谷振濤白俊霞劉琦

1.山東英才學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 250104；2.膠南市科學(xué)技術(shù)局 266400

不可導(dǎo)點(diǎn)的一些注記

谷振濤1白俊霞1劉琦2

1.山東英才學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 250104；2.膠南市科學(xué)技術(shù)局 266400

對(duì)于高等數(shù)學(xué)中求極值或最值部分，需要研究函數(shù)在定義域內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)，來(lái)確定其是否為極值點(diǎn)或最值點(diǎn)。因此，如何快速來(lái)確定函數(shù)在哪些點(diǎn)不可導(dǎo)就顯得尤為重要。該文對(duì)于如何快速確定函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)給出了一些辦法。

不可導(dǎo)點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)；最大值

高等數(shù)學(xué)中無(wú)論是求極值、最值還是判斷單調(diào)區(qū)間都需要考察函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。如何快速準(zhǔn)確地判定所考察的函數(shù)在哪些點(diǎn)不可導(dǎo)，這需要一些行之有效的辦法，而不能僅靠直覺(jué)。

1、用導(dǎo)函數(shù)的定義域來(lái)判定不可導(dǎo)點(diǎn)

當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.在(-∞,0)內(nèi)，y’<0，因此函數(shù)在 (-∞,0]上單調(diào)減少.在(0,+∞)內(nèi)，y’> 0，因此函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)增加。

在上例的求解過(guò)程中通常教材中都不會(huì)具體給出如何判定x=0是不可導(dǎo)點(diǎn)，可以默認(rèn)通過(guò)定義進(jìn)行判斷該點(diǎn)不可導(dǎo)。

2、用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)判定不可導(dǎo)點(diǎn)

這種判定方法顯得直接，而容易操作，但是這里也有一個(gè)難點(diǎn)，如何先判定哪些點(diǎn)可能是不可導(dǎo)點(diǎn)，然后才能對(duì)這些可疑的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)定義來(lái)判斷在該點(diǎn)函數(shù)是否可導(dǎo)。這里的預(yù)先劃定懷疑范圍也會(huì)帶來(lái)一些麻煩，如果可疑點(diǎn)是可導(dǎo)點(diǎn)，則似乎我們做的定義判別是無(wú)用功，因此用導(dǎo)數(shù)定義來(lái)判斷一個(gè)點(diǎn)是否是可導(dǎo)點(diǎn)，針對(duì)一些具體的題目是可以的.但是通常在一些較為綜合的題目中，這個(gè)方法就顯得很笨拙。

解 利用導(dǎo)數(shù)的定義

下面看一個(gè)較為綜合的題目。

在這個(gè)題目中，我們其實(shí)可以憑直覺(jué)，得到x=1,x=2很可能是不可導(dǎo)點(diǎn)，然后可以用定義來(lái)判定其是否為不可導(dǎo)點(diǎn)。

但是在這樣一個(gè)綜合性的題目中，我們用定義來(lái)判定不可導(dǎo)點(diǎn)，顯得既麻煩，又沒(méi)有效率，但是求最大值的規(guī)則要求我們必須驗(yàn)證這些點(diǎn)的身份。（當(dāng)然這個(gè)題目我們?yōu)榱饲蟮米钪?，不需要?yàn)證x=1, x=2是否可導(dǎo)點(diǎn)，直接將其作為可疑最值點(diǎn)與端點(diǎn)和駐點(diǎn)進(jìn)行比較即可）。

我們自然尋求一些便于判斷函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的快捷辦法。

3、假想延拓法判定不可導(dǎo)點(diǎn)

討論函數(shù)在x=1處是否可導(dǎo)，利用(1)式.我們假想

則其在(-3,1.5)上的導(dǎo)函數(shù)為f’(x) =2x-3。當(dāng)然導(dǎo)函數(shù)在x=1處的形式也是f’(x)=2x-3，因此立即得知函數(shù)f(x)=x2-3x+2在x∈[-3,1]左可導(dǎo)，且

利用(2)式，假想

則在（0.5,2）上的導(dǎo)函數(shù)為f’(x) =-2x+3。當(dāng)然導(dǎo)函數(shù)在x=1處的形式也是f’(x)=-2x+3，因此，立即得知函數(shù)f(x) =-x2+3x-2,x∈[1,2]在x=1右可導(dǎo)，且。

于是我們得到在x=1處左右導(dǎo)數(shù)存在不相等，因此函數(shù)在x=1處不可導(dǎo)，類似可得函數(shù)在x=2處也不可導(dǎo)。

注意:雖然假想延拓法看似復(fù)雜，但是理解其內(nèi)涵之后，運(yùn)用起來(lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單，另外假想延拓法也要注意一些條件，比如函數(shù)在所討論點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)的左右鄰域里均是初等函數(shù)。

4、關(guān)于以上方法的比較應(yīng)用

例4 設(shè)函數(shù)

為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo)，a,b應(yīng)該取何值。

解法一：據(jù)已知f(x)在x=1處可導(dǎo)，因此

因而必有a+b-1=0以及a=2，由此解得b=-1。

解法二：據(jù)已知函數(shù)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo)，因此在x=1處左右導(dǎo)數(shù)均存在.根據(jù)假想延拓法知函數(shù)在x=1處左導(dǎo)數(shù)為f’_(1)=2，于是再根據(jù)假想延拓法知函數(shù)在x=1處右導(dǎo)數(shù)為f’+(1)=a=f’_(1) =2再根據(jù)函數(shù)在x=1處連續(xù)，得a+b=1，解得b=-1

顯然應(yīng)用假想延拓法能迅速解決問(wèn)題。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)（第六版）[M]. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社.2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001.

TPO172.1

10.3969/j.issn.1001-8972.2010.14.105

谷振濤（1982-），男，山東萊蕪人，山東大學(xué)在職碩士研究生，助教，主要從事研究方向：高等數(shù)學(xué)，數(shù)值分析，數(shù)學(xué)建模.