李守繼, 樓夢(mèng)麟

(1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院,安徽合肥 230009;2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

0 引 言

近年來(lái),隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,一方面,地鐵在城市交通中得到愈來(lái)愈廣泛的應(yīng)用[1];另一方面,由于生活水平的提高,人們對(duì)環(huán)境要求愈來(lái)愈高。因此,地鐵對(duì)環(huán)境的影響越來(lái)越大。地鐵運(yùn)行引起的振動(dòng)雖不致造成建筑物結(jié)構(gòu)破壞,但可能造成裝飾物開(kāi)裂脫落;較大振動(dòng)會(huì)影響人們的生理和生活,影響精密儀器等對(duì)振動(dòng)敏感設(shè)備的正常工作[2]。因此,地鐵振動(dòng)對(duì)環(huán)境的影響引起人們?cè)絹?lái)越廣泛的關(guān)注,受到各國(guó)研究人員的高度重視[3]。

同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室振動(dòng)與地面運(yùn)動(dòng)觀測(cè)室曾多次利用ALTUS-K2測(cè)振儀,在上海多條地鐵周邊場(chǎng)地進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)測(cè)量,獲得地鐵引起地面振動(dòng)的加速度時(shí)程記錄。結(jié)果表明,地鐵引起地基土振動(dòng)的頻率成分非常復(fù)雜,主要為中高頻振動(dòng)[4]。

目前,人們?cè)谶M(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算分析時(shí),阻尼多采用Rayleigh比例阻尼模型[5],該模型采用2個(gè)控制頻率來(lái)確定阻尼比例系數(shù)。一般來(lái)說(shuō),在土層動(dòng)力反應(yīng)的時(shí)域計(jì)算中,多采用土層的低階自振頻率,特別是第1階自振頻率來(lái)確定 Rayleigh比例阻尼模型中的2個(gè)比例系數(shù)。這一方法應(yīng)用于較淺土層地震反應(yīng)的計(jì)算是可行的,已有研究[6]表明,在深覆蓋土層地震反應(yīng)分析中采用這一方法時(shí),存在嚴(yán)重低估土層地震反應(yīng)的可能性。這是因?yàn)橥翆拥卣鸱磻?yīng)計(jì)算中輸入地震波的主要成分的迫振頻率遠(yuǎn)高于土層的基頻,以土層基頻來(lái)確定的Rayleigh比例阻尼矩陣將大幅提高高階振型的阻尼比,抑制高階振型對(duì)土層地震反應(yīng)的貢獻(xiàn)。類似地,在計(jì)算由地鐵運(yùn)行引起的土層振動(dòng)分析中也同樣存在激振頻率遠(yuǎn)高于土層或地下結(jié)構(gòu)低階自振頻率的情況,如何合理確定阻尼矩陣是應(yīng)重視的問(wèn)題。本文試圖應(yīng)用Caughey阻尼模型[7]與 Rayleigh阻尼模型來(lái)討論阻尼模型在地鐵引起土層振動(dòng)分析中的影響。

1 Caughey阻尼模型

1.1 阻尼比與頻率的關(guān)系

人們進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算分析時(shí),之所以采用(1)式所示的 Rayleigh阻尼矩陣[7],是為了滿足正交條件,從而使求解動(dòng)力方程時(shí)能夠解耦。

式中,系數(shù)a0和a1由2個(gè)控制頻率確定。

而由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可組合成無(wú)數(shù)個(gè)滿足正交條件的矩陣?？梢宰C明,自由振動(dòng)振型關(guān)于k(m-1k)b矩陣和m(m-1k)b矩陣均正交,因此正交的阻尼矩陣(用矩陣形式表示)可寫成如下形式:

式中,ab為任意系數(shù);當(dāng) b取任意項(xiàng),即形成Caughey阻尼公式。當(dāng)b僅取0和1兩項(xiàng)時(shí),即得(1)式所示的Rayleigh阻尼公式。

又第n振型的廣義阻尼為:

當(dāng)阻尼由(2)式給出時(shí),由(3)式可得:

則

比較(3)式和(4)式,有:

