顧慶鳳

（浙江林學(xué)院理學(xué)院，浙江臨安 311300）

帶RCE抵消策略的負(fù)顧客M／M／1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)

顧慶鳳

（浙江林學(xué)院理學(xué)院，浙江臨安 311300）

考慮服務(wù)員在休假期間不是完全停止工作，而是以相對(duì)于正常工作時(shí)低些的速率服務(wù)顧客的M／M／1工作休假排隊(duì)模型.在此模型基礎(chǔ)上，筆者針對(duì)現(xiàn)實(shí)的M／M／1排隊(duì)模型中可能出現(xiàn)的外來(lái)干擾因素，提出了帶RCE（Removal of Customers at the End）抵消策略的負(fù)顧客M／M／1工作休假排隊(duì)這一新的模型.服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù).工作休假策略為空竭服務(wù)多重工作休假.抵消原則為負(fù)顧客一對(duì)一抵消隊(duì)尾的正顧客，若系統(tǒng)中無(wú)正顧客時(shí)，到達(dá)的負(fù)顧客自動(dòng)消失，負(fù)顧客不接受服務(wù).使用擬生滅過(guò)程和矩陣幾何解方法給出了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布，證明了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間的隨機(jī)分解結(jié)果并給出穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中正顧客的平均隊(duì)長(zhǎng)和顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間.

負(fù)顧客；工作休假；矩陣幾何解；穩(wěn)態(tài)分布；隨機(jī)分解

1 引 言

Gelenbe在20世紀(jì)90年代初首次提出了負(fù)顧客的排隊(duì)模型［3］.負(fù)顧客可以看成是某些工作的外來(lái)援助或取消信號(hào)，一般作為系統(tǒng)的制約因素而存在，能抵消系統(tǒng)中的正顧客.后來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者掀起了帶有負(fù)顧客的排隊(duì)模型的研究熱潮.關(guān)于負(fù)顧客的排隊(duì)模型的成果不斷涌現(xiàn)［4-6］.近幾年來(lái)，工作休假排隊(duì)系統(tǒng)［7-9］也是國(guó)內(nèi)外專家研究的熱點(diǎn)，此類模型的特點(diǎn)是在休假時(shí)服務(wù)員不會(huì)完全停止工作，而是以一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)比正常服務(wù)率低一些的速率進(jìn)行工作，比如說(shuō)醫(yī)院系統(tǒng)，醫(yī)院里在休假時(shí)會(huì)安排部分工作人員值班，不會(huì)讓所有的醫(yī)生都休息.從休假期間部分的利用系統(tǒng)資源的角度來(lái)說(shuō)，單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)的工作休假策略類似于多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)的部分服務(wù)臺(tái)休假策略，這可從文獻(xiàn)［11-12］中看出.如果服務(wù)員在工作休假期間的服務(wù)率減小為零，則我們得到了經(jīng)典的休假排隊(duì)模型（服務(wù)員在休假期間完全停止為顧客服務(wù)，只能做些其他的輔助工作）.所以，工作休假排隊(duì)是經(jīng)典休假排隊(duì)的擴(kuò)展.受文獻(xiàn)［4-6］的啟發(fā)，筆者考慮一個(gè)將負(fù)顧客和工作休假結(jié)合起來(lái)的模型，首次提出了帶RCE抵消策略的負(fù)顧客M／M／1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)，在RCE抵消策略下，負(fù)顧客可以看成服務(wù)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一次外來(lái)對(duì)服務(wù)臺(tái)的干擾，一次外來(lái)干擾抵消一名隊(duì)尾的正顧客，當(dāng)系統(tǒng)中沒(méi)有正顧客時(shí)，外來(lái)干擾自動(dòng)消失，負(fù)顧客不接受服務(wù).該模型在日常生活中有很廣泛的應(yīng)用，如在通訊系統(tǒng)中，當(dāng)數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇邮芘_(tái)時(shí)，數(shù)據(jù)傳輸看成正顧客的到達(dá)，外來(lái)的干擾信號(hào)看成負(fù)顧客的到達(dá).又如在商場(chǎng)中，通常的顧客看成正顧客，其他商家的誘惑等因素看成負(fù)顧客.

