潘健，周森

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640）

考慮參數(shù)空間變異性的不排水邊坡可靠度分析

潘健，周森

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640）

采用驗(yàn)算點(diǎn)法和隨機(jī)有限元法對不排水邊坡進(jìn)行可靠度分析，研究邊坡坡度、安全系數(shù)和強(qiáng)度參數(shù)相關(guān)性對邊坡可靠度的影響.數(shù)值分析結(jié)果表明，由于隨機(jī)有限元法恰當(dāng)?shù)乜紤]了土性參數(shù)的空間變異性，因而當(dāng)土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)超過臨界值時(shí)，邊坡失效概率計(jì)算結(jié)果更為合理.

邊坡穩(wěn)定；不排水邊坡；有限元法；失效概率

0 引言

巖土工程問題的不確定性使得可靠度分析方法在巖土工程領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注.可靠度分析方法最早是由Wu和Craft[1]引入到邊坡穩(wěn)定性分析中的，Alonso[2]、Tang等[3]以及Vanmarcke[4]等對早期邊坡可靠度分析方法的應(yīng)用做出了較大貢獻(xiàn).隨后，國內(nèi)外專家學(xué)者[5-9]對這種分析法進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，推動了可靠度分析方法在邊坡工程中的應(yīng)用和發(fā)展.

目前，邊坡可靠度分析中最常用的方法是驗(yàn)算點(diǎn)法、概率距點(diǎn)估計(jì)法、響應(yīng)面法、MC模擬法，而隨機(jī)有限元方法的應(yīng)用則相對較少.常規(guī)邊坡可靠度分析不同程度地存在著簡化與假設(shè)較多、未考慮變量的空間變異性及概率分布等問題，從而也限制了其工程應(yīng)用；隨機(jī)有限元法卻可以較好地模擬土性參數(shù)的空間變異性，得到較為合理的結(jié)果.鑒于此，本文以隨機(jī)有限元法（RFEM）[10]為分析手段，以不排水邊坡為對象，研究坡度、安全系數(shù)和強(qiáng)度參數(shù)空間相關(guān)距離及變異系數(shù)對邊坡可靠度的影響，并與驗(yàn)算點(diǎn)法（FORM）的結(jié)果進(jìn)行對比.

1 強(qiáng)度參數(shù)概率分析

為研究土性參數(shù)變異性對邊坡可靠度的影響，取簡單邊坡剖面如圖1所示.坡高H=10.0 m，坡底深度為20 m，土體容重γsat（或γ）=20.0 kN/m3.對于不排水邊坡，把抗剪強(qiáng)度指標(biāo)cu（φu=0）看做一隨機(jī)變量，無量綱化為Cu=cu（γsatH）.考慮坡角α為18.4°（坡度3∶1）、26.6°（坡度2∶1）和45°（坡度1∶1）等3種不同情況.

假設(shè)抗剪強(qiáng)度參數(shù)Cu服從對數(shù)正態(tài)分布.雖然可供選擇的相關(guān)函數(shù)有多種，但對數(shù)正態(tài)分布方法簡單，不需要迭代計(jì)算，可由古典正態(tài)（高斯）分布經(jīng)過簡單的非線性變換構(gòu)造得到，還可以確保隨機(jī)變量總為正值.基于對數(shù)正態(tài)分布的這種優(yōu)勢，目前很多學(xué)者都提倡用這種方法對土體性質(zhì)進(jìn)行模擬，對隨機(jī)變量Cu的具體描述可參考文獻(xiàn)[11].

