王晶,張?jiān)Ｉ?王玉玲

(1.蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽蚌埠 233000;2.天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300134)

均值—CVaR優(yōu)化模型在投資組合中的應(yīng)用

王晶1,張?jiān)Ｉ?,王玉玲2

(1.蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽蚌埠 233000;2.天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300134)

本文從CVaR風(fēng)險度量方法的理論出發(fā),建立了符合我國證券市場的均值—CVaR投資組合優(yōu)化模型,并對模型進(jìn)行了理論分析.本文還通過實(shí)證研究得出了均值—CVaR模型的有效邊界,結(jié)果證明了CVaR模型控制風(fēng)險的有效性.

CVaR;投資組合;有效前沿;風(fēng)險＊

1 CVaR的定義

CVaR是Conditional Value at Risk的簡寫,譯為條件風(fēng)險價值.它作為一種金融風(fēng)險度量工具由Tyrrell Rockafellar和Stanislav Uryasev于1999年首次提出.

設(shè)L(X,Y)是損失函數(shù),其中x∈Rm為決策向量,X為可行集,y∈Rm為一隨機(jī)向量.例如x可理解為風(fēng)險資產(chǎn)的組合系數(shù),X為所有可能組受各種約束合的集合,當(dāng)然也可根據(jù)具體情況做其它解釋.y代表能影響損失的市場不確定性.當(dāng)損失為負(fù)時,意味著有正的收益.若y的概率密度為p(y),則對任給x,損失L(x,y)的分布也隨之確定,其分布函數(shù)為:

而相應(yīng)的在概率置信水平β(0<β<1)下,損失β-V aR和β-CV aR分別定義為:

對資產(chǎn)組合而言,收益R(x,y)和損失L(x,y)分別為:

其中x=(x1,x2,…,xn)T,且xj=xTI,I=(1,1,…,1)T,y=(y1,y2,…,yn)T,yj代表第j種金融工具的回報率,j=1,2,…,n.這時可行集為X={x∈Rn:xTI=1}.

因?yàn)閾p失、收益的貨幣單位與百分比之間存在一一對應(yīng)的線性關(guān)系,所以我們把V aR、CV aR的度量單位折算為初始價值的百分比.

若設(shè)E(y)=μ,C ov(y)=V,則收益、損失的均值和方差分別為:

因此得到基于CV aR的證券組合優(yōu)化:

或者m in

其中:Rp=xTR——投資組合的期望收益率,R=(R1,R2,…,Rn)——投資組合中資產(chǎn)的收益均值,x=(x1,x2,…,xn)T——投資組合中各資產(chǎn)所占的比例,R0——投資者期望收益率.

2 實(shí)證研究

我們從上海證券市場選擇了5種具有代表性的股票:東方航空,上海石化,第一百貨,清華同方,陸家嘴.這些股票數(shù)據(jù)來自2003年1月2日到2004年8月8日.我們使用計(jì)算機(jī)軟件分別計(jì)算了這5種有價證券在95%置信水平下的:均值—方差、V aR、CV aR,并且分別繪制了這三種模型的有效前沿圖.

下面我們給出一個例子來說明這三種優(yōu)化問題是等價的.設(shè)定置信水平為95%, c1(β),c2(β)已知.由于證券的在此風(fēng)險下的安全收益率滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,由此可得μ(x)和σ(x).由公式

和

我們可計(jì)算出V aR和CV aR.

以下是通過exce l軟件和m a tlab軟件計(jì)算得出的結(jié)果.

表1 均值/方差/V aR/CV aR最優(yōu)投資組合(置信度95%)

此表顯示的是不同日期的股票的最優(yōu)組合和在此組合下三種不同約束條件的收益,明顯可以看出,在CV aR條件下對風(fēng)險的預(yù)期是最大的,這充分說明了CV aR預(yù)測了投資組合的潛在風(fēng)險,從而證明CV aR比其他風(fēng)險預(yù)期更加謹(jǐn)慎.表中投資組合中權(quán)重存在負(fù)值情況,表示可以賣空.

表2 最優(yōu)化組合后的風(fēng)險價值和一致風(fēng)險價值(置信度95%)

由上面的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),最小化CV aR后的投資組合是非常理想的.并且CV aR值所度量的風(fēng)險值仍然大于V aR值,從而符合V aR和CV aR的定義,保證了它們的合理性.

下面是三種模型的有效前沿分析圖和一個三種模型的綜合圖:

圖1 均值—方差模型的有效前沿

圖2 均值—VaR模型的有效前沿

圖3 均值—CVaR模型的有效前沿

圖4 三種有效前沿組合圖

圖1、圖2、圖3分別給出了在正態(tài)分布下均值—方差、均值—V aR、均值—CV aR模型的有效前沿,其中縱坐標(biāo)為收益,橫坐標(biāo)分別表示標(biāo)準(zhǔn)差、V aR和CV aR.而圖4是以上三種圖形的組合圖.從圖中可以看出,在收益確定的條件下三種模型的資產(chǎn)組合解相同,且CV aR大于標(biāo)準(zhǔn)差和V aR.

均值—方差模型給出了投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差,比較來看,均值—CV aR模型下限收益率高,說明在CV aR條件下比另外兩種約束條件更能體現(xiàn)投資組合的潛在損失.其次,從圖4從所得到的有效邊界的上限來看,用CV aR作為約束條件得到的收益率略小于另兩種方法的收益率,說明CV aR作為約束條件比其他方法更為保守和安全.

3 結(jié)論

總體來看,CV aR與V aR、方差相比,收益率上限低于其他兩種方法,而下限略大于另兩種方法.這表明CV aR作為約束條件使投資組合的有效邊界減小了,從而證明了CV aR更能體現(xiàn)投資組合的潛在風(fēng)險:損失直觀、簡潔,容易理解,更接近投資者的心理習(xí)慣,因此CV aR比其他模型更符合實(shí)際.

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F830.59;F224.0

A

1004-7077(2010)02-0041-04

2009-12-16

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2009B213)

王晶(1981-),女,湖北廣水人,蚌埠學(xué)院數(shù)理系講師,主要研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)與金融風(fēng)險管理.

[責(zé)任編輯:陳慶朋]