洪東招

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

0 引 言

辮群這個概念于1925年由Artin引入[1]，并于1947年嚴(yán)格定義了辮群[2].辮群上的數(shù)學(xué)困難問題，比如共軛搜索問題、共軛分解問題和求根問題等，非常適合作為密碼學(xué)系統(tǒng)安全的基本困難假設(shè).Anshel等人[3]和Ko等人[4]開創(chuàng)性地將辮群上的數(shù)學(xué)困難問題應(yīng)用在密碼學(xué)里，此后，人們開始廣泛研究基于辮群的密碼系統(tǒng)，許多基于辮群的密碼學(xué)方案被提出來[5-13].

密鑰認(rèn)證在傳統(tǒng)公鑰密碼體制中是非常重要的.在傳統(tǒng)公鑰密碼系統(tǒng)中，每一個用戶都有一個密鑰對(公鑰，私鑰)，公鑰是公開的，攻擊者可以替換用戶的公鑰，從而仿冒用戶.那么，密鑰認(rèn)證的目的就是保證合法用戶的公鑰不能被偽造.因此，許多密鑰認(rèn)證方案被提出來[14-16].最近，卓等人[17]提出了基于辮群的密鑰認(rèn)證方案，然而，筆者將指出該方案的不安全性,易受公鑰替換攻擊，因而不滿足用戶公鑰的不可否認(rèn)性.通過改進(jìn)原方案的注冊和證書的生成和認(rèn)證階段，提出一個改進(jìn)的方案，能有效抵抗密鑰替換攻擊，從而滿足不可否認(rèn)性.

1 文獻(xiàn)[17]基于辮群的密鑰認(rèn)證方案

1.1 辮群簡介

1.1.1 定 義

辮群Bn(n∈N)是由生成元σ1,σ2,…,σn-1生成的有限表示的非交換無限群，并且當(dāng)n≥2時它的生成元滿足如下關(guān)系：

當(dāng)1≤i≤n-2時，σiσi+1σi=σi+1σiσi+1；當(dāng)|i-j|≥2時，σiσj=σjσi，因此，辮群Bn可以表示為

則稱LBn為做左辮群，RBn為右辮群，且?α∈LBn,?β∈RBn，有αβ=βα成立.

1.1.2 性 質(zhì)

辮群中的元素都可以通過標(biāo)準(zhǔn)形式來統(tǒng)一表示，即由p+1個參量(u,π1,π2,…,πp)表示，其中，u是整數(shù)；πi是個n階置換，該表示是唯一的.

1.1.3 困難問題

1)共軛查找問題(Conjugacy Search Problem, CSP)

條件：x,y共軛，即(x,y)∈Bn×Bn，滿足y=a-1xa,a∈Bn.

找到：b∈Bn，使得y=b-1xb.

2)一般共軛查找問題(General Conjugacy Search Problem, GCSP)

條件：(x,y)∈Bn×Bn，滿足y=a-1xa,a∈Bm,m≤n.

找到：b∈Bn，使得y=b-1xb.

3)共軛分解問題(Conjugacy Decomposition Problem, CDP)

條件：(x,y)∈Bn×Bn，滿足y=a-1xa,a∈Bm,m

找到：b1,b2∈Bm，使得y=b1xb2.

4)p次根問題(Root Problem, RP)

條件：(y,p)∈Bn×Z，滿足y=xp,x∈Bn.

找到：b∈Bn，使得y=bp.

1.2 方案描述

1.2.1 初始參數(shù)

具有左標(biāo)準(zhǔn)型的辮群Bn(一個辮群稱為是左標(biāo)準(zhǔn)型的，是指對于辮群中的2個辮元a,b，從a,b中猜出a或b是困難的)，其中，n是偶數(shù)；4個整數(shù)s,t,LBs,RBt以及一個足夠復(fù)雜的辮元x∈Bn.

1.2.2 密鑰產(chǎn)生

用戶選擇p,q∈RZ+,p,q≥2,a∈LBs，計算X=apxaq，則(X,a)是用戶的公私密鑰對.

1.2.3 注冊和證書的生成

在用戶注冊和生成證書的時候，將執(zhí)行以下操作：

1)選擇b∈RRBt作為自己的口令，且滿足RP問題對于a,b是足夠困難的，隨機(jī)數(shù)r∈LBs.

2)計算W1=bp，W2=bq，Y1=b-1xb，Y2=r-1xr，Y3=b-1Y2b，令α=(W1,W2,Y3),β=(r,Y1).

3)將α,β秘密地提交給服務(wù)器，服務(wù)器將α存放在公開口令表中，β存放在秘密口令中.

4)用戶生成證書C=apbpxbqaq，將X,C存放在公開密鑰目錄中.

1.2.4 認(rèn) 證

1)服務(wù)器的認(rèn)證.當(dāng)服務(wù)器收到α,β后，計算Y4=r-1Y1r，如果Y3=Y4，則認(rèn)為是用戶提交的，否則，拒絕接收.