2 模型的描述

在M／M／1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)中引入帶RCE抵消策略的負(fù)顧客，該系統(tǒng)是有正、負(fù)兩類顧客的單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng).一旦系統(tǒng)內(nèi)無(wú)正顧客，服務(wù)員立刻開(kāi)始一個(gè)隨機(jī)長(zhǎng)度V的工作休假.在工作休假期間，服務(wù)員以低的服務(wù)率接待正顧客.若結(jié)束一次工作休假時(shí)系統(tǒng)中仍無(wú)正顧客，則繼續(xù)一個(gè)獨(dú)立同分布的工作休假.若在某次工作休假期間服務(wù)完某一個(gè)正顧客后系統(tǒng)中已有正顧客，則服務(wù)員終止工作休假并開(kāi)始以正常服務(wù)率（更高的服務(wù)率）接待正顧客，直到服務(wù)臺(tái)再次變?yōu)榭臻e.正顧客和負(fù)顧客均泊松到達(dá)，到達(dá)率分別為λ和ε.服務(wù)臺(tái)對(duì)正顧客在正常服務(wù)期和工作休假期的服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，均值分別為和，這里（η＜μ）.假定到達(dá)間隔、服務(wù)時(shí)間和工作休假時(shí)間相互獨(dú)立.服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù).工作休假策略為空竭服務(wù)多重工作休假.抵消原則為負(fù)顧客一對(duì)一抵消隊(duì)尾的正顧客（若有），若系統(tǒng)中無(wú)正顧客時(shí)，到達(dá)的負(fù)顧客自動(dòng)消失，負(fù)顧客只起抵消正顧客的作用，負(fù)顧客不接受服務(wù).

設(shè)工作休假時(shí)間V服從參數(shù)θ的指數(shù)分布，Qv（t）為時(shí)刻t系統(tǒng)中的正顧客數(shù).

J（t）定義如下：

由于到達(dá)間隔、服務(wù)時(shí)間和工作休假時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，則｛Qv（t），J（t）｝是一個(gè)擬生滅過(guò)程（quasi birth and death process，簡(jiǎn)記QBD），有狀態(tài)空間如果將狀態(tài)按字典序排列后，其生成元可寫(xiě)成下列分塊三對(duì)角形式：

在擬生滅過(guò)程中，矩陣方程R2B＋RA＋C＝0的最小非負(fù)解R稱為率陣，并起重要作用.為研究率陣R，需要下列

引理1 二次代數(shù)方程

證由（1）可知sp（R）＜1當(dāng)且僅當(dāng)ρ＜1.進(jìn)一步地，由文獻(xiàn)［1］定理2.4可以證明過(guò)程正常返當(dāng)且僅當(dāng)ρ＜1.

3 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的性能指標(biāo)

4 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解

5 穩(wěn)態(tài)等待時(shí)間的隨機(jī)分解

6 結(jié) 論

本文給出了FCFS、RCE抵消策略的負(fù)顧客M／M／1連續(xù)時(shí)間工作休假排隊(duì)模型的系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布和系統(tǒng)隨機(jī)分解結(jié)果.對(duì)于RCH（Removal of Customers in the head）或兩者（RCH與RCE）均有的情況，只需將文中的ε改為h（h為RCH的發(fā)生率）或ε＋h.此模型可以進(jìn)一步推廣到帶負(fù)顧客的Geo／Geo／1離散時(shí)間工作休假排隊(duì)系統(tǒng)，從而對(duì)通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)）建立更切合實(shí)際的準(zhǔn)確的模型.

［1］ 田乃碩，岳德權(quán).擬生滅過(guò)程與矩陣幾何解［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

［2］ 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001.

［3］ Gelenbe E.Queues with Negative Arrivals［J］.J.of Applied Probability，1991，28（1）：245-250.

［4］ Peter G.Harrison，Edwige Piter.The M／G／1 Queue with Negative Customers［J］.Advances in Applied Probability，1996，32（2）：540-566.

［5］ 陳燕，朱翼雋，陳洋.一類具有負(fù)顧客的M／G／1休假排隊(duì)模型［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，41（1）：118-121.

［6］ 杜貞斌，朱翼雋，肖江，陳洋.負(fù)顧客的M／G／1排隊(duì)模型［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，23（3）：91-94.

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M／M／1 Queuing System with RCE Strategy of Negative Customers and Working Vacation

GU Qing-feng
（Faculty of Science，Zhejiang Forestry College，Lin’an，Zhejiang 311300，China）

Consider an M／M／1 queue with vacations such that the server works with different rates rather than completely stops during a vacation period.In order to solve the interfering factors take place in the M／M／1 queuing system，the M／M／1 queuing system with negative customers and working vacations is studied.The serve rules are First Come First Served.The working vacation policy is exhaustive service and multiple working vacations.Negative customers remove positive customers only one by one at the tail（if present）.When a negative customer arrives，if the system is empty，it will disappear.Negative customers need no services.Using QBD（quasi birth and death）process and Matrix-Geometric solution，we gain the steady-state distributions for the number of customers in the system，point out the result of stochastic decomposition of the queue length and obtain mean of the system size of positive customers and waiting time.

negative customers；working vacations；matrix-geometric solution；steady-state distributions；stochastic decomposition

O226

B

1672-1454（2010）05-0125-06

2007-12-03