唐 震, 張學(xué)勇, 黃 凱, 李 平, 劉 東

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)理系,安徽合肥 230601)

0 引 言

動力傳送帶、帶鋸、空中纜車索道及高樓升降機纜繩等多種工程系統(tǒng)元件,計及抗彎剛度時均可模型化為軸向運動梁。因此,軸向運動梁的研究有廣泛的應(yīng)用前景。

同時,軸向運動梁的控制方程中含有時間和空間混合偏導(dǎo)數(shù)項,是典型的陀螺連續(xù)系統(tǒng),相關(guān)研究也有重要的理論意義。

隨著軸向運動彈性梁非線性振動研究的深入[1,2],對軸向運動黏彈性梁的非線性振動也開始研究。

對于軸向運動梁非線性動力學(xué)行為的研究往往是采用 Galerkin截斷,Kapitaniak還基于Galerkin截斷用數(shù)值方法研究了軸向運動黏彈性梁軸向力變化導(dǎo)致非線性參數(shù)振動的分岔和混沌[3]。文獻[4,5]分別基于2項和4項Galerkin截斷用數(shù)值方法研究軸向運動黏彈性梁軸向力變化導(dǎo)致非線性參數(shù)振動的分岔和混沌,但是尚無直接的證據(jù)證明低階Galerkin截斷的合理性[6],而采用直接數(shù)值方法研究軸向運動系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的報道很少。

黏彈性的引入,提供了工程系統(tǒng)中阻尼因素建模的一種可能途徑。本文研究Kelvin黏彈性本構(gòu)關(guān)系非線性梁在速度有周期脈動時的運動特性,采用有限差分法對運動微分方程直接數(shù)值解,研究高速運動狀態(tài)下,速度的脈動對梁運動特性的影響。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)在某些參數(shù)情況下平衡位置會失去穩(wěn)定性,而出現(xiàn)周期運動或者混沌運動。

1 控制方程

考慮Kelvin微分黏彈性本構(gòu)關(guān)系,利用牛頓第二定律得到變速軸向運動梁橫向振動的控制方程[7],無量綱化后得到非線性偏微分方程為:

其中,梁上點的橫向運動位移v為空間軸向坐標x及時間t的函數(shù);γ表示梁的軸向速度;vf表示剛性系數(shù);α表示黏性系數(shù);k1表示非線性系數(shù)(其中,逗號表示對其后面的變量求偏導(dǎo)數(shù),符號上方的點表示對時間t求導(dǎo)數(shù))。

2 數(shù)值方法

有限差分法是求解微分方程的有效數(shù)值方法,它將偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解,即函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)值可以近似地用鄰近節(jié)點函數(shù)值表示。

引入等間距網(wǎng)格L×T,以及時間步長τ和空間步長h,即

考慮梁的兩端由光滑套筒簡支的邊界條件為:

在本文的研究中,將使用以下初始條件:

其中,D為初始振幅,本文取D=0.001。

在給定系統(tǒng)各參數(shù)的值之后,可數(shù)值求解代數(shù)方程組,實現(xiàn)對(1)式的數(shù)值解。

3 數(shù)值算例

這里假設(shè)無量綱化的梁軸向運動速度在一個恒定的平均速度γ0附近有幅值為γ1,頻率為ω的周期性簡諧擾動,即

考慮運動梁的參數(shù)設(shè)置為剛度vf=0.8,非線性系數(shù)k1=2 000,α=0.001,平均速度 γ0=3,擾動速度頻率 ω=3.5。其計算時間步長為0.000 001,空間步長為0.001。

圖1所示給出了2倍周期運動的梁中點隨時間變化的相平面、Poincar映射圖、梁中點時程以及時程的頻譜分析,其中γ1=0.40。

從圖1可以清楚地識別此時系統(tǒng)處于倍周期運動狀態(tài)。

圖1 2倍周期運動

圖2所示給出了混沌運動的梁中點隨時間變化的相平面、Poincar映射圖、梁中點時程以及時程的頻譜分析,其中γ1=0.47。從圖2可以判定系統(tǒng)此時處于混沌運動狀態(tài)。

圖3所示給出了非線性參數(shù)振動穩(wěn)態(tài)周期運動和混沌運動隨時間變化的最大 Lyapunov指數(shù),其中圖3a中擾動速度的幅值 γ1=0.40;圖3b中擾動速度的幅值γ1=0.47。從圖3中可以看出,系統(tǒng)振動時周期運動的最大Lyapunov指數(shù)會隨時間而趨于零,而混沌運動的最大Lyapunov指數(shù)會趨于一個正值。

根據(jù)時間序列的最大Lyapunov指數(shù),同樣可以判定系統(tǒng)是處于周期運動狀態(tài)還是混沌運動狀態(tài)。

圖2 混沌運動

圖3 隨時間變化的最大Lyapunov指數(shù)

4 結(jié)束語

本文根據(jù)Kelvin黏彈性本構(gòu)關(guān)系的軸向變速運動梁的動力學(xué)方程,利用有限差分法對系統(tǒng)運動的偏微分方程數(shù)值解,研究了非線性黏彈性脈動運動梁的振動形式,通過時間序列分析,分別用相圖、Poincar映射圖、時間歷程、頻譜分析和最大Lyapunov指數(shù)方法,識別了系統(tǒng)的周期運動及混沌運動形態(tài)。

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