楊曙光， 李治明

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 ，烏魯木齊 830046）

數(shù)學(xué)建模思想方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的思考與實(shí)踐

楊曙光， 李治明

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 ，烏魯木齊 830046）

通過對若干高等數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)過程的分析展示，著意討論了通過還原應(yīng)用問題的真實(shí)與生動(dòng)，創(chuàng)設(shè)情境以激發(fā)探究，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程；提供了立足課本，把握數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模思想方法及步驟、提高“用數(shù)學(xué)”能力的實(shí)踐方案；說明把數(shù)學(xué)建模的思想方法積極滲透、有機(jī)融合到公共數(shù)學(xué)課程中是可行和有效的．

高等數(shù)學(xué)； 應(yīng)用問題 ；數(shù)學(xué)建模； 思想； 方法

克萊茵曾說：“邏輯關(guān)系或可以說數(shù)學(xué)機(jī)體上的硬骨架，必須保持下去，以便使數(shù)學(xué)具有它特有的可信性．?dāng)?shù)學(xué)的生命，數(shù)學(xué)最重要的動(dòng)力，數(shù)學(xué)在各方面的作用，卻完全依賴于應(yīng)用，即取決于那些純邏輯內(nèi)容和其他一切領(lǐng)域間的相互關(guān)系”．“數(shù)學(xué)建?！奔啊皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”類課程的開設(shè)，正是這一觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中的具體體現(xiàn)．所謂數(shù)學(xué)模型是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似的刻畫，以便于人們更深刻地認(rèn)識所研究的對象．?dāng)?shù)學(xué)建模思想方法的本質(zhì)，是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；而實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是通過對實(shí)際問題的抽象、簡化，做出必要、合理、恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，以提出數(shù)學(xué)內(nèi)涵，建立數(shù)學(xué)模型．首先建模時(shí)究竟該保留實(shí)際問題的什么因素，忽略什么因素并沒有什么范式可依循，需要建模者根據(jù)對實(shí)際問題的理解、研究的目的以及數(shù)學(xué)背景進(jìn)行歸納提煉加工，去粗取精、去偽存真來完成，這是一個(gè)創(chuàng)造性的過程；最后，還要將分析模型所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回到實(shí)際中去解釋問題，以檢驗(yàn)所得數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際問題，進(jìn)而解決問題，這同樣是一個(gè)創(chuàng)造性的過程．這是數(shù)學(xué)建模的難點(diǎn)，也可能成為提高學(xué)生“用數(shù)學(xué)”能力的契機(jī)．

李大潛院士在“2008年大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇”上所作的《漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法》報(bào)告中談到，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科（無論是對中小學(xué)還是對大學(xué)，無論是對理工科還是對文科，無論是對青少年還是對成人，無論是將來走上怎樣的工作崗位，）應(yīng)該努力達(dá)到三個(gè)方面的要求，簡而言之就是知識、能力、素養(yǎng)和精神．李院士指出：“如果割斷了數(shù)學(xué)與外部的世界聯(lián)系，割斷了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)，單純從概念到概念，從公式到公式，數(shù)學(xué)就成了無源之水、無本之木，數(shù)學(xué)的教學(xué)就必然枯燥乏味、失去活力，所傳授的知識就不可能是全面深入的，更不可能給學(xué)生以數(shù)學(xué)的思想方法與精神實(shí)質(zhì)的啟迪，就不可能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)方面的要求．”李院士強(qiáng)調(diào)指出：“如果覺得數(shù)學(xué)紙上談兵、毫無用處，覺得數(shù)學(xué)高不可攀、難于理解，覺得數(shù)學(xué)枯燥無味，甚至面目可憎，對其敬而遠(yuǎn)之、退避三舍，這樣的數(shù)學(xué)教與學(xué)，無疑是失敗了．”這是對數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)的精辟闡述，筆者對此感同身受．

