牛奉高,劉維奇,2

分數(shù)布朗運動與Hurst指數(shù)的關(guān)系研究

牛奉高1,劉維奇1,2

(1.山西大學數(shù)學科學學院,山西太原030006;2.山西大學管理科學與工程研究所,山西太原030006)

討論了重標極差分析(Rescaled Range Analysis,簡稱R/S)方法的理論基礎(chǔ)——分數(shù)布朗運動的相關(guān)性和自相似性,以及分數(shù)高斯噪聲序列的自相關(guān)指數(shù)、自相似性、長記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系.驗證了分數(shù)布朗運動當H≠1/2時不是Markov過程,以及Hurst指數(shù)與其自相似指數(shù)相同等性質(zhì).并得到了分數(shù)高斯噪聲的長記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系,從而可以通過Hurst指數(shù)來判斷序列是否有長記憶性.

Hurst指數(shù);分數(shù)布朗運動;分數(shù)高斯噪聲;自相似性

水文學家Hurst[1]在隨機游走的1/2冪律法則(即距離的平方與時間成正比)的啟發(fā)下,提出了Rescaled Range Analysis(簡稱R/S)分析方法,并得到了一個新的非參數(shù)統(tǒng)計量(后稱為Hurst指數(shù),簡記為H指數(shù)),從而將隨機過程的冪律法則推廣到了一般的形式,即距離的H次冪與時間同階.20世紀40年代, Hurst基于對有偏的隨機游走所進行的深入研究,結(jié)合R/S分析方法,發(fā)現(xiàn)有偏的隨機游走能很好地刻畫許多自然現(xiàn)象.Mandelbrot在20世紀60年代也對此進行了廣泛探討,1963年將其應(yīng)用到時間序列分析中. 1968年與Van.Ness對布朗運動進行推廣,提出了I型和II型分數(shù)布朗運動的概念[2].1991年P(guān)eters提出了分形市場概念,指出分數(shù)布朗運動可以準確的刻畫金融市場波動.2009年Davidson通過模擬對I型和II型分數(shù)布朗運動的參數(shù)進行了估計,并就參數(shù)的無偏性做了比較和實證分析[3].事實上,R/S分析方法就是以分數(shù)布朗運動理論為基礎(chǔ)(詳見下文第一部分).Hurst指數(shù)的提出對時間序列研究有重要意義,而分數(shù)布朗運動賦予了Hurst指數(shù)更強的解釋能力.通過計算Hurst指數(shù)H可以判斷時間序列的分形特征[4-8],2008年Zunino等還研究得出了熵指數(shù)和分形特征的關(guān)系[9].

1 相關(guān)概念

由于研究時間序列性質(zhì)的角度不同,部分概念往往有多種定義形式,本文基于以下定義形式進行探討.

1.1 自相似

一個實值隨機過程{X(t),t≥0}稱為自相似的(self similar),如果對任意的a>0,存在b>0,使得{X特別地,稱其為H-自相似的(H-ss),如果任意的a>0,有其中H>0稱為自相似指數(shù),是同分布的意思.

1.2 分數(shù)布朗運動[10]:

設(shè)概率空間(Ω,F,P),H(0

(a)P{B(0,H)=0}=1;

(b)對任意的t∈R+,B(t,H)為F可測的隨機變量,且E{B(t,H)}=0;

(c)對任意的t,τ∈R+,有

其中,σ為方差參數(shù).

1.3 記憶性[11]

一個弱平穩(wěn)過程,如果其ACF是有界的,即|ρ(k)|～Cr|k|,C>0,0

其中C≠0,0

對平穩(wěn)時間序列{xt},(1≤t≤N),其滯后k階的自相關(guān)函數(shù)為:

其中,γk=E[(xt-μ)(xt+k-μ)]為滯后k階的自協(xié)方差,μ為xt的期望.

1.4 自相關(guān)指數(shù)

稱γ為時間序列{Xt}的自相關(guān)指數(shù),若ρ(k)滿足:

2 分數(shù)布朗運動與Hurst指數(shù)

設(shè)時間序列{xi},(1≤t≤N)是布朗運動B(t)的現(xiàn)實,作以下記號:

由xi～N(μ,σ2),得dn～N(nμ,nσ2),ˉxN～N(μ,σ2/N),SN→σ.令n=N t,0

由dn-nˉxN=dn-nμ-n(ˉxN-μ),得

性質(zhì)1對分數(shù)布朗運動及以上記號,有

因此R/S分析方法計算所得的Hurst指數(shù)是分數(shù)布朗運動H參數(shù)的估計.

2.1 分數(shù)布朗運動的相關(guān)性

性質(zhì)2當H≠1/2時,分數(shù)布朗運動不是Markov過程

證明:設(shè)分數(shù)布朗運動B(t,H),H為Hurst指數(shù)(0

再利用分數(shù)布朗運動的平穩(wěn)增量性,得增量的相關(guān)函數(shù)為:

特別地,k=t時,有:

顯然,當H=1/2時,ρ(t)=0,即未來的增量與過去不相關(guān).當H≠1/2時,即分數(shù)布朗運動{B(t,H)}就不是Markov過程了.進一步由(5)式不難得出以下性質(zhì):

性質(zhì)3設(shè)ρ(t)分數(shù)布朗運動時間間隔為t的增量序列的自相關(guān)函數(shù),則有: (1)ρ(t)與t無關(guān);

(2)-0.5<ρ(t)=22H-1-1<1;

(3)ρ(t)≠-1,即不可能完全負相關(guān);

(4)當0.5

2.2 分數(shù)布朗運動的自相似性

布朗運動{B(t),t≥0}是1/2-自相似隨機過程(1/2-ss),對于分數(shù)布朗運動也有類似性質(zhì).性質(zhì)4分數(shù)布朗運動是自相似的,且自相似指數(shù)就是Hurst指數(shù).

