靳劉蕊

(河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)系，鄭州 450002)

與多元統(tǒng)計(jì)分析中的多變量數(shù)據(jù)相比,函數(shù)性數(shù)據(jù)分析面臨著更大的“維度災(zāi)”。函數(shù)性主成份分析能起到降低維度的作用，可以用來(lái)探索函數(shù)性數(shù)據(jù)資料的變異性，例如曲線的重要變化形式、曲線類型、代表特定函數(shù)的典型形態(tài)等。文章對(duì)函數(shù)性主成份分析的思想、方法進(jìn)行了詳細(xì)闡述，并將其應(yīng)用于國(guó)家財(cái)政主要支出項(xiàng)目的變化模式的探索。

函數(shù)性數(shù)據(jù)；主成份分析；降維；主要變化模式

0 引言

函數(shù)數(shù)據(jù)分析是從函數(shù)角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，把函數(shù)數(shù)據(jù)看成單個(gè)整體，表示為光滑曲線或連續(xù)函數(shù)ui(t)（i=1，2，…，n），其中n表示觀測(cè)對(duì)象（曲線）的個(gè)數(shù)，t可以表示時(shí)間，也可以表示時(shí)間以外的其它變量。當(dāng)t表示時(shí)間時(shí)，函數(shù)ui(t)的觀測(cè)序列即為時(shí)間序列。實(shí)際情況中，關(guān)于ui(t)的信息是在有限個(gè)點(diǎn)（Ti）上收集的，因此觀測(cè)數(shù)據(jù)向量可表示為yi=(yi1，…，yiTi)'。函數(shù)數(shù)據(jù)分析的基本統(tǒng)計(jì)模型為：

這里，對(duì)于所有的觀測(cè)對(duì)象i=1，…，n，不要求它們的觀測(cè)點(diǎn)tij和觀測(cè)次數(shù)Ti相同。

在多元統(tǒng)計(jì)分析中，多變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是在同一時(shí)期或時(shí)點(diǎn)上對(duì)每一個(gè)觀測(cè)對(duì)象觀測(cè)多個(gè)變量的數(shù)據(jù)信息，為了使分析簡(jiǎn)化，通常把大量的原始變量綜合為少數(shù)幾個(gè)綜合變量。多元主成份分析就是把多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的一種通常適用的統(tǒng)計(jì)分析方法。在函數(shù)性數(shù)據(jù)分析中，函數(shù)性變量記錄了每一個(gè)觀測(cè)對(duì)象的同一個(gè)變量某個(gè)區(qū)間上很多個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)信息，如果將函數(shù)性數(shù)據(jù)的變量看作是與多元數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間（不變因素），而時(shí)間看作與多元數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的變量（變化因素），則發(fā)現(xiàn)函數(shù)性數(shù)據(jù)分析面臨著更大的“維度災(zāi)”?；谶@種特點(diǎn)，可以將多元主成份分析技術(shù)引入函數(shù)性數(shù)據(jù)分析中，稱為函數(shù)性主成份分析（FPCA）。根據(jù)對(duì)觀測(cè)對(duì)象測(cè)度變量的個(gè)數(shù)，函數(shù)性主成份分析可分為一元函數(shù)性主成份分析和多元函數(shù)性主成份分析。

1 一元函數(shù)性主成份分析的基本思想

在傳統(tǒng)的多元統(tǒng)計(jì)分析中，對(duì)N個(gè)觀測(cè)對(duì)象的p個(gè)觀測(cè)變量 xi1，xi2，…，xip進(jìn)行觀測(cè)，觀測(cè)矩陣 X為 N×p矩陣。 多元主成份分析采用簡(jiǎn)單的線性組合方法將這p個(gè)變量綜合成一個(gè)綜合變量，即

其中 βj為加權(quán)系數(shù)，β=(β1，β2，…，βp)'，x(xi1，xi2，…，xip)'。 fi的值稱為第i個(gè)觀測(cè)對(duì)象的主成份得分。記fk為x1，x2，…，xp的第k主成份，βk為第k主成份的加權(quán)系數(shù)，V為方差矩陣，可以證明觀測(cè)變量p個(gè)主成份的加權(quán)系數(shù)向量βk分別為V的 p 個(gè)特征向量，k=1，2，…，p，即滿足

在函數(shù)性數(shù)據(jù)背景下，函數(shù)值xi(s)（s∈T）對(duì)應(yīng)于多元主成份分析中的多變量數(shù)據(jù)xij（j=1，…，p），但 s是連續(xù)的而 j是離散的，i=1，2，…，N。將區(qū)間T上的x(s)綜合為一個(gè)綜合變量的方式為：

