彭炎紅, 孫道椿

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

關(guān)于亞純函數(shù)例外值的例

彭炎紅, 孫道椿*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

在亞純函數(shù)的Valiron例外值、Borel例外值以及T例外值概念的基礎(chǔ)上,考察它們之間的相互關(guān)系，重要的是構(gòu)造了一亞純函數(shù),以0為Valiron例外值,但0不是其Borel例外值,也不是T例外值.

亞純函數(shù); Borel例外值; Valiron例外值; T例外值

1 引言與結(jié)果

在亞純函數(shù)理論中, Borel定理的證明產(chǎn)生了值分布理論的萌芽，1925年, Nevanlinna為值分布論的發(fā)展做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn),創(chuàng)立了Nevanlinna理論,構(gòu)建了值分布論的基本理論.70多年來,值分布理論在Nevanlinna理論的影響下取得了巨大的發(fā)展.我國的值分布論研究始于熊慶來先生, 他與莊圻泰等函數(shù)論專家為我國培養(yǎng)了一支寶貴的值分布論研究隊(duì)伍.近20年來我國關(guān)于亞純函數(shù)值分布論的研究又取得了新的發(fā)展,形成了以楊樂為首的, 在國際上被譽(yù)為“中國學(xué)派”的值分布論研究群體.從值分布的一般理論可以看出,亞純函數(shù)f(z)的模分布性質(zhì)說明了f(z)在整個(gè)開平面上的某種取值情況,而f(z)的輻角分布性質(zhì)則反映了f(z)在某條射線附近的取值情況. 楊樂和張廣厚[1]曾創(chuàng)造性地研究了輻角分布與模分布的關(guān)系,他們首次在這2個(gè)看似無關(guān)的問題間發(fā)生了明確的關(guān)系.而亞純函數(shù)的奇異方向是值分布論中研究最多的問題之一[2],是輻角分布論的典范,其例外值及相互關(guān)系也是值分布論中的基本內(nèi)容, 且與奇異方向緊密相關(guān).大多數(shù)人都是在研究奇異方向時(shí)介紹到相應(yīng)的例外值,而避開奇異方向單獨(dú)討論亞純函數(shù)例外值的文獻(xiàn)較少見, 且一般是介紹或引進(jìn)一些重要例外值相關(guān)的定理和結(jié)論, 以構(gòu)造例子的形式來探討例外值的文章就更加罕見, 而且構(gòu)造關(guān)于例外值的例子, 對(duì)以后亞純函數(shù)奇異方向的研究也有極大的參考價(jià)值. 本文依據(jù)亞純函數(shù)的Borel例外值一定是其Valiron例外值, 但Valiron例外值未必是Borel例外值的事實(shí), 初步嘗試構(gòu)造了一個(gè)以0為Valiron例外值, 但不是 Borel例外值,也不是T例外值的亞純函數(shù). 其構(gòu)造思想源于文獻(xiàn)[3].

下面敘述幾個(gè)相關(guān)的定義:

定義1[4]設(shè)f(z)于開平面上亞純,f(z)的級(jí)定義為：

定義2[4]設(shè)f(z)為開平面上亞純的函數(shù), 級(jí)為有窮正數(shù),a為任一復(fù)數(shù),a稱為f(z)的Borel例外值,若

定義3 設(shè)f(z)為復(fù)平面上的亞純函數(shù),a為任一復(fù)數(shù),a稱為f(z)的T例外值,若

定義4[5]設(shè)f(z)為開平面上的超越亞純函數(shù),a為任一復(fù)數(shù),稱a為f(z)的Valiron例外值,若

在引出例子之前讓我們先介紹一個(gè)命題：

命題1 設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù), 若a為f(z)的Borel例外值,則必為f(z)的Valiron例外值.

而由定義顯然可知,若a為f(z)的T例外值,則它必為f(z)的Valiron例外值.那么亞純函數(shù)的Borel例外值和T例外值都是其Valiron例外值,而Borel例外值和T例外值并不存在必然的包含關(guān)系.

以下出現(xiàn)的[x]均是對(duì)x進(jìn)行取整.

本文的結(jié)論是：

2 幾個(gè)引理

以下出現(xiàn)的F(z),f(z),g(z)都是指上面結(jié)論中所構(gòu)造的F(z),f(z),g(z).

證明1)先證前半部分,令

顯然b1,b2,…,bn,…是f1(z)的無限個(gè)零點(diǎn),它們的模滿足:

|b1|<|b2|<…<|bn|<…,

因?yàn)閎n=2nn, 因此

現(xiàn)證后半部分(證明方法參考了文獻(xiàn)[7]),因?yàn)楫?dāng)|z-an|≥1,有

因而當(dāng)|z|>M且|z-an|≥1 (n=1,2,…)時(shí), 有

同理可證得引理中的2)成立.