取b為0及其附近的共i個(gè)整數(shù),并給定相應(yīng)的i個(gè)阻尼比ξi和相應(yīng)的ωi,則利用(5)式解得對(duì)應(yīng)的i個(gè)ab值。利用解得的ab值,可建立以頻率 ω為自變量,ξ為因變量的函數(shù),即

1.2 阻尼比隨頻率變化特征

為討論2種阻尼模型對(duì)不同振型阻尼比的影響,假定振動(dòng)體系各階振型的實(shí)際阻尼比是相同的,所考察的振動(dòng)體系的振型阻尼比分別為0.01、0.03和 0.05三種情況。

圖1所示繪出采用 Rayleigh阻尼模型(即i=2,b分別取0和1)時(shí),由(6)式描述的振型阻尼比隨頻率變化的曲線,其中對(duì)應(yīng)控制頻率分別取 ω1=2π?1,ω2=2π?80。采用 Caughey阻尼模型時(shí),取 i=7,b分別為 -1、0、1、2、3、4 和 5,對(duì)應(yīng)控制頻率分別取 ω1=2π?1,ω2=2π?2,ω3=2π?10,ω4=2π?30,ω5=2π?50,ω6=2π?70 和ω7=2π?80,則由(6)式描述的振型阻尼比隨頻率變化的曲線如圖2所示。

圖1 由2個(gè)基本頻率決定的阻尼比-頻率曲線

圖2 由7個(gè)基本頻率決定的阻尼比-頻率曲線

1.3 控制頻率的確定

由上述曲線可見(jiàn),阻尼比-頻率曲線波動(dòng)大小與控制頻率個(gè)數(shù)、兩相鄰控制頻率之間的間距大小和控制起始頻率大小等因素有關(guān)?？刂祁l率的個(gè)數(shù)i太少,如取2個(gè)控制頻率,即Rayleigh比例阻尼時(shí),控制頻率之間部分的計(jì)算阻尼比小于實(shí)際的振型阻尼比,如圖1所示。顯然,當(dāng)結(jié)構(gòu)以控制頻率之間的頻率振動(dòng)時(shí),振動(dòng)反應(yīng)計(jì)算值比實(shí)際反應(yīng)值要小。

一般來(lái)說(shuō),兩相鄰控制頻率之間的間距越大,其間阻尼比誤差越大。但當(dāng)控制頻率的個(gè)數(shù)i太大時(shí),又會(huì)出現(xiàn)與實(shí)際不符的阻尼比小于零的情況。

綜上計(jì)算分析,對(duì)于0～80 Hz頻率范圍的振動(dòng),按圖2所示選取的7個(gè)控制頻率來(lái)確定振動(dòng)體系的阻尼矩陣比較合適。由此建立的Caughey阻尼模型為:

式中,系數(shù)ai由 7個(gè)控制頻率 f-1=1 Hz、f0=2 Hz、f1=10 Hz、f2=30 Hz、f3=50 Hz、f4=70 Hz和f5=80 Hz按(8)式得到。

2 算 例

下面通過(guò)工程實(shí)例來(lái)驗(yàn)證。利用上海典型土層參數(shù),建立包括地鐵隧道在內(nèi)的分層土層有限元計(jì)算模型。采用Caughey阻尼和Rayleigh阻尼2種方法,計(jì)算比較在地鐵引起復(fù)雜頻率振動(dòng)的激勵(lì)下,土層的振動(dòng)響應(yīng)。

2.1 土層計(jì)算參數(shù)、激勵(lì)和計(jì)算方法

2.1.1 計(jì)算參數(shù)

考慮比較結(jié)果的相對(duì)性及便于計(jì)算,將上海市典型土層計(jì)算參數(shù)[8]按厚度加權(quán)進(jìn)行適當(dāng)歸并,并且取深度為150 m得表1所列。表中平均剪切模量是根據(jù)彈性波傳播理論指出的剪切波速vs、介質(zhì)剪切模量G和介質(zhì)彈性模量E之間存在下列關(guān)系[9],計(jì)算得到:

式中,ρ為介質(zhì)密度;μ為泊松比。

2.1.2 激 勵(lì)

輸入激勵(lì)為對(duì)地鐵引起的軌道實(shí)測(cè)豎向振動(dòng)加速度,時(shí)程取時(shí)間步長(zhǎng)為0.005 s而得到,時(shí)程曲線如圖3所示,圖4所示為其Fourier幅值譜。