受眾廣、課時(shí)長的《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)數(shù)學(xué)類主干課程．在課程教學(xué)中積極滲透、有機(jī)融合數(shù)學(xué)建模的思想方法，積極引導(dǎo)、幫助在校大學(xué)生理解數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識，提高數(shù)學(xué)能力，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，全面提升教育教學(xué)質(zhì)量有著積極的實(shí)際意義．雖然《高等數(shù)學(xué)》課程內(nèi)容多、課時(shí)緊，應(yīng)用問題數(shù)量、難度都很有限，但教學(xué)實(shí)踐表明，教師立足課本內(nèi)容，在深刻理解、充分利用、正確把握的基礎(chǔ)上，抓住課堂教學(xué)契機(jī)，營造探究情境，引導(dǎo)學(xué)生積極自然順暢地分析思考，使學(xué)生參與問題轉(zhuǎn)化和解決的全過程，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想，掌握分析解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系及強(qiáng)大生命力，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)．

西安交通大學(xué)知名教授馬知恩、王綿森主編的《高等數(shù)學(xué)簡明教程》中的應(yīng)用問題如減肥問題、疾病傳播問題等，有典型性、有時(shí)代感，為教師用好、用活教材提供了很好的素材和發(fā)揮發(fā)展空間．筆者就為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，在《高等數(shù)學(xué)》應(yīng)用問題教學(xué)中，如何通過還原應(yīng)用問題的真實(shí)與生動(dòng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)及活力，把握數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，提高“有效應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識；如何通過引導(dǎo)學(xué)生積極、自然、順暢地分析思考，化解對實(shí)際問題原型進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的難點(diǎn)，提高“有效應(yīng)用數(shù)學(xué)”能力這兩方面所做的一些教學(xué)嘗試小結(jié)如下，以求與同仁交流提高．

1 創(chuàng)設(shè)情境，共同探究

探照燈的聚光鏡鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面，它的形狀由xOy坐標(biāo)面上的一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成．按聚光鏡性能要求，在其旋轉(zhuǎn)軸（x軸）上一點(diǎn)O處發(fā)出的一切光線，經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求曲線L的方程．見圖7—4（同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》上冊（第六版）306頁，例2）

可以看到，教材為行文簡明，在敘述應(yīng)用問題時(shí)，已加入許多“數(shù)學(xué)化”了的東西，實(shí)際問題表述成了經(jīng)加工過的“半成品”．如果教師照本宣科，少鋪墊不引入，先入為主，解完了之，不僅錯(cuò)失了教育教學(xué)良機(jī)，學(xué)生遇到實(shí)際問題時(shí)，也可能不會分析、不知所措．筆者認(rèn)為，應(yīng)還原和再現(xiàn)應(yīng)用問題的真實(shí)和生動(dòng)，創(chuàng)設(shè)問題探究的情境，讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)建?！眲?chuàng)造性的過程，學(xué)會怎樣“用數(shù)學(xué)”．筆者的講法是：

問題提出：設(shè)計(jì)一款手電筒的反光鏡面的形狀．（問題一出，同學(xué)們躍躍欲試）

分析討論：

1．從適宜批量生產(chǎn)、降低成本、保障利潤考慮，設(shè)計(jì)的手電筒只有一個(gè)點(diǎn)光源，而且鏡面規(guī)整光滑．故假設(shè)，鏡面是由一平面曲線C繞該平面的一條直線L旋轉(zhuǎn)而成．②由光學(xué)知識可知，要想手電筒射程遠(yuǎn)，射點(diǎn)亮，點(diǎn)光源經(jīng)鏡面反射后，應(yīng)成為平行光束．③由對稱性可知，點(diǎn)光源應(yīng)當(dāng)在旋轉(zhuǎn)軸L上，且C應(yīng)與L相交．于是，只要求出平面曲線C即可．

3．解釋實(shí)際意義：由曲線C的方程可知，使反射光束成平行光束的旋轉(zhuǎn)鏡面，只能由拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成，而且點(diǎn)光源在拋物線的焦點(diǎn)上．

2 突出重點(diǎn)，因勢利導(dǎo)

