周志富,楊 莉

(山西大同大學(xué) 工學(xué)院,山西 大同 037003)

似大地水準(zhǔn)面擬合中已知點(diǎn)的選擇

周志富,楊 莉

(山西大同大學(xué) 工學(xué)院,山西 大同 037003)

似大地水準(zhǔn)面的擬合是測(cè)繪中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,其中已知點(diǎn)的選擇對(duì)似大地水準(zhǔn)面擬合結(jié)果有顯著影響。文中探討似大地水準(zhǔn)面擬合中已知點(diǎn)的選擇問題,分析比較傳統(tǒng)手工方法、全組合法與逐點(diǎn)剔除法選擇已知點(diǎn),并用實(shí)際算例驗(yàn)證逐點(diǎn)剔除法的優(yōu)點(diǎn),所得結(jié)論對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。

似大地水準(zhǔn)面擬合;逐點(diǎn)剔除法;符合精度;已知點(diǎn)的選擇

似大地水準(zhǔn)面作為我國(guó)的高程基準(zhǔn)面,在測(cè)繪工作中起著重要作用。以似大地水準(zhǔn)面為媒介,大地高能夠轉(zhuǎn)換為正常高,GPS技術(shù)可以準(zhǔn)實(shí)時(shí)測(cè)定正常高,實(shí)現(xiàn) GPS技術(shù)的三維定位功能。使得平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)分離的傳統(tǒng)大地測(cè)量模式成為歷史,為測(cè)量手段帶來新的革命。因此,研究似大地水準(zhǔn)面的擬合,具有一定的科學(xué)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

似大地水準(zhǔn)面擬合問題是一個(gè)不確定模型問題,文獻(xiàn)[1]研究了顧及模型誤差的不確定模型的應(yīng)用問題,這樣就把模型確定化。對(duì)于一個(gè)給定的區(qū)域,當(dāng)已經(jīng)確定了擬合模型后,另一個(gè)需要研究的重要問題就是已知點(diǎn)的選取,包括確定已知點(diǎn)的數(shù)目和分布等。這是實(shí)際工程應(yīng)用中一個(gè)很重要的問題。

1 似大地水準(zhǔn)面擬合的精度評(píng)定

似大地水準(zhǔn)面擬合就是應(yīng)用 GPS水準(zhǔn)法擬合出測(cè)區(qū)的高程異常ξ與點(diǎn)的平面位置(X,Y)的一個(gè)函數(shù)關(guān)系ξ=f(X,Y),從而得到測(cè)區(qū)的一個(gè)似大地水準(zhǔn)面模型,利用這個(gè)模型就可以求出其他點(diǎn)的高程異常值,再根據(jù)公式 Hr=H-ξ即可求出該點(diǎn)的正常高 Hr[2]。

為了能客觀地評(píng)定似大地水準(zhǔn)面擬合計(jì)算的精度,在布設(shè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)時(shí),應(yīng)適當(dāng)多聯(lián)測(cè)幾個(gè) GPS點(diǎn),以做外部檢核使用。根據(jù)點(diǎn)在擬合模型中的性質(zhì)不同,精度評(píng)定可分為內(nèi)符合精度和外符合精度。

1.1 內(nèi)符合精度[3-5]

根據(jù)參與擬合計(jì)算的已知點(diǎn)的高程異常值ξi和擬合后內(nèi)插得到的該點(diǎn)高程異常值ξ′i,求出擬合

1.2 外符合精度[3-5]

根據(jù)檢核點(diǎn)的高程異常值ξi和擬合后內(nèi)插得到的高程異常值ξ′i,求出檢核點(diǎn)高程異常擬合殘差

此時(shí)的n為外部檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

內(nèi)符合精度非常不可靠,當(dāng)所選部分點(diǎn)恰好位于所選模型附近時(shí)將會(huì)得到很高的內(nèi)符合精度,但這并不代表未知點(diǎn)具有同樣的擬合精度[5]。而外符合精度可以較客觀地反映未知點(diǎn)的擬合精度,因此,有些學(xué)者將其稱為預(yù)報(bào)殘差,用來大致代替整個(gè)測(cè)區(qū)GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的精度。

2 已知點(diǎn)的選擇方法

已知點(diǎn)的選擇對(duì)似大地水準(zhǔn)面擬合結(jié)果有著顯著影響,無論是其精度、數(shù)量,還是已知點(diǎn)的位置,都會(huì)影響似大地水準(zhǔn)面的精度。其中已知點(diǎn)的分布對(duì)其影響最大[6]。

當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)時(shí),其點(diǎn)數(shù)越多,似大地水準(zhǔn)面的精度越高。但當(dāng)已知點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量時(shí),再增加已知點(diǎn)數(shù),不能顯著地提高其精度。似大地水準(zhǔn)面精度在很大程度上取決于已知點(diǎn)的分布狀況。當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)時(shí),待定點(diǎn)精度最高;若已知點(diǎn)雖然覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū),但未均勻分布時(shí),待定點(diǎn)精度只與4個(gè)已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)時(shí)相當(dāng);當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布于中間的半個(gè)測(cè)區(qū)時(shí),待定點(diǎn)精度只與3個(gè)已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)時(shí)相當(dāng);當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布于一端的半個(gè)測(cè)區(qū)時(shí),待定點(diǎn)精度最差,其擬合中誤差將成倍地增加[6]。

因此,擬合似大地水準(zhǔn)面時(shí)一定要使已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū),并具有一定的代表性,寧可已知點(diǎn)數(shù)少,也不能因湊數(shù)而使已知點(diǎn)分布不均勻,更不能使已知點(diǎn)全部分布在測(cè)區(qū)的一端。這是憑經(jīng)驗(yàn)選取均勻已知點(diǎn)的傳統(tǒng)手工方法應(yīng)遵循的原則。下面介紹兩種應(yīng)用數(shù)學(xué)方法選取擬合似大地水準(zhǔn)面已知點(diǎn)的方法:其一是全組合法;其二是逐點(diǎn)剔除法[7-9]。

