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        一類對(duì)偶框架小波的刻畫和構(gòu)造

        2010-10-23 13:14:00李萬社鄭李娥
        關(guān)鍵詞:對(duì)偶小波濾波器

        李萬社,鄭李娥

        (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062)

        一類對(duì)偶框架小波的刻畫和構(gòu)造

        李萬社,鄭李娥

        (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062)

        從尺度函數(shù)出發(fā),利用框架多分辨分析(FMRA),借助于濾波器,在L2(Rd)中構(gòu)造了一對(duì)以整系數(shù)可逆矩陣A為伸縮因子的對(duì)偶框架小波,并找到了正交Parseval框架小波濾波器滿足的一個(gè)充分條件.

        框架多分辨分析;尺度函數(shù);小波框架;對(duì)偶;濾波器

        0 引言

        在過去的20多年里,小波分析作為一種新發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分析方法,無論是在理論上還是應(yīng)用上都得到了廣泛的研究.現(xiàn)在,小波分析已被應(yīng)用到信號(hào)分析、圖像處理、醫(yī)學(xué)成像與診斷、微分方程、控制論等眾多領(lǐng)域.

        Duffin和Schaeffer 1952年在非調(diào)和富氏級(jí)數(shù)的研究中首先引入了框架的概念,框架的冗余使得低精度下獲得的小波系數(shù)能在相對(duì)高的精度下重建原始信號(hào),一般情況下信號(hào)的表示不唯一,這使得框架的研究有了更廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.Daubechies、Chui等眾多學(xué)者在理論和應(yīng)用方面對(duì)小波框架進(jìn)行了深入而細(xì)致的研究[1-9].多分辨分析在框架的構(gòu)造中有著非常重要的作用,研究者研究了框架多分辨分析的重要性質(zhì),詳細(xì)地刻畫了框架多分辨分析的譜的有關(guān)理論[10-11].Daubechies等人[2]討論了用多分辨分析構(gòu)造框架小波,并給出了快速算法,張之華[4]則在對(duì)偶框架多分辨分析的基礎(chǔ)上討論了擬雙正交框架小波的構(gòu)造.Bownik[5]討論了n維歐幾里得空間上平方可積函數(shù)空間中的仿射系統(tǒng),對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了描述.Bhatt等人[8]對(duì)正交框架進(jìn)行了探討,并利用濾波器構(gòu)造向量值小波變換,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多帶數(shù)據(jù)的處理.本文從框架多分辨分析入手,對(duì)對(duì)偶框架小波特別是Parseval框架小波進(jìn)行了深入的刻畫,給出了構(gòu)造對(duì)偶框架的矩陣方法.

        1 預(yù)備知識(shí)

        在進(jìn)行進(jìn)一步討論之前,我們先介紹一下文中所需的基本符號(hào)、概念和一些已有的結(jié)論.R表示全體實(shí)數(shù)集,Z表示全體整數(shù)集,N表示正整數(shù)集,Rd表示d維歐幾里得空間,L2(Rd)表示Rd上所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間.I和O分別表示適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣和零矩陣.exp表示自然對(duì)數(shù)的底,i表示復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分.

        定義1 設(shè)H是一個(gè)可分的希爾伯特空間,{xj}j∈Z?H,若存在常數(shù)C1,C2>0,使

        則稱{xj}j∈Z是空間H的框架.若式(1)中第二個(gè)不等式成立,則稱{xj}j∈Z是空間H的一個(gè)Bessel序列.

        定義2 設(shè){xj}j∈Z,{~xj}j∈Z是空間H的兩個(gè)框架,如果對(duì)于f∈H,

        成立,則稱{xj,}j∈Z是空間H的對(duì)偶框架.如果空間中一個(gè)框架的對(duì)偶框架是其本身,則稱它是Parseval框架.

        定義3 假設(shè){xj}j∈Z,{yj}j∈Z是空間H的兩個(gè)框架,如果對(duì)于f∈H,

        成立,我們說這兩個(gè)框架正交.

        設(shè)伸縮矩陣(所有特征值的絕對(duì)值都大于1的矩陣)A是d×d的整系數(shù)可逆矩陣,且det

        A=p,矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣記為B,記T*=Zd/AZd,T=Zd/BZd,則商群T*、T的階都為p.

        定義4 設(shè){Vj}是L2(Rd)中的閉子空間序列,且滿足下列條件:

        則稱{Vj}是L2(Rd)的一個(gè)框架多分辨分析(FMRA),函數(shù)φ稱為尺度函數(shù).若存在W0,使{ψl(·-n),l=1,2,…,r}是W0的框架(其中V0⊕W0=V1),稱是小波函數(shù).如果在上述定義中,將4)中的“框架”改為“Riesz基”,則稱{Vj}是L2(Rd)的一個(gè)多分辨分析(MRA).

        對(duì)于f∈L1(Rd)∩L2(Rd),定義其Fourier變換如下:

        式中“*”表示內(nèi)積運(yùn)算,接下來我們定義兩個(gè)酉算子:

        記ψl,m,n=DmTnψl,l=1,2,…,r,m∈Z,n∈Zd,若{ψl,m,n}是L2(Rd)的小波框架,稱是相應(yīng)的框架小波.若是L2(Rd)中的對(duì)偶小波框架,則稱是對(duì)偶框架小波.若是L2(Rd)中的正交小波框架,則稱{ψl,是正交框架小波.

        引理1[10]假設(shè)φ∈L2(Rd),令(其中span表示生成的線性空間,閉包是在φ∈L2(Rd)中所取),那么{Vj}是尺度函數(shù)為φ的FMRA當(dāng)且僅當(dāng):

        2)存在某加細(xì)濾波器m0∈L2(Rd),滿足(Bξ)=m0(ξ)(ξ),對(duì)幾乎所有ξ∈Rd;

        引理2[5]假設(shè){ψl,m,n},是空間L2(Rd)的兩個(gè)Bessel序列,并且滿足:對(duì)所有f,g∈L2(Rd).則是對(duì)偶框架小波.