對數(shù)正態(tài)分布下的抗剪強(qiáng)度Cu對應(yīng)3個參數(shù)：均值μCu，標(biāo)準(zhǔn)差σCu和空間相關(guān)距離θlnCu.Cu的變異性可由變量的無量綱系數(shù)表示為:

圖1 簡單邊坡剖面圖

Cu對數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和均值可以由Cu的標(biāo)準(zhǔn)差和均值表示如下：

由公式（1）、（2）和（3）反算出Cu的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：

因?yàn)閷?shí)際的不排水抗剪強(qiáng)度場服從對數(shù)正態(tài)分布，故抗剪強(qiáng)度參數(shù)Cu的對數(shù)服從隱式正態(tài)分布（高斯）場.空間相關(guān)距離的確定與這個隱式場有關(guān)，也即與抗剪強(qiáng)度參數(shù)Cu的對數(shù)lnCu有關(guān).特別地，空間相關(guān)距離有特定的范圍（指相關(guān)函數(shù)為指數(shù)或高斯函數(shù)時(shí)，函數(shù)值衰減到e-1時(shí)的距離，e為自然對數(shù)底），一旦超過這個特定范圍，空間隨機(jī)值在隱式高斯場則呈現(xiàn)顯著相關(guān)性.所以，較大的空間距離與平緩變化場對應(yīng)，而較小的空間距離對應(yīng)場的變化卻呈現(xiàn)波動性.

在本文中，取指數(shù)衰減相關(guān)函數(shù)形式為：

ρ（τ）指由絕對距離τ離散的隨機(jī)場中兩點(diǎn)土性參數(shù)間的相關(guān)系數(shù).在現(xiàn)行研究中，通常將空間相關(guān)距離除以邊坡坡高H，使其無量綱化為：

不同空間相關(guān)距離對應(yīng)的典型破壞機(jī)制如圖2所示.

圖2 空間相關(guān)距離對土坡可靠度的影響

圖2（a）、（b）分別表明了ΘCu=0.2和2時(shí)空間距離對土性參數(shù)相關(guān)性的影響，較小的波動范圍值意味著土性變化較大，較大的波動范圍值意味著土性變化較平穩(wěn).圖中明、暗網(wǎng)格單元分別代表低強(qiáng)度和高強(qiáng)度土體區(qū)，黑色代表土體強(qiáng)度最高的單元，白色代表土體強(qiáng)度最低的單元.需要強(qiáng)調(diào)的是，這兩種情況下抗剪強(qiáng)度分布分析基于相同的對數(shù)正態(tài)分布，僅僅空間相關(guān)距離有所不同.

由離散點(diǎn)試樣得到的土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和空間相關(guān)距離等特性只能反映“點(diǎn)”特性[12].雖然按照這種方法獲取的參數(shù)特性并不能完全反映實(shí)際工程問題，但它們代表著土體內(nèi)在的變異性，這種變異性可通過考慮樣本容量的局部平均法來調(diào)整.在用隨機(jī)有限元法（RFEM）進(jìn)行分析時(shí)，每一個有限單元網(wǎng)格都具有常量屬性，用來離散邊坡的每一個有限單元網(wǎng)格的大小就代表了樣本容量.如果點(diǎn)分布服從正態(tài)分布，那么由局部平均法得到的方差減小，均值不受影響；而在對數(shù)正態(tài)分布中，由局部平均法得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都會減小.運(yùn)用局部平均法對代表對數(shù)正態(tài)場的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行調(diào)整，并把調(diào)整后的均值μCuA和σCuA標(biāo)準(zhǔn)差映射到有限單元網(wǎng)格上.取極限，當(dāng)ΘCu→0時(shí)，局部平均剔除了所有偏差（σCuA→0），均值趨近于算術(shù)平均值，故：

2 驗(yàn)算點(diǎn)法（FORM）

2.1 邊坡算例

常規(guī)的驗(yàn)算點(diǎn)法（FORM）[13]沒有考慮空間相關(guān)距離對邊坡可靠度的影響，即認(rèn)為空間相關(guān)距離ΘCu=∞，此時(shí)局部平均法已不再適用.對于不排水邊坡，在本文中，選取服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Cu作為邊坡可靠度分析參數(shù).失效概率pf可簡單等同于抗剪強(qiáng)度參數(shù)Cu不超過Cu，Ks=1時(shí)的概率，其中Ks表示安全系數(shù)，Cu，Ks=1代表安全系數(shù)為1時(shí)對應(yīng)的Cu值.在數(shù)量關(guān)系上，失效概率pf等同于對應(yīng)Cu≤Cu，Ks=1時(shí)，概率密度函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的面積.例如，當(dāng)坡角α=26.6°（坡度2∶1）時(shí)，對應(yīng)Cu，Ks=1=0.17.假定μCu=0.25，σCu=0.125（υCu=0.5），代入公式（2）、（3）得到隱式正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μlnCu=－1.489，σlnCu=0.472.失效概率計(jì)算如下：

其中，Φ·為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率分布函數(shù).