證明 根據(jù)FBM定義知,增量B(t+k)-B(t)服從正態(tài)分布N(0,σ2k2H),則

又

因此B(γk)與γHB(k)同分布,即FBM是自相似的,記為H-ss,且自相似指數(shù)就是H,也即Hurst指數(shù).

3 分數(shù)高斯噪聲與Hurst指數(shù)

分數(shù)布朗運動是非平穩(wěn)的,但其增量是平穩(wěn)的.對于分數(shù)布朗運動的一步增量序列,又稱為分數(shù)高斯噪聲.

3.1 分數(shù)高斯噪聲的自相關(guān)

引理1[2,12]對于分數(shù)布朗運動,其一步增量序列的k階自相關(guān)函數(shù)滿足:

引理1說明Hurst指數(shù)可以反映分數(shù)布朗運動增量的相關(guān)性,并得到Hurst指數(shù)和自相關(guān)指數(shù)之間的等價關(guān)系.

性質(zhì)5設(shè)分數(shù)布朗運動B(t,H),其一步增量序列的自相關(guān)指數(shù)為γ,則有:

3.2 分數(shù)高斯噪聲的長記憶性

根據(jù)分數(shù)布朗運動定義和ρ(k)的等價形式(6)式,有2H-2=2d-1,從而

由(8)式得到以下性質(zhì).

性質(zhì)6分數(shù)高斯噪聲具有長記憶性,如果0.5

這是通過計算Hurst指數(shù)來判斷簡單分形時間序列是否具有長記憶性的理論根據(jù).

4 結(jié)論

本文在一定條件下討論了分數(shù)布朗運動以及其離散化一步增量序列,即分數(shù)高斯噪聲的自相似性、相關(guān)性及長記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系,得到了一些簡單而直觀的結(jié)論,為實證研究提供了可靠的理論基礎(chǔ).如我們可以根據(jù)Hurst指數(shù)是否顯著為1/2來判斷序列是否為布朗運動;進一步,對于分數(shù)布朗運動的一步增量序列,如果其H顯著大于1/2,則可斷定其具有長記憶性;根據(jù)自相關(guān)指數(shù)可以得到Hurst指數(shù),也就是自相似指數(shù).

[1] HURST H E.Long-term Storage Capacity of Reservoirs[J].Transactions of the A merican Society of Civil Engineers, 1951,116:770-808.

[2] MANDELBROT B B,VAN NESS J W.Fractional Brownian Motions,Fractional Noises and Applications[J].S IA M Review,1968,10:422-437.

[3] JAMES DAVIDSON,NIGAR HASHIMZADE.Type I and Type II Fractional Brownian Motions:A Reconsideration[J]. Computational Statistics and Data A nalysis,2009(53):2089-2106.

[4] 莊新田,莊新路,田 瑩.Hurst指數(shù)及股市的分形結(jié)構(gòu)[J].東北大學學報,2003,24(9):862-865.

[5] 范 英,魏一鳴.基于R/S分析的中國股票市場分形特征研究[J].系統(tǒng)工程,2004,22(11):46-51.

[6] 劉衡郁,甘小芳.上證綜指分形特征研究[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2005,25(5):83-91.

[7] 冉茂盛,羅彥如,黃凌云.基于分形理論下的歐元匯率波動分析[J].統(tǒng)計與決策,2009(24):138-139.

[8] 張洪波.運用Hurst指數(shù)法對上證指數(shù)自相關(guān)性探討[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010(1):177-178.

[9] ZUNINO L,PéREZ D G,KOWALS A.Fractional Brownian Motion,Fractional Gaussian Noise,and Tsallis Permutation Entropy[J].Physica A,2008(387):6057-6068.

[10] GU YJUMARIE.Fractional Brownian Motions Via Random Walk in the Complex Plane and Via Fractional Derivative. Comparison and Further Results in Their Fokker-Planck Equations[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22:907-925.

[11] WILLIAM A BROCK,DAVID A HSIEH,BLAKE LeBaron.Nonlinear Dynamics,Chaos and Instability:Statistics Theory and Economic Evidence[M].Boston:The MIT Press,1991.

[12] BERAN J.Statistics for Long-memory Processes on Monographs on Statistics and Applied Probability[M].London: Chapman Hall,1994.

Relations of Fractional Brownian Motion and Hurst Exponent

NIU Feng-gao1,LIU Wei-qi1,2
(1.School of Mathematical Science,S hanxi University,Taiyuan030006,China; 2.School of Management,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We discussed the theoretical foundation of theR/Sanalysis,that were related Hurst Exponent to self-correlation and self-similarity of the fractional Brownian motion as well as autocorrelation index,selfsimilarity,long memory of the fractional Gaussian noise series.These are verified that fractional Brownian motion is not Markov processes in caseH≠1/2,as well as Hurst index is same as its self-similarity index. The relationship between the long memory Fractional Gaussian noise and Hurst Exponent is obtained, which can determine whether there is a long memory of the sequence via Hurst index.

Hurst exponent;fractional Gaussian Noise;fractional Brownian Motion;self similar

O211.6

A

0253-2395(2010)03-0380-04

2010-03-25;

2010-04-02

山西省高校人文社科重點研究基地項目(20083006)

牛奉高(1980-),男,山西晉城人,助教,理學碩士,主要從事概率統(tǒng)計的研究.E-mail:nfgao@sxu.edu.cn