引理3[8]設(shè)f在G內(nèi)是亞純的,具有極點(diǎn)p1,p2,…,pm和零點(diǎn)z1,z2,…,zm, 它們都是按重?cái)?shù)計(jì)算的.如果γ是G內(nèi)同調(diào)于零的可求長閉曲線,且不經(jīng)過p1,p2,…,pm和z1,z2,…,zm,則

引理4 令Lp:|z-ap|≤p+1 (p=1,2,…),則當(dāng)p>N0(N0≥N), 在每個(gè)Lp的內(nèi)部,f(z)-d(d≠0)的零點(diǎn)數(shù)與f(z)的極點(diǎn)數(shù)相同.其中N由引理2中的1)所取定.

同樣令Lq:|z-Aq|≤q+1 (q=1,2,…),任意選擇一個(gè)復(fù)數(shù)a=d+1 (d≠0), 類似于引理4的討論, 可推出當(dāng)q>N時(shí),在每個(gè)Lq的內(nèi)部,g(z)-a的零點(diǎn)數(shù)與g(z)的極點(diǎn)數(shù)相同.

3 定理的證明

定理1的證明由引理2可知f(z)和g(z)均為亞純的, 因此F(z)=f(z)g(z)在平面上亞純.

(1)下面討論F(z)的級(jí).

對(duì)任意充分大的r, 存在相應(yīng)的n,使得

bn=2nn

i)首先討論T(r,f)如下:

(1)

n(r,f=5)=n(r-(aN+1-(N+1)),f=5)+

n((aN+1-(N+1)),f=5)=

n(r-(aN+1-(N+1)),f=5)+c=

(2)

其中c是跟N有關(guān)的一有限數(shù). 因此類似于式(1)可得

(3)

從而由式(1)和式(3)可知

O{ln(rT(r,f))}.

(4)

ii)討論T(r,g)如下：

n(r,g)=

i.e.n(r,g)≤

因此

(5)

類似于N(r,g)的討論同樣可得出

N(r,g=0)≤

(6)

對(duì)于g(z),設(shè)aj(j=1,2,3)分別為0,∞,5,而類似于式(2)和式(4)可得

N(r,g=5)≤

(7)

由于

則由式(5)、(6)和式(7)可得出T(r,g)滿足:

(8)

O{ln(rT(r,g))}.

(9)

因此由式(4)和式(9),有

所以F(z)的級(jí)為

(2)下面證明0是F(z)的Valiron例外值, 但不是F(z)的Borel例外值和T例外值.

i)0是F(z)的Valiron例外值.

取點(diǎn)列{rn=2nn+2n},則

T(2rn,F)≥N(2rn,F)≥N(2rn,f)+N(2rn,g)≥

而

故

因此

從而得出0是F(z)的Valiron例外值.

ii)0不是F(z)的Borel例外值.

對(duì)于2nn

n(r,F=0)=n(r,g=0)≤

(10)

以及

n(r,F=0)=n(r,g=0)≥

(11)

iii)0不是F(z)的T例外值.

而由式(4)和式(9)可知

從而

則可得出 0不是F(z)的T例外值.

[1] YANG L, ZHANG G. Recherches sur le nombre des valeurs et le nombre des directions de Borel des fonctions méomorphes[J]. Sci Sinica, 1975, 18: 23-37.

[2] 莊圻泰. 亞純函數(shù)的奇異方向[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1982.

[3] 楊樂,張廣厚.具有給定奇異方向亞純函數(shù)的構(gòu)造[J].中國科學(xué),1976,5(3):308-319.

[4] 楊樂. 值分布論及其新研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1982.

[5] HAYMAN W K. Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[6] 柏盛桄. 整函數(shù)與亞純函數(shù)[M]. 武漢:華中師范大學(xué)出版社,1982.

[7] 孫道椿. 關(guān)于奇異方向的例[J].數(shù)學(xué)雜志,1994,14:176-182.

SUN Daochun. Examples on singular direction[J]. Journal of Mathematics, 1994, 14:176-182.

[8] CONWAY J B. Functions of one complex variable[M]. Beijing: World Publishing Corporation, 1978: 150.

Keywords： meromorphic function; Borel exceptional value; Valiron exceptional value; T exceptional value

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

EXAMPLESONEXCEPTIONALVALUESOFMEROMORPHICFUNCTIONS

PENG Yanhong1, SUN Daochun2

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Basing on the concepts of Valiron exceptional value, Borel exceptional value and T exceptional value of meromorphic functions, the relations among them are investigated. The most important result is that a function meromorphic in the plane is constructed, with 0 as a Valiron exceptional value, but not as a Borel exceptional value, and also not as a T exceptional value.

2009-04-13

彭炎紅(1984—),女,江西上饒人,華南師范大學(xué)2007級(jí)碩士研究生,主要研究方向: 函數(shù)論, Email:pengyh128888@163.com;孫道椿(1943—),男,江西南昌人,博士,華南師范大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向：復(fù)分析,Email: sundch@scnu.edu.cn.

*通訊作者

1000-5463(2010)02-0018-06

O174.51

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