王守春,汪長余,王松慶,米景躍,安麗麗

(天津市水利科學研究院,天津 300061)

基于自然樣條補償最小二乘的高程誤差研究

王守春,汪長余,王松慶,米景躍,安麗麗

(天津市水利科學研究院,天津 300061)

基于非參數(shù)自然樣條補償最小二乘估計方法,把 GPS高程數(shù)據(jù)與對應的水準數(shù)據(jù)的差值作為觀測值,按照非參數(shù)自然樣條補償最小二乘的估計方法,得到消弱偶然誤差v之后的平差值,并以此去改正 GPS高程,可以取得較好的效果。并以某河道測量采集的數(shù)據(jù)作為事例,證明該方法的有效性。

自然樣條內(nèi)插;補償最小二乘;非參數(shù);GPS高程

目前測量數(shù)據(jù)處理中,主要用到的有參數(shù)估計、半?yún)?shù)估計以及非參數(shù)估計。對于參數(shù)估計和半?yún)?shù)估計,其中參數(shù)部分的形式是需要已知的,因此它們具有較好的外延性。而對于一組不知道各參數(shù)之間關系的測量數(shù)據(jù),參數(shù)估計的方法就顯得無能為力,這恰好是非參數(shù)估計所能解決的問題。非參數(shù)自然樣條補償估計是非參數(shù)估計方法中較為常用的一種。本文基于非參數(shù)自然樣條補償最小二乘的方法來分析高程點矯正誤差。

1 非參數(shù)自然樣條補償最小二乘

1.1 光滑自然樣條內(nèi)插

對于一組測量數(shù)據(jù)(Li,ti),i=1,…,n,希望得到一光滑曲線s(t),其內(nèi)插數(shù)據(jù)點為(Li,ti),且滿足s(ti)=Li,當前最為常用的方法是自然樣條函數(shù)法。自然樣條函數(shù)是一分段多項式函數(shù),也即是:對某一區(qū)間[a,b]作劃分,Δ:a

而對于區(qū)間[a,t1]、[tn,b],根據(jù)兩對觀測值[a, L0],[t1,L1]和[tn,Ln],[tn+1,Ln+1],都為線性

函數(shù)。

1.2 非參數(shù)自然樣條補償最小二乘準則

已知非參數(shù)模型

式中:s(t)是光滑曲線,Δi是白噪聲,根據(jù)混雜有白噪聲的觀測數(shù)據(jù)Li,i=1,…,n來構(gòu)造函數(shù)s(t),也成為非參數(shù)回歸。如果對曲線s(t)不做任何限制而選擇直線內(nèi)插或樣條內(nèi)插,可以使得殘差的平方和為0,但是這樣的擬合并沒有去掉或消弱噪聲,所以這樣的內(nèi)插不是最佳的。

其中,前一項為殘差平方和,后一項為補償項。α是大于0的平滑參數(shù),在擬合程度和光滑程度之間起平衡作用。

2 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

2.1 未加補償項的自然樣條內(nèi)插

現(xiàn)有樣本數(shù)為74的一組觀測值,按區(qū)間長為1分為73個子區(qū)間,依據(jù)1.1中介紹的自然樣條內(nèi)插的方法對該組數(shù)據(jù)進行自然樣條內(nèi)插,得到的s(t)如圖1所示,圖2為直線內(nèi)插的s(t)。

圖1 自然樣條內(nèi)插的曲線

圖2 直線內(nèi)插結(jié)果

由于直線內(nèi)插和自然樣條內(nèi)插都不能去除噪聲,所以這2種內(nèi)插方法對分析誤差來說沒有太大意義。

2.2 非參數(shù)補償最小二乘

根據(jù)1.2中介紹的回歸準則,在Matlab中進行迭代計算選取平衡參數(shù)α=0.05,s(t)及v=s(t)-L如圖3、圖4所示。

圖4中的v也即是1.2中提到的白噪聲,這樣就得到了剔除白噪聲后的差值s(t),并且以此去改正每公里斷面上的所有高程數(shù)據(jù),從而可以得到較為準確的高程數(shù)據(jù)。圖 5、圖 6分別是當α=1,α=10時所對應的s(t)。

3 結(jié) 論

通過自然樣條補償最小二乘的估計方法,可以對非參數(shù)(觀測值)、白噪聲進行估計,以此來改正各觀測值,提高精度。在河道斷面測量中,用該方法可以消弱由點矯正和基準轉(zhuǎn)換所帶來的誤差。具體實施步驟如下:

1)根據(jù)已知水準點,進行三等水準測量,并在河道兩岸每公里處留一個水準點;

2)用任意設站的RTK對每公里處所留的三等水準點進行測量,同時對每一個需要測量的河道斷面所對應的兩堤特征點(堤腳,堤頂,防浪墻等)進行測量,并用測深儀加RTK的方式測量該斷面的水下高程;

3)對RTK所測量的數(shù)據(jù)進行高程點矯正,比對每公里留點處的三等水準高程與矯正過的 GPS高程,若整體差值較大,則以留點處的2種高程之差作為觀測值,進行非參數(shù)自然樣條補償最小二乘估計,剔除或減弱偶然誤差(白噪聲),并以剔除或消弱偶然誤差的觀測值來改正對應斷面上的所有 GPS高程;

4)生成斷面成果。非參數(shù)自然樣條補償最小二乘估計方法中,確定光滑因子α仍然是一難點,還有待于進一步研究。

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Study on the height errors based on the penalized least square of natural spline

WANG Shou-chun,WANG Chang-yu,WANG Song-qing,M IJing-yue,AN Li-li

(Tianjin Hydraulic Research Institute,Tianjin 300061,China)

Based in the penalized least square estimation of nonparametric natural sp line,take the difference of GPS Height and Leveling Height as observed values,and get the adjusted value w hose accidental errorvhave been reduced.Then co rrect the data of GPS Height w ith the adjusted value,thus a better result could be obtained.Finally,this theo ry is p roved effective by the data of a river surveying.

natural sp line interpolation;penalized least square;non-parameter;GPS Height

P224

A

1006-7949(2010)04-0027-03

2009-10-19

王守春(1984-),男,助理工程師,碩士研究生.

[責任編輯:張德福]