可以證明，函數(shù)性主成份的權(quán)重函數(shù)β（s）滿足以下特征方程

則（6）式可表示為

可見(jiàn)函數(shù)性主成份分析的特征方程與多元主成份分析的特征方程相似，不同的是（3）式中的β為向量而（8）式中的β(s)為函數(shù)。另外一個(gè)重要的區(qū)別在于其特征值及對(duì)應(yīng)特征向量的最大對(duì)數(shù)。多元主成份分析中觀測(cè)變量的個(gè)數(shù)p決定了（3）式的特征值及特征向量的最大對(duì)數(shù)為p，進(jìn)而滿足約束條件的主成份的最大個(gè)數(shù)為p；函數(shù)性主成份分析中x(s)是無(wú)限的，觀測(cè)對(duì)象的個(gè)數(shù)N決定了協(xié)方差算子V的秩為N-1，因此（8）式的非零特征值的最大個(gè)數(shù)為N-1，進(jìn)而滿足約束條件的主成份的最大個(gè)數(shù)為N-1。

當(dāng)馬老師給我描述李之恒家里多窮，他是多么努力，多么有出息的時(shí)候，我走神了。如果現(xiàn)在叫我去努力回憶李之恒是個(gè)什么樣的人，我眼前浮現(xiàn)的形象卻是我大學(xué)一個(gè)室友的模樣。

函數(shù)性主成份的選取思想與多元主成份的選取相同，根據(jù)所研究問(wèn)題的需要確定累積貢獻(xiàn)率，然后選擇合適的K使得達(dá)到所確定的累積貢獻(xiàn)率，一般要求累積貢獻(xiàn)率不小于85%。

2 一元函數(shù)性主成份的求解

由前面的分析過(guò)程可知，函數(shù)性主成份分析問(wèn)題就是求解（6）式的特征值和特征函數(shù)問(wèn)題。一種求解策略就是將連續(xù)的函數(shù)性特征分析問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榻频葍r(jià)矩陣的特征分析問(wèn)題。求解的一般步驟如下：

第一步，對(duì)觀測(cè)得到的曲線進(jìn)行曲線套準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)化（xi(s)-等初步處理，得到的曲線記為。

第二步，對(duì)函數(shù)進(jìn)行離散化處理，或進(jìn)行基函數(shù)展開(kāi)，或采用一般的數(shù)值積分方法，找到近似等價(jià)矩陣并求解其特征值和特征向量，再根據(jù)特征向量求解權(quán)重函數(shù)β(s)。

最簡(jiǎn)單的離散化方法就是在區(qū)間T上等間隔地取n個(gè)點(diǎn)sj，各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，表示為 N×n矩陣X*，其樣本方差記為V，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閚個(gè)變量的多元主成份分析：

其中，對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量u為n維向量。由于n可能比N大，所以不采用n×n矩陣V求解（9）式，轉(zhuǎn)而通過(guò)求X*的SVD UDW'可以得到V的特征值λ及其對(duì)應(yīng)的特征向量u。再將求得的向量u轉(zhuǎn)化為特征函數(shù)β(s)。令，然后對(duì)特征向量采用任一種合適的插值方法來(lái)計(jì)算特征函數(shù)的近似形式。

基函數(shù)展開(kāi)法是對(duì)函數(shù)xi進(jìn)行基函數(shù)展開(kāi)，即

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下面所示的等價(jià)對(duì)稱矩陣的特征分析問(wèn)題：

解得u之后根據(jù)b=W-1/2u計(jì)算 b，將b代入（11）式即求得主成份權(quán)重函數(shù)β(s)。

為了避免計(jì)算得到的主成份的權(quán)重函數(shù)β(s)可能會(huì)比較粗糙，從而導(dǎo)致主成份分析結(jié)果的可解釋性降低，需要在函數(shù)性主成份分析過(guò)程中引入平滑方法，施加某種正則化，從而得到較平滑的主成份權(quán)重函數(shù)。常用的方法包括：用粗糙懲罰法對(duì)主成份進(jìn)行平滑；用粗糙懲罰法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑和逐步粗糙懲罰法。

第三步，將求得的 βk(s)代入（4）式可計(jì)算第 i個(gè)觀測(cè)對(duì)象在第k主成份上的得分。

3 多元函數(shù)性主成份分析

在客觀現(xiàn)象中，一種現(xiàn)象的數(shù)量變化總是與特定的其它現(xiàn)象的數(shù)量變化緊密聯(lián)系，這多個(gè)變量的變動(dòng)之間往往存在著一定的規(guī)律。針對(duì)相對(duì)于同一個(gè)變量（例如時(shí)間t）測(cè)度的、計(jì)量單位相同的多個(gè)函數(shù)，可以用主成份分析來(lái)研究它們之間的聯(lián)立變動(dòng)。當(dāng)對(duì)N個(gè)觀測(cè)對(duì)象測(cè)度P個(gè)函數(shù)變量x1(s)，x2(s)，…，xp(s)時(shí)，記 x(s)=(x1(s)，x2(s)，…，xP(s))'。多元函數(shù)性變量的主成份f定義為：