為研究安全系數(shù)Ks對邊坡可靠度影響，對于μCu=Cu，Ks=1.25=0.21，μCu=Cu，Ks=1.47=0.25和μCu=Cu，Ks=1.70=0.29時(shí)，不同υCu對應(yīng)的失效概率如表1所示.為達(dá)到參數(shù)研究目的，找到υCu對應(yīng)的臨界值，在一些情況下，取υCu值高達(dá)1.5.

考慮坡度的影響，研究中發(fā)現(xiàn)對于不排水邊坡，無論在哪種情況下，只要安全系數(shù)相同，坡度對失效概率的影響就沒有差別.因此，表1所示的失效概率值對任何坡度都適用.

2.2 FORM和Hasofer-Lind可靠度指標(biāo)

運(yùn)用驗(yàn)算點(diǎn)法（FORM）可以計(jì)算涉及多元隨機(jī)變量系統(tǒng)的失效概率，多元隨機(jī)變量概率密度函數(shù)與極限狀態(tài)函數(shù)對應(yīng)，極限狀態(tài)函數(shù)能將失效區(qū)和安全區(qū)劃分開來.傳統(tǒng)的FORM基于Hasofer-Lind[13]可靠度指標(biāo)βHL， 認(rèn)為隨機(jī)變量的均值位于極限狀態(tài)函數(shù)的安全區(qū)，可靠度指標(biāo)在幾何上表示為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)空間中均值和極限狀態(tài)面之間的最短距離，其計(jì)算涉及到迭代優(yōu)化過程.根據(jù)當(dāng)量正態(tài)化后的隨機(jī)變量（即驗(yàn)算點(diǎn)）位于極限狀態(tài)面上，由此可以從中找到使可靠度指標(biāo)達(dá)到最小值時(shí)對應(yīng)的相關(guān)矩陣.一旦確定了可靠度指標(biāo)，那么就可以定義失效概率如下：

表1 不同變異系數(shù)υCu的失效概率

需要注意的是，當(dāng)失效概率大于50%時(shí)，可靠度指標(biāo)為負(fù)值[14].對于二維隨機(jī)變量，由一階假設(shè)得到的極限狀態(tài)函數(shù)表示一條直線，失效概率表示位于極限狀態(tài)線失效區(qū)一側(cè)由二元概率密度函數(shù)和坐標(biāo)平面所圍成的體積值.對于涉及多元隨機(jī)變量的情況，采用類似的計(jì)算方法.

每一種可靠度分析方法都需要確定一個極限狀態(tài)函數(shù)，以對安全或失效狀態(tài)進(jìn)行界定.極限狀態(tài)分為承載力的極限狀態(tài)和正常使用的極限狀態(tài).通常極限狀態(tài)方程表示如下：

其中，X1，X2，…，XN為隨機(jī)變量.表示相關(guān)正態(tài)變量的Hasofer-Lind指標(biāo)βHL和表示相關(guān)非正態(tài)變量的FORM指標(biāo)β的優(yōu)勢在于，可靠度指標(biāo)與極限狀態(tài)函數(shù)的具體形式無關(guān)，是極限狀態(tài)函數(shù)的不變量.極限狀態(tài)函數(shù)可以定義為抗力減去荷載、安全系數(shù)減1、安全系數(shù)的對數(shù)或者其它不影響可靠度指標(biāo)計(jì)算值的代數(shù)組合.