        引理3[5]假設(shè)生成L2(Rd)兩個(gè)小波框架,則這兩個(gè)框架正交當(dāng)且僅當(dāng)

        下面兩個(gè)式子成立:

        2 對(duì)偶框架小波的構(gòu)造

        記Ωφ=supp[φ,φ](其中supp表示支撐集),則:

        ?f∈L2(Rd),定義平移算子τv(v∈T):τvf=f(·+ηv),其中,η=2πB-1,B-1表示矩陣B的逆矩陣.

        可以得到下面的定理.

        定理1假設(shè)A是伸縮矩陣,φ和φ~是尺度函數(shù),且Ωφ=Ωφ~=Ω,m0、是相應(yīng)的加細(xì)濾波器.設(shè)ml,~ml(l=1,2,…,r)是以2πZd為周期的有界函數(shù),定義如下:

        記矩陣

        若{ψl,m,n},都是Bessel序列,滿足*M=diag(τv(χΩ))v∈T(其中M*表示矩陣M的轉(zhuǎn)置矩陣),則是對(duì)偶框架小波.

        下證:

        設(shè)

        將式(11)代入式(10),再作Fourier逆變換,得:

        從而?j∈Z,?f∈L2(Rd),有:

        對(duì)于L<0,定義算子TL:L2(Rd)→L2(Rd),TLf=fL,?f∈L2(Rd).如果我們能夠證明,

        對(duì)于L2(Rd)中由帶限函數(shù)組成的稠密子集中所有函數(shù)h:成立,則fL→0(L→-∞).現(xiàn)在取稠密子集,使函數(shù)h的Fourier變換連續(xù),有緊支撐且在0的某鄰域內(nèi)為0,有:

        其中C是{φL,n}的框架界.而:

        推論1假設(shè){Vj,φ}是一個(gè)FMRA,supp[φ,φ]=Ω,m0是相應(yīng)的加細(xì)濾波器,設(shè)ml(l=1,2,…,r)是以2πZd為周期的有界函數(shù),M如式(7)、(8)所定義.如果{ψl,m,n}是L2(Rd)中Bessel序列,滿足M*M=Ip,則是L2(Rd)中Parseval框架小波.

        定理2假設(shè)φ∈L2(Rd),且滿足引理1中尺度函數(shù)的條件,m(ξ)是相應(yīng)的加細(xì)濾波器.設(shè)ml,是以2πZd為周期的有界函數(shù),如式(7)所定義,記如果:則是正交Parseval框架小波.

        3 結(jié)語

        本文從框架多分辨分析(FMRA)出發(fā),運(yùn)用矩陣?yán)碚?、群論以及框架的有關(guān)理論,選取合適的尺度函數(shù)和適當(dāng)?shù)臑V波器,在L2(Rd)中討論了對(duì)偶框架的一些性質(zhì),給出了用矩陣方法構(gòu)造對(duì)偶框架小波的方法.最后還討論了Parseval框架的構(gòu)造,并找到了構(gòu)造正交Parseval框架小波的矩陣擴(kuò)充方法.

        [1] Daubechies I.小波十講[M].李建平,楊萬年,譯.北京:國防工業(yè)出版社,2004.

        [2] Daubechies I,Han B,Ron A,et al.Framelets:MRA-based constructions of wavelet frames[J].Appl Comput Harmon Anal,2003,14(1):1-46.

        [3] Chui C K.小波分析導(dǎo)論[M].程正興,譯.西安:西安交通大學(xué)出版社,1995:91-99.

        [4]張之華.一對(duì)擬雙正交框架小波[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,51(1):81-90.

        [5] Bownik M.A characterizationof affine dualframesin L2(Rn)[J].Appl Comput Harmon Anal,2000,8(1):203-221.

        [6] Li S.A theory of generalized multiresolution structure and pseudoframes of translates[J].J Fourier Anal Appl,2001,7(1):23-40.

        [7] Bakic D,Krishtal I,Wilson E N.Parseval frames waveletswith-dilations[J].Appl Comput Harmon Anal,2005,19(2):386-431.

        [8] Bhatt G,Johnson B D,Weber E.Orthogonal wavelet frames and vector-valued wavelet transforms[J].Appl Comput Harmon Anal,2007,23(1):215-234.

        [9] Zhang Z,Saito N.Constructions of periodic wavelet frames using extension principles[J].Appl Comput Harmon Anal,2009,27(1):12-23.

        [10] Kim H O,Kim R Y,Lim J K.On the spectrums of frame multiresolution analysis[J].J Math Anal Appl,2005,305(2):528-545.

        [11] 辛友明.框架多分辨分析譜的研究[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào),2006,45(5):59-65.

        Characterization and Construction of Some Dual Frame Wavelets

        LI Wan-she,ZHENG Li-e
        (College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal university,Xi’an 710062,Shaanxi,China)

        Motivated by the notion of frame multiresolution analysis,with the help of filters,a pair of dual frame wavelets in L2(Rd)with dilated matrix A which entries are all integers from a scaling function are constructed.Furthermore,a sufficient condition satisfied by the filters of orthogonal Parseval frame wavelet is shown.

        frame multiresolution analysis;scaling function;wavelet frame;dual;filter bank

        O 174.2

        A

        1001-4217(2010)03-0005-08

        2010-03-16

        李萬社(1963-),男,陜西西安人,教授,博士.研究方向:小波分析及分形理論.E-mail:liwsh@snnu.edu.cn

        國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10571113)

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