設(shè)有一均勻、柔軟繩索，兩端固定，繩索僅受重力作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線？見圖7—6（同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》上冊（第六版）319頁，例4）

課本解法：設(shè)繩索最低點(diǎn)為A，取y軸通過點(diǎn)A垂直向上，并取x軸水平向右，且｜OA｜等于某個(gè)定值（這個(gè)定值將在以后說明）（后略）

學(xué)生難免出現(xiàn)這樣的疑惑：為什么要這樣建立坐標(biāo)系？為什么坐標(biāo)原點(diǎn)不取在那個(gè)特殊點(diǎn)（即最低點(diǎn)）處？｜OA｜又是一個(gè)怎樣的定值？求解比較知道，這樣建立坐標(biāo)系得出的曲線方程比較簡潔整齊．但如果一開始就把這種后來總結(jié)出的相對完美的“高觀點(diǎn)”強(qiáng)加給學(xué)生，必定會干擾學(xué)生自然順暢地思考，使學(xué)生分析問題、解決問題時(shí)不得要領(lǐng)；而且學(xué)生失去了嘗試的機(jī)會、認(rèn)識鏈條人為地脫節(jié)，這不能不說是個(gè)不小的損失．

筆者嘗試這樣的展開：

問題提出：崇山峻嶺間架設(shè)輸電線路．兩根電線桿間的電線通常呈下垂?fàn)睿畣栐谄胶鉅顟B(tài)下，電線是怎樣的曲線．（課堂熱議，不少同學(xué)猜測曲線是拋物線）

分析討論：

1．由實(shí)際問題知，兩電線桿距離足夠大，故可假設(shè)電線是纖細(xì)且均勻的，設(shè)其線密度為ρ；（教材上圖7－6曲線兩端點(diǎn)不等高也可以順理成章地解釋了）．為簡化起見，假設(shè)電線是柔軟的，僅受重力作用而下垂．

于是，只要求出平面曲線方程即可．

3 開放問題，深入研究

減肥問題．減肥就是減少體重，而體重變化取決于熱量的吸收和消耗．設(shè)某人每天的飲食可產(chǎn)生A（J）的熱量，用于基本新陳代謝所消耗的熱量為B（J），用于鍛煉所消耗的熱量為C（J／kg）．為簡單計(jì)，假設(shè)增加或減少體重所需的熱量全由脂肪提供，脂肪的含熱量為D（J／kg）．求此人開始減肥后體重隨時(shí)間的變化規(guī)律．（馬知恩、王綿森主編的《高等數(shù)學(xué)簡明教程》上冊282頁，例2．11）

為了展示根據(jù)對實(shí)際問題的理解、研究的目的以及數(shù)學(xué)背景，對實(shí)際問題進(jìn)行歸納、提煉、抽象、簡化，做出必要、合理、恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，以提出數(shù)學(xué)內(nèi)涵，建立數(shù)學(xué)模型的分析過程；展現(xiàn)將分析模型所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回到實(shí)際中去解釋問題，以檢驗(yàn)所得數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際，以及如何修正假設(shè)，進(jìn)一步研究問題的討論過程，使學(xué)生深刻體會、理解和把握數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，筆者與學(xué)生進(jìn)行了以下的分析探討．

問題提出：夏天快到了，你的朋友希望減肥，你能不能給他一些可以信服的說明和建議（話音未落，課堂氣氛異?；钴S）．

討論分析：

1．什么是減肥？科學(xué)地講應(yīng)當(dāng)是減少多余的脂肪．但“多余的脂肪”這一指標(biāo)不易檢測和定量．為簡化問題，假設(shè)體重的變化就是脂肪的變化（實(shí)際生活中人們也是樂于接受的）．

2．知識表明，脂肪的變化取決于熱量的吸收和消耗．考慮到實(shí)際操作即減肥計(jì)劃的可行性，假設(shè)某人吸收的熱量為一項(xiàng)：飲食A．消耗的熱量為兩項(xiàng)：①新陳代謝B；②運(yùn)動(dòng)鍛煉C．易知A≥B．

