吳筱怡,徐慧群

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

0 引 言

在文獻(xiàn)[1]中，作者研究了非負(fù)Ricci曲率緊致帶邊流形的剛性，得到如下結(jié)果：

定理A設(shè)Ω是(n+1)維具有非負(fù)Ricci曲率下界k≥0的緊致帶邊黎曼流形，非空邊界M=?Ω上有Ω的誘導(dǎo)度量，假設(shè)M的主曲率≥c>0，則λ1(M)≥nc2．

筆者改進(jìn)了上述結(jié)果，得到如下結(jié)論：

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω是帶邊界M=?Ω的n+1維黎曼流形，f是定義在Ω上光滑到邊界M上的函數(shù)．記

(1)

設(shè){e1,…,en-1,en}是局部幺正標(biāo)架，q∈?Ω，e1,…,en-1切于?Ω，en是外法向量．記

(2)

定義第二基本形式

(3)

平均曲率

(4)

文獻(xiàn)[2]中有下列Reilly公式：

(5)

其中Ric(,)是Ω的Ricci張量．

2 定理的證明

定理的證明

設(shè)z是M上對(duì)應(yīng)于特征值λ1的第一特征函數(shù)，即

Δz=-λ1z，

(6)

其中λ1=λ1(M)．

令f是下面Dirichlet問題的解：

(7)

由式(5)得到

(8)

則有

(9)

由式(6)，得到

(10)

所以有

(11)

再由于

(12)

則有

(13)

從而

(14)

即

定理得證．

[1] Xia Changyu. Rigidity of compact manifolds with boundary and nonnegative and nonnegative Ricci curvature[J]. Proc AMS,1997,125(6)：1801-1806．

[2] Robert C R. Application of the Hessian operator in a Riemannian manifold[J]. Indianauniv Math J,1997(26):459-472．

[3] Zhong Jiaqing, Yang Hongcang. On the estimate of the first eigenvalue of a compact Riemannian manifold[J]. Sci Sin, SerA,1984(12)：1251-1265．

[4] Xia Changyu. Rigidity and sphere theorem for manifolds with positive Ricci curvature[J]. Manuscripta Math,1994(85)：79-87．