陳小山

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

半正定極因子在酉不變范數(shù)下的絕對與相對擾動(dòng)界

陳小山

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

極分解; 酉不變范數(shù); 絕對與相對擾動(dòng)界

(1)

(2)

(3)

(4)

為了證明本文的結(jié)論, 需要用到下面的引理.

引理1[7]設(shè)M,N都是n階Hermite矩陣,S是適當(dāng)維數(shù)的矩陣, 記

Δ=[α,β]?,Δ′=(α-δ,β+δ),δ>0.

下面給出Hermitian半正定極因子在酉不變范數(shù)下的絕對擾動(dòng)界.

(1) 當(dāng)max{r,s}

(5)

(2) 當(dāng)r=n,s

(6)

(3)當(dāng)r=s=n時(shí),

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

類似由式(9)與式(10)可得

(12)

式(11)應(yīng)用引理1得到

(13)

注意到

(14)

結(jié)合式(12)、(13)和(14)得到

因此擾動(dòng)界(5)成立.

(15)

由引理1和式(15)可知擾動(dòng)界(6)成立; 對r=n,s

(16)

因此由引理1和式(16)即可知式(7)成立. 證畢.

(1)當(dāng)max{r,s}

(17)

(2)當(dāng)r

(18)

(3)當(dāng)r=n,s

(19)

(4)當(dāng)r=s=n時(shí),

(20)

證明此定理的證明類似于定理1的證法,因此我們只給出(1)的證明過程,其余情況類似可得.

(21)

(22)

(23)

(24)

式(22)應(yīng)用引理1得到

(25)

又由式(23)和式(24),有

(26)

由式(14)、(25)和(26)可知擾動(dòng)界(17)成立. 證畢.

[1] CHEN X S,LI W.Variations for the Q-and H-factors in the polar decomposition[J].Calcolo,2008,45:99-109.

[2] CHEN X S,LI W,SUN W.Some new perturbation bounds for the generalized polar decomposition[J].BIT Numerical Mathematics,2004,44:237-244.

[3] LI W.Some new perturbation bounds for subunitary polar factors[J].Acta Math Sinica (Engl Sir),2005,21:1515-1520.

[4] CHEN C H,SUN J G.Perturbation bounds for the polar factors[J].J Comput Math,1989,7:397-401.

[5] 孫繼廣，陳春暉. 廣義極分解[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué),1989,11(3):262-273.

SUN J G, CHEN C H. Generalized polar decomposition[J]. Math Numer Sinica, 1989, 11(3):262-273.

[6] 陳小山，黎穩(wěn).酉不變范數(shù)下極分解的擾動(dòng)界[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2005,27(2):121-128.

CHEN X S, LI W.Perturbation bounds on the polar decomposition under unitary invariant norms[J].Math Numer Sinica,2005,27(2):121-128.

[7] DAVIS C,KAHAN W M.The rotation of eigenvectors by a perturbation,III[J].SIAM J Numer Anal,1970,1:1-46.

Keywords： the polar decomposition; unitarily invariant norm; absolute and relative perturbation bounds

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THEABSOLUTEANDRELATIVEPERTURBATIONBOUNDSFORTHEHERMITIANPOSITIVESEMIDEFINITEPOLARFACTORUNDERUNITARILYINVARIANTNORM

CHEN Xiaoshan

(School of Mathematics,South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2009-07-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971075);廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(91510631000021)

陳小山(1970—),男, 江西吉安人, 理學(xué)博士,華南師范大學(xué)副教授, 主要研究方向: 數(shù)值代數(shù), Email:chenxs33@163.com.

1000-5463(2010)03-0001-03

O241.1

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