談樹萍 ，雷擁軍 ，湯 亮

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

撓性衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)模式主要用來實(shí)現(xiàn)對(duì)地面不同目標(biāo)的觀測(cè)、對(duì)地面同一目標(biāo)的立體觀測(cè)和對(duì)空間目標(biāo)的跟蹤.在姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)模式中要求在盡可能短的時(shí)間內(nèi)完成從一個(gè)姿態(tài)向另外一個(gè)姿態(tài)的機(jī)動(dòng)控制.為了滿足有效載荷的工作需求，往往要求復(fù)雜衛(wèi)星在快速機(jī)動(dòng)后能夠快速穩(wěn)定[1-3].

針對(duì)具有高精度控制、大尺寸大柔性附件、多貯箱、大充液量、復(fù)雜多體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，快速機(jī)動(dòng)與快速穩(wěn)定在復(fù)雜衛(wèi)星控制中相互制約，相互牽連，其難點(diǎn)主要來源于兩個(gè)方面：非線性不確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的影響分析和達(dá)到綜合指標(biāo)的控制器動(dòng)態(tài)規(guī)劃.目前關(guān)于控制器動(dòng)態(tài)規(guī)劃的相關(guān)文獻(xiàn)很多，例如文獻(xiàn)[4]提出了一種基于非約束模態(tài)方程的方波序列控制方法，并給出了最小機(jī)動(dòng)時(shí)間的方波規(guī)劃方法.復(fù)雜衛(wèi)星的快速機(jī)動(dòng)與快速穩(wěn)定總體性能指標(biāo)的影響因素眾多，如復(fù)雜衛(wèi)星的撓性部件、推進(jìn)燃料、測(cè)量部件、執(zhí)行部件等.但是目前為止，關(guān)于復(fù)雜衛(wèi)星在快速機(jī)動(dòng)后快速穩(wěn)定過程中的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的影響分析工作還很少，尤其是缺乏測(cè)量隨機(jī)噪聲和力矩隨機(jī)噪聲對(duì)衛(wèi)星穩(wěn)態(tài)性能影響方面的分析工作.

本文針對(duì)撓性衛(wèi)星和中心剛體衛(wèi)星，對(duì)存在隨機(jī)噪聲情況下，撓性附件對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)指向精度和穩(wěn)態(tài)性能的影響進(jìn)行了分析.根據(jù)分析結(jié)果，撓性部分對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)指向精度和穩(wěn)定度的影響主要體現(xiàn)在帆板模態(tài)頻率和快速機(jī)動(dòng)后模態(tài)位移初值上.當(dāng)存在測(cè)量噪聲和力矩噪聲時(shí)，撓性附件降低了衛(wèi)星的指向精度和穩(wěn)態(tài)性能.

1 帶有太陽帆板的復(fù)雜衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型

1.1 撓性衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型

本文針對(duì)典型的撓性衛(wèi)星給出其結(jié)構(gòu)示意圖[5](見圖1)和動(dòng)力學(xué)方程.設(shè)OBxByBzB為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系，ONxSGNySGNzSGN、OSxSGSySGSzSGS分別為北、南帆板坐標(biāo)系，當(dāng)帆板轉(zhuǎn)角αp=0時(shí)，xB的方向與帆板平面垂直.

圖1 由中心剛體和南北兩翼太陽帆板構(gòu)成的衛(wèi)星

姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

本文暫不考慮帆板轉(zhuǎn)角測(cè)量噪聲及SADA步進(jìn)力矩噪聲，假設(shè)帆板轉(zhuǎn)角αp=0.做變量代換，令

x1=ηl,x2=ηr,

(4)

并記

其中Im×m表示m階的單位矩陣，則方程(1)～(4)可寫為

經(jīng)過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，可得

(5)

引理1[6].對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣A、B、C、D，在假定有關(guān)矩陣可逆的情形下，有

(6)

根據(jù)式(5)～(6)，衛(wèi)星姿態(tài)角速度和撓性模態(tài)位移及其一階導(dǎo)數(shù)滿足

(7)

(8)

1.2 測(cè)量噪聲和力矩噪聲建模

假設(shè)φN、θN、ψN和φ1,N、θ1,N、ψ1,N分別是t時(shí)刻的姿態(tài)角測(cè)量噪聲和姿態(tài)角速度測(cè)量噪聲，τc為力矩噪聲，且姿態(tài)角測(cè)量噪聲、姿態(tài)角速度測(cè)量噪聲和力矩噪聲兩兩獨(dú)立.定義φN、θN、ψN、φ1,N、θ1,N、ψ1,N和τc為如下的布朗運(yùn)動(dòng)的微商：

其中D1(t)、D2(t)、D3(t)分別為3維列向量，且測(cè)量噪聲和力矩噪聲的期望值和方差滿足

EΦN=0,EΦ1,N=0,Eτc=0,

2 控制器設(shè)計(jì)

令Kp=a1Is,Kd=a2Is.衛(wèi)星受到的所有外力矩Ts由控制力矩Tc和外擾動(dòng)力矩Td共同構(gòu)成，即

Ts=Tc+Td

(9)

對(duì)小角度機(jī)動(dòng)，衛(wèi)星相對(duì)于慣性空間的角速度在本體坐標(biāo)系下有關(guān)系式

dYt=AYtdt+Tδdt+DdWt,

其中，

根據(jù)隨機(jī)噪聲的定義，W為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，滿足

EW=0, E(WWT) =tI.

