唐 震, 張學(xué)勇, 黃 凱, 李 平, 劉 東

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)理系,安徽合肥 230601)

0 引 言

動(dòng)力傳送帶、帶鋸、空中纜車索道及高樓升降機(jī)纜繩等多種工程系統(tǒng)元件,計(jì)及抗彎剛度時(shí)均可模型化為軸向運(yùn)動(dòng)梁。因此,軸向運(yùn)動(dòng)梁的研究有廣泛的應(yīng)用前景。

同時(shí),軸向運(yùn)動(dòng)梁的控制方程中含有時(shí)間和空間混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng),是典型的陀螺連續(xù)系統(tǒng),相關(guān)研究也有重要的理論意義。

隨著軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁非線性振動(dòng)研究的深入[1,2],對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的非線性振動(dòng)也開始研究。

對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)梁非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究往往是采用 Galerkin截?cái)?Kapitaniak還基于Galerkin截?cái)嘤脭?shù)值方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁軸向力變化導(dǎo)致非線性參數(shù)振動(dòng)的分岔和混沌[3]。文獻(xiàn)[4,5]分別基于2項(xiàng)和4項(xiàng)Galerkin截?cái)嘤脭?shù)值方法研究軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁軸向力變化導(dǎo)致非線性參數(shù)振動(dòng)的分岔和混沌,但是尚無直接的證據(jù)證明低階Galerkin截?cái)嗟暮侠硇訹6],而采用直接數(shù)值方法研究軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的報(bào)道很少。

黏彈性的引入,提供了工程系統(tǒng)中阻尼因素建模的一種可能途徑。本文研究Kelvin黏彈性本構(gòu)關(guān)系非線性梁在速度有周期脈動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性,采用有限差分法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程直接數(shù)值解,研究高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下,速度的脈動(dòng)對(duì)梁運(yùn)動(dòng)特性的影響。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)在某些參數(shù)情況下平衡位置會(huì)失去穩(wěn)定性,而出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng)。

1 控制方程

考慮Kelvin微分黏彈性本構(gòu)關(guān)系,利用牛頓第二定律得到變速軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)的控制方程[7],無量綱化后得到非線性偏微分方程為:

其中,梁上點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)位移v為空間軸向坐標(biāo)x及時(shí)間t的函數(shù);γ表示梁的軸向速度;vf表示剛性系數(shù);α表示黏性系數(shù);k1表示非線性系數(shù)(其中,逗號(hào)表示對(duì)其后面的變量求偏導(dǎo)數(shù),符號(hào)上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù))。

2 數(shù)值方法

有限差分法是求解微分方程的有效數(shù)值方法,它將偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解,即函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值可以近似地用鄰近節(jié)點(diǎn)函數(shù)值表示。

引入等間距網(wǎng)格L×T,以及時(shí)間步長(zhǎng)τ和空間步長(zhǎng)h,即

考慮梁的兩端由光滑套筒簡(jiǎn)支的邊界條件為:

在本文的研究中,將使用以下初始條件:

其中,D為初始振幅,本文取D=0.001。

在給定系統(tǒng)各參數(shù)的值之后,可數(shù)值求解代數(shù)方程組,實(shí)現(xiàn)對(duì)(1)式的數(shù)值解。

3 數(shù)值算例

這里假設(shè)無量綱化的梁軸向運(yùn)動(dòng)速度在一個(gè)恒定的平均速度γ0附近有幅值為γ1,頻率為ω的周期性簡(jiǎn)諧擾動(dòng),即

考慮運(yùn)動(dòng)梁的參數(shù)設(shè)置為剛度vf=0.8,非線性系數(shù)k1=2 000,α=0.001,平均速度 γ0=3,擾動(dòng)速度頻率 ω=3.5。其計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.000 001,空間步長(zhǎng)為0.001。

圖1所示給出了2倍周期運(yùn)動(dòng)的梁中點(diǎn)隨時(shí)間變化的相平面、Poincar映射圖、梁中點(diǎn)時(shí)程以及時(shí)程的頻譜分析,其中γ1=0.40。

從圖1可以清楚地識(shí)別此時(shí)系統(tǒng)處于倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖1 2倍周期運(yùn)動(dòng)

圖2所示給出了混沌運(yùn)動(dòng)的梁中點(diǎn)隨時(shí)間變化的相平面、Poincar映射圖、梁中點(diǎn)時(shí)程以及時(shí)程的頻譜分析,其中γ1=0.47。從圖2可以判定系統(tǒng)此時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3所示給出了非線性參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的最大 Lyapunov指數(shù),其中圖3a中擾動(dòng)速度的幅值 γ1=0.40;圖3b中擾動(dòng)速度的幅值γ1=0.47。從圖3中可以看出,系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)周期運(yùn)動(dòng)的最大Lyapunov指數(shù)會(huì)隨時(shí)間而趨于零,而混沌運(yùn)動(dòng)的最大Lyapunov指數(shù)會(huì)趨于一個(gè)正值。

根據(jù)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù),同樣可以判定系統(tǒng)是處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)還是混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖2 混沌運(yùn)動(dòng)

圖3 隨時(shí)間變化的最大Lyapunov指數(shù)

4 結(jié)束語

本文根據(jù)Kelvin黏彈性本構(gòu)關(guān)系的軸向變速運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)方程,利用有限差分法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的偏微分方程數(shù)值解,研究了非線性黏彈性脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)形式,通過時(shí)間序列分析,分別用相圖、Poincar映射圖、時(shí)間歷程、頻譜分析和最大Lyapunov指數(shù)方法,識(shí)別了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)。

[1] 馮志華,胡海巖.基礎(chǔ)直線運(yùn)動(dòng)柔性梁的非線性動(dòng)力學(xué)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2004,17(3):126-131.

[2] Chen Shuhui,Huang Jianliang,Sze K Y.M ulti-dimensional Lindstedt-Poincaré method for nonlinear vibration of axially moving beams[J].Journal of Sound and Vibration,2007,306(2):1-11.

[3] M arynowski K.Non-linear vibrations of an axially moving viscoelastic web with time-dependent tension[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,21(2):481-490.

[4] Yang Xiaodong,Chen Liqun.Bifurcation and chaos of an axially accelerating viscoelastic beam[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,23(1):249-258.

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[6] 陳立群,程昌鈞.非線性黏彈性梁的動(dòng)力學(xué)行為[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2000,21(9):897-902.

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