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        兩個面積最小問題的推廣

        2010-11-22 01:44:30陳建華
        大學數學 2010年1期

        陳建華

        (福建農林大學計算機與信息學院,福建福州 350002)

        兩個面積最小問題的推廣

        陳建華

        (福建農林大學計算機與信息學院,福建福州 350002)

        把兩個有關平面圖形的面積最小問題進行推廣,得到較一般的情形,所求的點都是區(qū)間的中點.

        曲線;面積;最小

        1 第一個問題及其推廣

        有這樣的一個面積最小問題[1],它是1987年全國考研數四的試題:

        求曲線y=x2在[0,1]內的一個點t,使此曲線與直線y=t2以及直線x=0,x=1所圍成的圖形面積最小.

        若曲線y=x2不變,把區(qū)間[0,1]推廣到[a,b](0≤a<b),同樣可求出相應的點t=,它剛好也是區(qū)間[a,b]的中點.

        那么,能否再把曲線作進一步的推廣?

        問題1 要求連續(xù)曲線y=f(x)在[a,b]內的一個點t,使此曲線與直線y=f(t)以及直線x=a,x=b所圍成的圖形面積最小.什么條件下,該問題相應的點t一定是區(qū)間[a,b]的中點?

        定理1 設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導且恒有f′(x)>0(或f′(x)<0),則問題1對應的點t為[a,b]的中點.

        證只證f′(x)>0的情形(f′(x)<0的情形同理).因為f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內f′(x)>0,所以f(x)在[a,b]上單調增加,于是,所言的面積

        定理1表明,某區(qū)間上嚴格遞增或遞減的曲線,該面積最小問題對應的點一定是區(qū)間的中點.

        對曲線y=ex和區(qū)間[1,3],則問題對應的點為t=2;

        2 第二個問題及其推廣

        下面的一個面積最小問題[1],它是1992年全國考研數二的試題:

        能否再把曲線作進一步的推廣呢?

        問題2 要求連續(xù)曲線y=f(x)在[a,b]內的一個點t,使此曲線與曲線在點(t,f(t))的切線以及直線x=a,x=b所圍成的圖形面積最小.什么條件下,問題2對應的點t一定是區(qū)間[a,b]的中點?

        定理2 設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內二階可導且恒有f″(x)<0(或f″(x)>0),則問題2對應的點t為[a,b]的中點.

        證只證f″(x)<0的情形(f″(x)>0的情形同理).因為f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內f″(x)<0,所以f(x)在[a,b]上為凸的,曲線y=f(x)位于切線y=f′(t)x+f(t)-tf′(t)的下方,于是所言的面積為

        定理和推論表明,某區(qū)間上嚴格凹或凸的曲線,該面積最小問題對應的切點橫坐標一定是區(qū)間的中點,切線函數是中點處的一階泰勒多項式.

        對曲線y=ln x和區(qū)間[1,3],則問題對應的點為t=2,切點為(2,ln 2),切線為y=x-1+ln 2;

        對曲線y=sin x和區(qū)間[0,π],則問題對應的點為t=,切點為切線為y=1.

        [1] 張友貴,杜祖締,施光燕.掌握高等數學(理工,經濟類)[M].大連:大連理工大學出版社,2004:273-304.

        O172.2

        C

        1672-1454(2010)增刊1-0073-02

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