行價。

稱式(5)所定義的V(t,x)是最優(yōu)停時問題的值函數(shù)。?ε≥0，若下列動態(tài)規(guī)劃原則[9]成立：

(7)

則τε將是一個ε-最優(yōu)停時，對任意停時t≤θ≤τε:

V(t,x)=El,x[e-r(θ-t)V(θ,X(θ))]

(8)

選擇ε=0，則τ0是一個最優(yōu)停時，且過程：

M(s)=e-r(s-t)V(s,Xl,x(s))t≤s≤τ0

(9)

是一個鞅。由式(8)可以推出下列關(guān)于最優(yōu)停時問題的動態(tài)規(guī)劃原則[10]：

對任意停時θ∈[t,T]，有:

(10)

選擇τ=T，對任意停時θ∈[t,T]有：

V(t,x)≥El,x[e-r(θ-l)V(θ,X(θ))]

(11)

注：若選擇τ=t，則有V(t,x)≥g(x)(稱為早期執(zhí)行合約)。

式(5)定義的價值函數(shù)V(即美式期權(quán)定價)可通過上述2種方法得到[3,4，6,8,11]。為了以后討論的方便，在此給出價值函數(shù)V的一個重要性質(zhì)。

證明由文獻[12]知V是連續(xù)的，V的上界和下界可以利用0≤g(x)≤K(對于看漲期權(quán))和0≤g(x)≤x(對于看跌期權(quán))導(dǎo)出。

2 粘性解的存在性與唯一性

下面討論具有終值條件：

V(T,x)=g(x)x∈[0,∞)

(12)

的非線性Black-Scholes方程：

LBSV(t,x)-rV(t,x)=-q(x,v(t,x)) (t,x)∈QT

(13)

該終端定價問題的解構(gòu)造了美式期權(quán)定價問題的一個新的公式。

2.1粘性解的相關(guān)概念

(14)

另外，在[0,∞)上，如果v|l=T≤g，則v是終值問題式(13)的一個粘性下解。

另外，在[0,∞)上，如果v|l=T≥g，則v是終值問題式(13)的一個粘性上解。

引理1假設(shè)xgt;0時，v是式(13)的一個下解(上解)，則當x≥0時，v也是式(13)的一個下解(上解)。

并且在(t,x)處，v-φ有一個最大值(最小值)[13]。所以有下面基于半射流的上下解的等價定義：

2.2存在性與唯一性

為證明粘性解唯一性的需要，下面直接引入半連續(xù)函數(shù)的最大值原則：

a≤C，如果(a,p,X)∈P2、+v(t,x)，|x-xφ|+|t-tφ|≤ρ，|v(t,x)|+|p|+|x|≤M

則?Kgt;0，存在實數(shù)aφ,bφ∈R和2階矩陣Xφ,Yφ使得：

并且aφ-bφ=?lφ(tφ,xφ,yφ),對稱的2階矩陣A的范數(shù)定義為：

‖A‖=sup{|lt;Aξ,ξgt;||ξ∈R2,|ξ|≤1}

這里對看漲期權(quán)來說C1=0且C2=1，對看跌期權(quán)來說C1=K且C2=0。該解v與美式期權(quán)定價V相一致。

定理1的證明分2步進行，第1步(定理2)，證明美式期權(quán)定價式(5)是終值問題式(13)的一個粘性解，由此提供了存在性的結(jié)果。第2步(定理3)，證明一個關(guān)于上下解的比較原則，它暗示粘性解的唯一性。

2.2.1存在性

引理3式(6)定義的支付函數(shù)g是式(13)的一個下解。

證明只考慮看漲期權(quán)g(x)=(x-K)+的情形(看跌期權(quán)證法類似)。分下列5種情形來考慮：

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=dx-rK≥0

定理2式(5)定義的價值函數(shù)V(t,x)是終值問題式(13)的一個粘性解。

證明通過對式(5)的檢驗，V顯然滿足終值條件(12)。由此和性質(zhì)1，下面只須證明V既是非線性Black-Scholes方程式(13)的一個下解也是上解。

LBSφ(t,x)-rV(t,x)=LBSφ(t,x)-rφ(t,x)≤0

LBSφ(t,x)-rV(t,x)≥0

LBSφ(t,x)-rV(t,x)+q*(x,V(t,x))≥0

這就得出下解性質(zhì)的證明，定理2證畢。

2.2.2唯一性

(15)

進一步，假設(shè)存在一個有限常數(shù)C使得：

(16)

(17)

故終值問題式(13)至多存在一個粘性解v(t,x)，它是遞增的且至多在x處是線性的(當x→∞ )。

(18)

Φ(t,x,y)中懲罰函數(shù)Ψ(x,y)構(gòu)造如下：

(19)

?αgt;1和足夠小的ε，利用Φ(T,0,0)≤Φ(tα,xα,yα)和(16)，則有：

這就表示存在一個有限常數(shù)Cε(依賴于ε)使得xα,yα≤Cε。由此得到存在一個序列，仍記為(tα,xα,yα)，它收斂于(tε,xε,yε)∈[0,T]×[0,∞)×[0,∞)，當α→∞(對每個固定的ε)，由文獻[7]得到最大值點(tα,xα,yα)滿足：

考慮一種特殊的情形tε=T，注意到：

(20)

根據(jù)粘性上下解的定義有：

(21)

其中:

更進一步，在文獻[7]的基礎(chǔ)上使用式(20)便有：

根據(jù)H*和H*可能值的檢驗，可看出：

-C(yα)≤E4(α)≤max(0,C(xα)-C(yα))

如果λ選擇足夠大，上述不等式總是成立，與式(18)矛盾，故定理3成立。

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[編輯] 洪云飛

O211.9

A

1673-1409(2010)01-N011-06