具體來說，F(xiàn)ORM是通過迭代過程來確定可靠度指標(biāo)的.為顯式地考慮變量之間的相關(guān)性，可靠度等效計(jì)算公式為[15]：

其中，Xi為第個i隨機(jī)變量，為第i個隨機(jī)變量的等效正態(tài)化均值，為第i個隨機(jī)變量的等效正態(tài)化標(biāo)準(zhǔn)差，{（Xi-）/}為隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化矢量，R為相關(guān)矩陣.

3 隨機(jī)有限元法（RFEM）

3.1 RFEM特性

本節(jié)運(yùn)用彈塑性有限元模型，結(jié)合蒙特卡羅數(shù)值模擬的RFEM[11]進(jìn)行分析，并與FORM結(jié)果進(jìn)行對比.RFEM需要生成隨機(jī)場特性并將其映現(xiàn)到有限單元網(wǎng)格上，對分布類型并沒有嚴(yán)格的限制，隨機(jī)場是在隱式正態(tài)空間中生成的，可以很容易地將正態(tài)分布映射到其他類型的分布中.在每個單元網(wǎng)格上，充分考慮局部平均和方差折減，并建立指數(shù)衰減的空間相關(guān)函數(shù).隨機(jī)場初始生成后，賦予每個單元網(wǎng)格土體特性，并將重力荷載加于有限單元網(wǎng)格上.運(yùn)用蒙特卡羅模擬進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算，每一次蒙特卡羅分析過程都是在相同的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和土性空間相關(guān)距離條件下進(jìn)行的，但是土性參數(shù)的空間分布卻各不相同.根據(jù)足夠數(shù)量的分析循環(huán)次數(shù)，失效概率可以很容易地由失效次數(shù)和總模擬次數(shù)的比值來確定，分析過程也包含了土體特性和各向異性空間相關(guān)距離的互相關(guān)性.

典型單元網(wǎng)格由圖2所示.圖2共劃分了910個有限單元，因此對不排水邊坡共包含910個隨機(jī)變量.大多數(shù)情況通常模擬2 000次，對較大空間相關(guān)距離（Θ≥1.0）和變異系數(shù)（υ≥1.0），通常模擬5 000次.本文的目的就是要找到變異系數(shù)臨界值υcrit及其對應(yīng)下的失效概率值.若要求失效概率的最大誤差為10%，可靠度為90%，那么要計(jì)算模擬的次數(shù)為2 435次，因此模擬2 000次基本能夠達(dá)到最終的誤差界限.

3.2 邊坡算例

取υCu為定值μCu=Cu，Ks=1.47，υCu為0.1，0.2，…，1.0，為，…，2，4.由RFEM分析所得3種不同坡度邊坡失效概率與FORM所得結(jié)果（Θ＝∞時(shí)）比較如圖3所示.

圖3 3種邊坡所得失效概率（Ks=1.47）

對于FORM，忽略空間變異性，在相同Ks下對應(yīng)不同坡度的邊坡，其坡度大小對失效概率并無影響.但運(yùn)用RFEM，坡度較大的邊坡對應(yīng)的失效概率比坡度較小時(shí)對應(yīng)的失效概率大.造成這一現(xiàn)象的原因在于RFEM的計(jì)算程序可以通過破壞機(jī)理在各向異性土體中自動找出最危險(xiǎn)破壞路徑.對于較為平緩的不排水邊坡，破壞路徑通常位于土體深部并且通過坡底土體；對于較為陡峭的邊坡，破壞路徑卻有多種，或許會穿過坡趾，或許會通過坡底土體，因此具有較高的破壞概率.

為研究Ks對邊坡的影響，采用以上類似的計(jì)算方法.對于2∶1邊坡，取和μCu=，結(jié)果見圖5.表明忽略空間變異性使得Ks較高的邊坡在較低υcrit值下的失效概率偏低，而Ks較低的邊坡則對應(yīng)更低的υcrit值.