3．人為能控制的因素是A，C，而C是減肥計(jì)劃中重點(diǎn)操控的指標(biāo)，故單位取為A（J／天），B（J／天），C（J／kg天）．

4．為制定減肥方案，需求出開始減肥后，在因素A，B，C作用下，體重隨時(shí)間變化規(guī)律．

設(shè)此人開始減肥時(shí)刻t＝0時(shí)，體重為w0，時(shí)刻t時(shí)，體重為w（t）．觀察微小時(shí)段［t，t＋d t］內(nèi)此人熱量Q的變化d Q．一方面：在［t，t＋d t］內(nèi)體重的改變量為d w，根據(jù)假設(shè)此即為脂肪的改變量．為轉(zhuǎn)換成熱量，設(shè)脂肪的含熱量為D（J／kg），則d Q＝D d w．另一方面，考慮在［t，t＋d t］內(nèi)該人在因素A、B、C作用下，熱量變化情況．由于運(yùn)動(dòng)消耗C與體重有關(guān)，盡管［t，t＋d t］內(nèi)體重是不斷變化的，但由于d t很小，體重變化很小，可以認(rèn)為不變．故

② 短期達(dá)到“理想”體重如何做？

理論上可通過取定B，D（選擇同年齡段的平均值），選取飲食A、運(yùn)動(dòng)鍛煉C的最佳組合付諸行動(dòng)，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．

6．引申討論，深入探究．

① 若假設(shè)不同，例如熱量變化因素還是A，B，C，但單位取為A（J／天），B（J／kg天）C（J／天），結(jié)果如何？我們發(fā)現(xiàn)這樣所得的方程及方程的解也不同．對結(jié)果進(jìn)行分析，解釋實(shí)際意義發(fā)現(xiàn)，雖然也能反映實(shí)際情況，但可得出的結(jié)論策略少了，達(dá)不到預(yù)期目的，需重新審視假設(shè)．通過比較發(fā)現(xiàn)，前面討論分析的假設(shè)是較完美的．

② 對減肥問題，還能提出怎樣的假設(shè)，進(jìn)行怎樣的討論，以得出更好的減肥策略．

（這些問題可留給學(xué)生課后進(jìn)行研究）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的概念、公式、定理和結(jié)論，懂得各種各樣數(shù)學(xué)方法與手段，還在于領(lǐng)會和掌握數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，舉一反三，靈活演繹，“學(xué)活”數(shù)學(xué)，更在于有明確的意識、相當(dāng)?shù)哪芰?、有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)世界中種種實(shí)際問題，在于造就并形成一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而對今后一生的發(fā)展都起到重要的積極的作用．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)、教法研究都應(yīng)緊緊圍繞這一目標(biāo)展開．將數(shù)學(xué)建模思想方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，就是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的有效途徑之一．實(shí)踐表明，先進(jìn)的教育理念，明確的教學(xué)目標(biāo)，扎實(shí)的科研、教學(xué)基本功，加之不斷學(xué)習(xí)、鉆研、思考，是做好教學(xué)工作的重要保證．大學(xué)數(shù)學(xué)的多門類課程及豐富的課堂教學(xué)內(nèi)容，為數(shù)學(xué)教師實(shí)現(xiàn)教育教學(xué)目標(biāo)提供了廣闊的思考、發(fā)展、應(yīng)用空間，有待于教師付出辛勤和努力，切實(shí)投入，認(rèn)真實(shí)施．

［1］ 李大潛．漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法［C］／／大學(xué)數(shù)學(xué)課程組委會［M］／／2008大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集．北京：高等教育出版社，2008：3－8．

［2］ 劉來福，等．?dāng)?shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，1997．

［3］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［4］ 馬知恩，王綿森．高等數(shù)學(xué)簡明教程［M］．北京：高等教育出版社，2009．

G642．2

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1672-1454（2010）增刊1-0136-05