3 系統(tǒng)噪聲對(duì)撓性衛(wèi)星姿態(tài)控制穩(wěn)態(tài)性能的影響

不考慮外干擾力矩的隨機(jī)性，則Yt期望值為

(10)

Yt的方差為

σ2(Yt) =E((Yt-EYt)(Yt-EYt)T)

(11)

其中σ2(Y0) =E((Y0-EY0)(Y0-EY0)T)，表示考慮撓性附件情況下系統(tǒng)初值的方差.

顯然，根據(jù)式(10)，當(dāng)模態(tài)位移初值較大且穩(wěn)定時(shí)間較短時(shí)，姿態(tài)角指向精度指標(biāo)變差，根據(jù)式(11)，姿態(tài)穩(wěn)定度指標(biāo)由機(jī)動(dòng)后系統(tǒng)初值的方差、狀態(tài)矩陣A、噪聲矩陣D和穩(wěn)定時(shí)間決定，其中狀態(tài)矩陣A與撓性耦合系數(shù)矩陣Fsr、Fsl，衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Is，PD控制器參數(shù)相關(guān).

(12)

式中，

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，解式(12)，得

(13)

方差為

(14)

4 算 例

為了對(duì)以上結(jié)論有更直觀的認(rèn)識(shí)，下面給出一個(gè)具體的算例.

針對(duì)某衛(wèi)星，假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣、控制律系數(shù)、干擾矩陣分別為

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)三軸的測(cè)量噪聲和力矩噪聲相同，控制周期為64 ms，D1(t)=(4.8×10-6,4.8×10-6,4.8×10-6)Trad，D2(t)=(1.2×10-6,1.2×10-6,1.2×10-6)Trad/s，D3(t)=(8×10-3,8×10-3,8×10-3)TN·m，并且模態(tài)位移初值服從均值為5×10-3，標(biāo)準(zhǔn)差為10-4的正態(tài)分布，機(jī)動(dòng)后姿態(tài)角偏差的初值服從均值為3.5×10-4rad，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2×10-4rad的正態(tài)分布，姿態(tài)角速度服從均值為10-4rad/s，標(biāo)準(zhǔn)差為10-5rad/s的正態(tài)分布.

基于某衛(wèi)星的撓性參數(shù)，可以計(jì)算得A、Tδ、D，這里A和D分別為30×30和30×9的矩陣，為了節(jié)省篇幅，本文不再詳細(xì)列出矩陣A和D.當(dāng)不考慮外干擾Tδ時(shí)，如果控制時(shí)間為60 s，根據(jù)式(10)～(11)姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的期望值分別為

E(Φ-Φm) = (0.2，0.1，1.3)T×10-2(°)，

偏航軸姿態(tài)角速度標(biāo)準(zhǔn)差為1×10-4(°)/s.

當(dāng)視衛(wèi)星為中心剛體時(shí)，同樣是機(jī)動(dòng)后采用姿態(tài)穩(wěn)定控制器控制60s后，根據(jù)式(13)～(14)姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的期望值分別為

E(Φ-Φm) = (1.3，1.3，1.3)T×10-3(°)，

偏航軸姿態(tài)角速度標(biāo)準(zhǔn)差為2.5×10-5(°)/s.

顯然，測(cè)量噪聲、力矩噪聲和撓性附件均會(huì)降低衛(wèi)星的指向精度和穩(wěn)態(tài)性能.

5 結(jié) 論

本文針對(duì)撓性衛(wèi)星和中心剛體衛(wèi)星，得到存在隨機(jī)噪聲情況下衛(wèi)星姿態(tài)角、姿態(tài)角速度關(guān)于初值的條件期望和方差，并指出撓性附件對(duì)衛(wèi)星穩(wěn)定性能的影響.

從姿態(tài)角速度的期望和方差的解析式來看，快速機(jī)動(dòng)后姿態(tài)角、姿態(tài)角速度及模態(tài)位移的初值及方差和系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間均會(huì)對(duì)衛(wèi)星穩(wěn)定性能產(chǎn)生影響.初值越小，指向精度越高；系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間越長(zhǎng)，指向精度及穩(wěn)定性能越高.