2)當(dāng)有人(下稱驗(yàn)證者)需要使用X來加密消息時，將檢驗(yàn)用戶的公開密鑰證書，驗(yàn)證者執(zhí)行的操作分兩步：

①從公開密鑰目錄中得到用戶的公鑰X和證書C，從公開口令表中得到α；

②驗(yàn)證C=W1XW2，如果等式成立，則驗(yàn)證者承認(rèn)公鑰證書的正確性，就可以用X來加密消息，否則，他就拒絕X.

1.3 方案的不安全性

一個不誠實(shí)的用戶可以偽造用戶的公鑰和證書，具體攻擊如下：

1)選擇c∈LBs計算：X′=cXc,C′=cCc

2)將看到C′和X′滿足驗(yàn)證式：

從上述可知，驗(yàn)證式成立，如果使用X′來加密消息時，那么合法接收者無法解密密文，所以卓等人提出的基于辮群的密鑰認(rèn)證方案在公鑰替換攻擊下是不安全的，且不滿足用戶公鑰的不可否認(rèn)性.

2 對文獻(xiàn)[17]基于辮群的密鑰認(rèn)證方案的改進(jìn)

為了克服上面的攻擊，利用文獻(xiàn)[16]的方法對基于辮群的密鑰認(rèn)證方案進(jìn)行改進(jìn).初始參數(shù)和密鑰產(chǎn)生階段與原方案一樣.在此修改原方案中注冊和證書的生成階段和認(rèn)證階段，具體的過程如下.

2.1 注冊和證書的生成

前三步與原方案相同，主要改進(jìn)的地方在第四步，在存放X,C之前，服務(wù)器分別對它們簽名，而原方案是直接存放.

1)選擇b∈RRBt作為自己的口令，且滿足RP問題對于a,b是足夠困難的，隨機(jī)數(shù)r∈LBs.

2)計算W1=bp，W2=bq，Y1=b-1xb，Y2=r-1xr，Y3=b-1Y2b，令α=(W1,W2,Y3),β=(r,Y1).

3)將α,β秘密地提交給服務(wù)器，服務(wù)器將α存放在公開口令表中，β存放在秘密口令.

4)用戶生成證書C=apbpxbqaq，將X,C提交給服務(wù)器，服務(wù)器分別計算X的簽名SigS(X)，C的簽名SigS(C)，然后存放在公開密鑰目錄中.

2.2 認(rèn) 證

第一步與原方案相同，主要改進(jìn)的地方在第二步，由于公開密鑰目錄存放的是公鑰簽名SigS(X)和證書簽名SigS(C)，所以首先要驗(yàn)證簽名.

1)服務(wù)器的認(rèn)證.當(dāng)服務(wù)器收到α,β后，計算Y4=r-1Y1r，如果Y3=Y4，則認(rèn)為是用戶提交的，否則，拒絕接收.

2)當(dāng)有人(下稱驗(yàn)證者)需要使用X來加密消息時，將檢驗(yàn)用戶的公開密鑰證書，驗(yàn)證者執(zhí)行的操作分兩步：

①從公開密鑰目錄中得到用戶的公鑰簽名SigS(X)和證書簽名SigS(C)，從公開口令表中得到α；

②通過服務(wù)器的公鑰驗(yàn)證SigS(X)和SigS(C)的正確性.如果正確，驗(yàn)證C=W1XW2，如果等式成立，則驗(yàn)證者承認(rèn)公鑰證書的正確性，就可以用X來加密消息，否則，他就拒絕X.

3 安全分析

改進(jìn)后的方案不僅具有原方案的安全性，而且還增加了原方案沒有的安全性.由于在存放之前對用戶公鑰X和相應(yīng)的證書C服務(wù)器對它們分別進(jìn)行簽名，并且攻擊者不知道服務(wù)器的私鑰，那么攻擊者不能偽造服務(wù)器的簽名SigS(X)和SigS(C)，這使得攻擊者不能偽造出能滿足用戶公鑰驗(yàn)證式的用戶公鑰X和相應(yīng)的證書C，所以改進(jìn)后的方案能夠抵抗公鑰替換攻擊.

4 結(jié) 論

文章已經(jīng)證明卓等人提出的基于辮群的密鑰認(rèn)證方案是不安全的，不滿足不可否認(rèn)性，這對于密鑰認(rèn)證方案是致命的缺陷.通過對這個方案進(jìn)行改進(jìn)，能夠抵抗公鑰替換攻擊，滿足不可否認(rèn)性.辮群的公鑰密碼學(xué)有著廣闊的應(yīng)用前景，人們已經(jīng)開始尋求更加安全的、效率更高的、實(shí)用性更強(qiáng)的基于辮群的密碼系統(tǒng).

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