在 n個(gè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)中選取m(m≤n)個(gè)點(diǎn)參與擬合計(jì)算有 Cmn種方案,理論上將每種方案的擬合誤差平方和都算出來,精度最高的即為最優(yōu)方案。這就是全組合法,該方法計(jì)算量太大,在實(shí)際中往往是不可能實(shí)現(xiàn)的。

逐點(diǎn)剔除法是由沈云中教授提出的,是與全組合法相對(duì)而言的。從 n個(gè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)中剔除一點(diǎn),共有n種剔除方案,若其中某種方案求得的擬合結(jié)果精度最高,則采用該方案,剔除該方案所剔除的點(diǎn),使得總點(diǎn)數(shù)降為 n-1。依此類推,直到剩下 m個(gè)點(diǎn),即為最優(yōu)的m個(gè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)。該算法總共需要計(jì)算n+(n-1)+…+(m+1)種方案。

3 算例分析

本試驗(yàn)采用某市區(qū)的 GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù),全區(qū)共布設(shè)了38個(gè) GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn),從圖1可以看出點(diǎn)位的分布。若選取其中6個(gè)進(jìn)行二次曲面擬合,則全組合法的方案數(shù)為1.987 69×109,超出了普通計(jì)算機(jī)的能力;若采用逐點(diǎn)剔除法,計(jì)算量為38+37+…+7=720,即使普通的計(jì)算機(jī)也能勝任。文獻(xiàn)[9]中通過具體算例證明了逐點(diǎn)剔除法與全組合法得到的水準(zhǔn)重合點(diǎn)是一致的,并且能獲得最小的擬合誤差。所以本試驗(yàn)采用逐點(diǎn)剔除法來選取似大地水準(zhǔn)面擬合的已知點(diǎn)與傳統(tǒng)手工方法進(jìn)行對(duì)比。

圖1 水準(zhǔn)重合點(diǎn)點(diǎn)位圖

表1 不同點(diǎn)數(shù)的最佳擬合方案的精度結(jié)果

表2 26點(diǎn)擬合方案的殘差統(tǒng)計(jì)表

表3給出了逐點(diǎn)剔除法選點(diǎn)與傳統(tǒng)手工選點(diǎn)結(jié)果的精度對(duì)比。從表3中可以看出,傳統(tǒng)手工方法中選取均勻的已知點(diǎn)并非最佳分布,且已知點(diǎn)只能憑經(jīng)驗(yàn)而定;而逐點(diǎn)剔除法可以很好地同時(shí)確定已知點(diǎn)數(shù)及其分布。

表3 逐點(diǎn)剔除法選點(diǎn)與傳統(tǒng)手工選點(diǎn)的擬合精度結(jié)果

綜上所述,本次似大地水準(zhǔn)面擬合中選取逐點(diǎn)剔除法得到的26個(gè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)作為已知點(diǎn),其余12個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。

4 結(jié)束語

從理論分析及實(shí)例計(jì)算可以看出,與傳統(tǒng)手工方法相比,逐點(diǎn)剔除法可以很好地同時(shí)確定已知點(diǎn)數(shù)及其分布,且擬合精度較高。該方法在似大地水準(zhǔn)面擬合中已知點(diǎn)數(shù)及其分布的確定中是一種行之有效的辦法,可以改變傳統(tǒng)上憑經(jīng)驗(yàn)選取已知點(diǎn)的盲目性,具有很好的實(shí)際參考價(jià)值。

[1]趙超英,張勤,閆麗.顧及粗差的最佳曲面迭代擬合方法探討[J].工程勘察,2005(3):50-65.

[2]覃鋒.GPS高程應(yīng)用的關(guān)鍵在于精化大地水準(zhǔn)面[J].測(cè)繪與空間地理信息,2006,29(1):40-43.

[3]匡翠林.高精度 GPS水準(zhǔn)算法研究及其應(yīng)用[D].長(zhǎng)沙:中南大學(xué),2004.

[4]劉誼,汪民主,汪金花.GPS高程二次曲面擬合及其程序[J].礦山測(cè)量,2004(2):12-14.

[5]劉長(zhǎng)建,吳洪舉,張俊.GPS水準(zhǔn)擬合方法的比較與軟件編制[J].信息工程大學(xué)學(xué)報(bào),2006,7(1):85-88.

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[7]王正明,王寶智.異常觀測(cè)數(shù)據(jù)的逐點(diǎn)剔除法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1997,27(3):266-274.

[8]趙超英,劉雷.GPS水準(zhǔn)擬合優(yōu)化法探討[J].工程勘察,2006(2):64-67.

[9]沈云中,高達(dá)凱,張興福.GPS水準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化選擇法[J].工程勘察,2004(6):49-51.

Selection of known points in refinement of quasigeoid

ZHOU Zhi-fu,YANG Li
(Engineering School,Shanxi Datong University,Datong 037003,China)

Refinement of quasigeoid is a hot question in surveying and mapping.And the selection of know n points has significant influence on the result of refinement of quasigeoid.So the selection of know n points is studied.The traditional manual method,combination of france method and one-by-one elimination method w ere analyzed and compared.Then it verified the strong points of one-by-one elimination method in p ractical examp le.The conclusion has some reference value fo r p ractical engineering app lication.

refinement of quasigeoid;one-by-one elimination method;consistent accuracy;selection of know n points

P228

A

1006-7949(2010)06-0017-03

2010-02-04

周志富(1980-),男,助教,碩士研究生.

[責(zé)任編輯劉文霞]