錢國棟,趙燕冰,霍元極,3

奇特征有限正交空間中全迷向子空間的Critical問題

錢國棟1,趙燕冰2,霍元極1,3

(1.河北北方學院信息與工程學院,河北張家口075000;2.張家口職業(yè)技術學院基礎部,河北張家口075000; 3.海南軟件職業(yè)技術學院基礎部,海南瓊海571000)

利用奇特征正交空間上全迷向子空間的性質及計數(shù)定理在奇特征正交空間中研究了全迷向子空間的Critical問題,得到了相應的計數(shù)公式和Critical指數(shù).

奇待征正交空間;Critical指數(shù);面;格;matroid;M?bius函數(shù)

1 預備知識

設Fq是q個元素的有限域,這里q是一個素數(shù)冪,F(n)q是Fq上的n維行向量空間.F(n)q上的經(jīng)典Critical問題由Crapo和Rota在1970年系統(tǒng)地闡述和研究,給出了Critical指數(shù)及其相關的結果(見文獻[1]), Kung在文獻[2]中研究了辛空間的Critical問題,給出了一些結果,萬哲先在有限域上酉空間和辛空間中研究了Critical問題得到一些重要結果(見文獻[3]),并糾正了Kung在文獻[2]中的一些錯誤,趙燕冰、錢國棟、霍元極在文獻[4]中研究了奇特征有限正交空間中非迷向子空間的Critial問題得到了相應的結果.本文根據(jù)文[5,6,7]中的結果,按照文獻[3]中的思路,討論了奇特征有限正交空間中全迷向子空間的Critical問題,也得到了文獻[1,3,4,5]中一些相應的結果,解決了文獻[5]中遺留的一個問題.

我們沿用文獻[5,6]中的名詞術語,也用到這兩個文獻中與此文有關的一些結論,并且用[M1,M2,…, Ml]表示對角分塊矩陣,其主對角上依序是方陣M1,M2,…,Ml.

設Fq是一個奇特征的有限域,如1.3節(jié)[5],選擇一個F＊q上確定的非平方元z,令S2ν+δ,Δ是一個Fq上(2ν +δ)×(2ν+δ)非奇對稱矩陣其中δ=0,1,2.

由Fq上滿足TS2ν+δ,ΔTt=S2ν+δ,Δ的所有(2ν+δ)×(2ν+δ)非奇異矩陣T關于矩陣乘法作成一個群,稱該群為Fq上關于S2ν+δ,Δ的2ν+δ階正交群,表示為O2ν+δ,Δ(Fq,S2ν+δ,Δ).

群O2ν+σ,Δ(Fq,S2ν+δ,Δ)在2ν+σ維向量空間F2ν+δq上的作用定義如下

向量空間F(2ν+δ)q與如上O2ν+δ,Δ(Fq,S2ν+δ,Δ)的群作用一起被叫做奇特征有域Fq上2ν+δ維正交空間.設P是 F2qν+δ的m維子空間,由定理1.26[5],PS2ν+δP′合同于

我們稱如上的P是(m,2s+γ,s,Γ)型子空間.如果2s+γ=0,就稱(m,2s+γ,s,Γ)型子空間為全迷向子空間;或者,一個子空間P是全迷向的當且僅當PSP′=0,如果P是F(2ν+δ)q的一個m維子空間,秩為m的m×(2ν +δ)矩陣也用P表示,它的行向量擴張為一個子空間P,并且叫這個矩陣P為這個子空間P的矩陣表示.

引理1[5]用(m,2s+γ,s,Γ)⊥表示(m,2s+γ,s,Γ)型子空間在F(2ν+δ)q中關于S2ν+δ,Δ的對偶空間,(m,2s +γ,s,Γ)滿足

那么(m,2s+γ,Γ)⊥為

其中,

引理2 設0≤r≤m,在2ν+δ維正交空間犉2ν+δq上包含一個給定r維全迷向子空間的m維全迷向子空間的個數(shù)是

證明 當r=0時,引理2由推論6.23[5]直接可得.

現(xiàn)在假設r>0,由定理6.43[5]及引理1包含一個給定的r維全迷向子空間的m維全迷向子空間的m維全迷向子空間的個數(shù)是

由定理6.33[5]

(1)δ=0時,k滿足min{r,m}≥k≥max{0,r}.由于0

(2)δ=1時,k滿足min{r,m}≥k≥max{0,r}.由于0

N′(r,0,0;m,0,0;2ν+δ,Δ)=N(2ν+1-m,2(ν-m)+1,ν-m,Δ;2ν-r+1,2(ν-r)+1,ν-r,Δ;2ν+1,Δ)

(3)δ=2時,k滿足min{r,m}≥k≥max{0,r}.由于0

所以

奇特征正交空間F(2ν+δ)q上向量集X叫做一個迷向集,如果uSν′=0,對于所有的u,v∈X.用〈X〉表示由

X擴張成的子空間.顯然,如果X是一個向量的迷向集,則〈X〉是一個全迷向子空間.向量集X的秩定義為〈X〉的維數(shù),用r(X)表示,當X=φ,那么,〈X〉=φ且r(X)=0.