圖4 Ks=1.47時(shí)不同坡度的ΘCu-υcrit關(guān)系

圖5 不同Ks值的ΘCu-υcrit關(guān)系

4 結(jié)語

1）本文采用驗(yàn)算點(diǎn)法（FORM）考慮土性參數(shù)空間變異性，并結(jié)合蒙特卡羅數(shù)值模擬的隨機(jī)有限元法（RFEM），對不排水邊坡失效概率進(jìn)行了分析.與忽略參數(shù)空間變異性的方法（FORM）相比，RFEM能夠根據(jù)破壞機(jī)理在各向異性土體中找到最薄弱應(yīng)力路徑，因此計(jì)算所得失效概率更高.

2）數(shù)值分析結(jié)果表明，當(dāng)抗剪強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)超過臨界值υcrit，忽略參數(shù)空間變異性使得邊坡失效概率偏于不安全；υcrit值越低，忽略空間變異性造成對失效概率估計(jì)偏低的可能性越大.

3）通過相關(guān)圖表得到了υcrit大小與不同參數(shù)組合間的關(guān)系：i）與具有高安全系數(shù)的邊坡相比，低安全系數(shù)的邊坡對應(yīng)更低的υcrit；ii）對不排水邊坡，坡度較大的邊坡比坡度小的邊坡具有更低的υcrit.

[1] Wu T H，Craft L M.Safety analysis of slopes[J].Journal of Soil Mechenics and Foundation，Eng Div，ASCE，1970（96）：609-630.

[2] Alonso E E.Risk analysis of slopes and its application to slopes in Canadian sensitive clays[J].Geotechnique，1976（26）：453-472.

[3] Tang W H，Yucemen M S，Ang A H S.Probability based short-term design of slopes[J].CanadianGeotechnical Journal，1976（13）：201-215.

[4] Vanmarcke E H.Reliability of earth slopes [J].Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1977，103（11）：1 247-1 265.

[6] 高大釗.巖土工程設(shè)計(jì)安全度指標(biāo)及其應(yīng)用[J].工程勘察，1996（1）：1-6.

[7] 羅文強(qiáng)，黃潤秋，張倬元.斜坡穩(wěn)定性概率分析的理論與應(yīng)用[M].武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2003.

[8] 包承鋼.可靠度分析方法在巖土工程中的應(yīng)用[J].人民長江，1996，27（5）：1-5.

[9] Christian J T，Ladd C C，Baecher G B.Reliability applied to slope stability analysis[J].Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1994，120（12）：2 180-2 207.

[10] Griffiths D V，F(xiàn)enton G A.Probabilistic slope stability analysis by finite elements[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2004，130（5）：507-518.

[11] Fenton G A，Griffiths D V.Risk assessment in geotechnical engineering[M].Canada：John Wiley&Sons Ltd，2008.

[12] 吳振君.土體參數(shù)空間變異性模擬和土坡可靠度分析方法應(yīng)用研究[D].武漢：中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所，2009：6.

[13] 吳世偉.結(jié)構(gòu)可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[14] Low B K.Reliability-based design applied to retaining walls[J].Geotechnique，2005，55（1）：63-75.

[15] Low B K，Tang W H.Reliability analysis using object-oriented constrained optimization[J].Structural Safety，2004，26（1）：69-89.

Analysis of Influence of Spatial Variability on Undrained Slope Reliability

PAN Jian，ZHOU Sen
(College of Civil Engineering&Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China)

The first-order reliability method and the random finite-element method were used to study the probability of failure of undrained slopes.The influences of slope inclination，factor of safety and cross correlation between strength parameters on a criticalvaluewereinvestigatedbyparametricstudies.Numericalresultsshowthat random finite-element method in which spatial variability of soil properties is properly accounted for can result in reasonable estimates of the probability of failure if the coefficient of variation of the shear strength parameters exceeds a critical value，which may provide a reference for design of undrained slope.

slope stability；undrained slope；finite element method；probability；failures

TU 432

A

1001-4217（2010）03-0074-07

2010-03-01

潘?。?963-），男，廣東廣州人，博士，副教授.研究方向：巖土工程地下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法和風(fēng)險(xiǎn)評估.E-mail：cvpan@scut.edu.cn