表1 土層計(jì)算參數(shù)

2.1.3 計(jì)算方法

由建立的Caughey阻尼模型和土層有限元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣[10],利用Newmark逐步積分法計(jì)算土層有限元各節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度響應(yīng)。

2.2 計(jì)算模型

根據(jù)施工工程所在地的上海地鐵一號(hào)線某處隧道橫截面尺寸[11](如圖5所示)和前述土層計(jì)算參數(shù)等,建立土層二維有限元計(jì)算模型,如圖6所示。

考慮對(duì)稱性、計(jì)算條件并忽略另一方向行駛列車隧道的影響,計(jì)算模型為以豎向?qū)ΨQ軸的整體模型的一半,橫向尺寸取300 m,豎向尺寸取150 m,滿足模型最小范圍應(yīng)取3H ×H(H為基巖深度)的要求[12]。模型底部為固定約束;對(duì)稱軸,即圖6所示模型右邊界,僅水平方向約束;左邊界無(wú)約束。

圖3 激勵(lì)加速度時(shí)程曲線

圖4 激勵(lì)加速度Fourier幅值譜曲線

圖5 地鐵隧道橫截面圖

圖6 土層有限元計(jì)算模型示意圖

2.3 計(jì)算結(jié)果及分析

表2列出計(jì)算土層前10階自振頻率;表3列出圖6所示土層表面A點(diǎn)、B點(diǎn)(距A點(diǎn)30 m)、C點(diǎn)(距A 點(diǎn)60 m)、D點(diǎn)(距A 點(diǎn)90 m)和 E點(diǎn)(距A點(diǎn)120 m),阻尼分別按(7)式Caughey阻尼和Rayleigh阻尼算得的振動(dòng)響應(yīng)峰值加速度。

表2 計(jì)算土層自振頻率

表3 計(jì)算節(jié)點(diǎn)峰值加速度 m/s2

圖7和圖8分別繪出圖6所示土層表面A點(diǎn)和E點(diǎn),按Caughey阻尼(圖中記為柯西阻尼法)和Rayleigh阻尼(圖中記為瑞雷阻尼法)算得的豎向振動(dòng)響應(yīng)加速度時(shí)程曲線。

計(jì)算分析表明,按Caughey阻尼方法計(jì)算得到的地面位移、速度和加速度響應(yīng)均要比按Rayleigh阻尼方法算得的結(jié)果大;按2種阻尼方法算得的A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)、D點(diǎn)和E點(diǎn)豎向振動(dòng)位移最大誤差分別為 3%、9%、18%、31%和38%;速度最大誤差分別為 11%、26%、45%、64%和52%;加速度最大誤差分別為34%、46%、59%、67%和72%;相同情況下,加速度誤差比位移和速度誤差均要大。

圖7 A點(diǎn)豎向振動(dòng)響應(yīng)加速度時(shí)程曲線

圖8 E點(diǎn)豎向振動(dòng)響應(yīng)加速度時(shí)程曲線

3 結(jié) 論

本文利用2種阻尼模型,計(jì)算分析了地鐵引起地面振動(dòng)的位移、速度和加速度響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果表明:

(1)對(duì)于頻率分布較廣的中高頻振動(dòng),需合理選擇控制頻率來(lái)確定阻尼比,從而使振動(dòng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的阻尼比與事先確定的控制阻尼比之差滿足要求。

(2)當(dāng)土體受到頻率分布較廣的中高頻振動(dòng)激勵(lì),計(jì)算土體響應(yīng)時(shí),阻尼采用傳統(tǒng)的Rayleigh阻尼,將會(huì)使計(jì)算結(jié)果偏小。

(3)目前,計(jì)算地鐵引起土體的振動(dòng)響應(yīng),多采用Rayleigh阻尼。本文首次嘗試?yán)肅aughey阻尼計(jì)算地鐵引起土體的振動(dòng)響應(yīng)。由于地鐵振動(dòng)頻率分布非常廣,土體特性復(fù)雜,如何選擇更符合實(shí)際的阻尼模型還有待進(jìn)一步深入研究。

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