令S是奇特征正交空間F(2ν+δ)q上一個非零向量集,一個全迷向子空間P被叫做是分離S的,如果P∩S =φ.S的正交Critical指數(shù)被定義為存在一個最小正整數(shù)λ≤ν+1,使得存在一個(ν+1-λ)維全迷向子空間分離S,表示為Corth(S,F2ν+δq).令P1,P2,…,Pλ是λ個極大全迷向子空間,(P1,P2,…,Pλ)叫做極大全迷向子空間的λ元組,如果dim(P1∩P2)=ν-1,dim(P1∩P1∩P3)=ν-2,…,dim(P1∩P1∩P3∩…∩Pλ)=ν+ 1-λ.

因為任何(ν+1-λ)維全迷向子空間是極大全迷向子空間的一個λ元組的交,這個S的正交Citical指數(shù)也可定義為ν維極大全迷向子空間Pi(i=1,2,…,λ)所成的λ元組(P1,P2,…,Pλ)與S分離,即(∩λi=1Pi)∩S =φ,這些λ元組中,最小的λ成為S的正交Critical指數(shù).按照慣例,我們也認為0元組的全迷向子空間的交

是F(2ν+δ)q.

令S是一個正交空間F2ν+δq中非零向量的集合,M(S)是被線性無關向量定義的S上的matriod,L(M (S))是M(S)的面格,一個迷向面也是一個向量迷向集,顯然,向量迷向集的子集也是迷向的.迷向面的集族在格L(M(S))中形成一個理想并且這個理想用LI(M(S))表示.

引理3 設0≤r≤m,在2ν+δ維正交空間F2ν+δq上包含一個給定秩為r的迷向集的m維全迷向子空間的個數(shù)是

證明 當r=r(X)=0時,引理3由推論6.23[5]直接可得.

現(xiàn)在假設r>0,令P是一個m維全迷向子空間,那P?X當且僅當P?〈X〉,因此,由引理2得證.推論4 在2ν+δ維正交空間F2ν+δq上包含一個給定秩r的迷向集的極大全迷向子空間的個數(shù)是

2 主要結論

定理5 設S是2ν+δ維正交空間F(2ν+δ)q中的(m,2s+γ,s,Γ)型非零向量的集合,(m,2s+γ,s,Γ)滿足(＊),M(S)是被線性無關向量定義的matroid,L(M(S))是M(S)的面格,LI(M(S))是在格L(M(S))中迷向面的理想,μ是L(M(S))上的M?bius函數(shù)那么,對任保正整數(shù)λ≤ν+1,分離S的ν+1-λ維全迷向子空間的個數(shù)是

證明 因為ν+1-λ維全迷向子空間為(ν+1-λ,0,0)型,所以(ν+1-λ,0,0)滿足(＊).設X是M(S)的一個面,用g(λ,X)表示包含X的ν+1-λ維全迷向子空間的個數(shù),所以由引理2得

用f(λ,X)表示使得P∩S=X的ν+1-λ維全迷向子空間P的個數(shù),那么,

由M?bius反演公式得,

對于Y=φ,f(λ,φ)是分離S的ν+1-λ維全迷向子空間的個數(shù)

其中m1=r(X)≤ν+1-λ.

推論6 設S是2ν+δ維正交空間F(2ν+δ)q中非零向量的集合,M(S),L(M(S)),LIM(S),μ,與定理5相同,其中m1=r(X)≤ν+1-ε.那么

定理7 設S是2ν+δ維正交空間F(2ν+δ)q中非零向量的集合,那么極大全迷向子空間的λ元組與S分離的個數(shù)為

證明 依據(jù)推論4應用定理5類似的方法可證該定理.

推論8 設S是2ν+δ維正交空間F(2ν+δ)q中非零向量的集合,那么

[1] CRAPO H H,ROTA G C.On the Foundations of Combinatorial Theory:Combinatorial Geometries[M].Preliminary Edition,M I T Press,Cambridge,1970.

[2] KUNGJ P S.Pfaffian Structures and Critical Problem in Finite Symplectic Spaces[J].A nnals of Combinatorics,1997, 159172.

[3] WAN Z X.Critical Problem in Finite Vector Spaces[J].Codes and Designs,2002,10:293-303.

[4] 趙燕冰,錢國棟,霍元極.奇特征有限正交空間中非迷向子空間的Critical問題[J].應用數(shù)學學報,2009,32(5):858-873.

[5] WAN Z X.Geometry of Classical Groups Over Finite(Second Edition)[M].Beijing:Science Press,2002.

[6] MARTIN A.Combinatorial Theory[M].New York Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1979.

[7] WELSH D J A.Matroid Theory[M].London,New York:Academi Press,1976.

Critical Problems of Totally Isotropic Subspaces in Finite Orthogonal Spaces of Odd Characteristic

QIAN Guo-dong1,ZHAO Yan-bing2,HUO Yuan-ji1,3
(1.College of Inf ormation Engineering,Hebei North University,Zhangjiakou075000,China; 2.Department of Basic Coures,Zhangjiakou Vocational College ofTechnology,Zhanjiakou075000,China; 3.Department of Basic Courses,Hainan Sof tware Prof ession Institute,Qionghai571000,China)

With the properties and counting theorems of the finite orthogonal spaces of odd characteristic, the critical problems of totally isotropic subspaces in the finite orthogonal spaces of odd characteristic was studied and the corresponding counting formulas and critical exponents was obtanied.

orthogonal spaces over finite fields of odd characteristic;critical exponent;flat;lattice;matroid; M?bius function

O152.8

A

0253-2395(2010)03-0366-05

2009-11-09;

2010-03-23

海南省自然科學基金(109006)

錢國棟(1964-),男,河北萬全人,學士,講師,研究領域為計算機與編碼理論.E-mail:zjkzyb@tom.com