其中，主成份 f的權(quán)重函數(shù) β(s)=(β1(s)，…，βp(s))'為 P 維向量函數(shù)，βp(s)表示 xp(s)的變動(dòng)權(quán)重，p=1，…，P。 記為xp(s)的協(xié)方差算子，為 xp(s)和 xq(s)的交叉協(xié)方差函數(shù)，p，q=1，…，P；p≠q。 有。 類似的，多元主成份分析問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為特征方程系統(tǒng)Vβ=λβ的求解問(wèn)題，實(shí)際計(jì)算方法與一元情形下相似。

4 我國(guó)財(cái)政主要支出項(xiàng)目的主成份分析

從國(guó)內(nèi)外財(cái)政的具體實(shí)踐上來(lái)看，財(cái)政支出結(jié)構(gòu)受社會(huì)資源配置總體的直接制約，其發(fā)展變化還與經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段、經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度以及該階段政府所追求的主要經(jīng)濟(jì)政策目標(biāo)密切相關(guān)。財(cái)政支出結(jié)構(gòu)的變化是對(duì)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)不斷發(fā)展和政府之能變化的一個(gè)反映。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國(guó)的財(cái)政支出結(jié)構(gòu)也發(fā)生了很大的變化。下面利用函數(shù)性主成份分析來(lái)研究我國(guó)1978～2005年的國(guó)家財(cái)政主要支出項(xiàng)目的發(fā)展變化趨勢(shì)。

國(guó)家財(cái)政主要支出項(xiàng)目包括基本建設(shè)支出，增撥企業(yè)流動(dòng)資金、挖潛改造資金和科技費(fèi)用，地質(zhì)勘探費(fèi)，工、交、流通部門事業(yè)費(fèi)，支農(nóng)支出、文教科學(xué)衛(wèi)生支出、撫恤和社會(huì)救濟(jì)福利費(fèi)，國(guó)防支出、行政管理費(fèi)，政策性補(bǔ)貼支出等。利用MATLAB編寫函數(shù)性分析程序，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑、描述、顯示，并進(jìn)行更深一步的函數(shù)性主成份分析。圖1繪制出了國(guó)家財(cái)政各項(xiàng)主要支出項(xiàng)目的平滑曲線，并可根據(jù)平滑曲線求出其變化速度曲線，即一階導(dǎo)數(shù)曲線。根據(jù)各財(cái)政支出項(xiàng)目曲線可以看出國(guó)家財(cái)政各主要支出項(xiàng)目在1978～2005年期間總體趨勢(shì)都是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)速度差異很大。1989年之前，基本建設(shè)支出高于其它支出項(xiàng)目，為財(cái)政支出最多的項(xiàng)目，但其增長(zhǎng)速度慢于文教、科學(xué)、衛(wèi)生支出項(xiàng)目，后者從1986年開(kāi)始快速增長(zhǎng)，1989年之后超過(guò)了基本建設(shè)支出，成為財(cái)政支出最多的項(xiàng)目。此外，行政管理費(fèi)支出的增長(zhǎng)速度也比較快，支出額逐漸接近基本建設(shè)支出額，并在2003年之后超過(guò)了基本建設(shè)支出；其次變化較大的支出項(xiàng)目是國(guó)防支出、支農(nóng)支出、挖潛改造資金和科教三項(xiàng)費(fèi)用和政策性補(bǔ)貼。相對(duì)這些項(xiàng)目支出而言，其它項(xiàng)目如增撥企業(yè)流動(dòng)資金支出項(xiàng)目變化不大。這種支出結(jié)構(gòu)的變化是符合我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展要求的。在改革開(kāi)放初期，通過(guò)擴(kuò)大基本建設(shè)支出，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，擴(kuò)大經(jīng)濟(jì)規(guī)模和就業(yè)機(jī)會(huì)，提高人們生產(chǎn)生活條件；隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和市場(chǎng)機(jī)制的完善，財(cái)政可配置資源增加，國(guó)家財(cái)政加大對(duì)滿足人民群眾日益增長(zhǎng)的難以通過(guò)市場(chǎng)機(jī)制實(shí)現(xiàn)的物質(zhì)、文化等方面的支出，其中重要的一項(xiàng)就是文教、科學(xué)、衛(wèi)生支出項(xiàng)目；此外還有國(guó)防支出和為縮小城鄉(xiāng)差距的支農(nóng)支出等。

圖2描述了國(guó)家財(cái)政11個(gè)主要支出項(xiàng)目的均值曲線和標(biāo)準(zhǔn)差曲線。從均值曲線可以明顯地看出財(cái)政支出各主要項(xiàng)目的平均變化趨勢(shì)是逐年遞增的，且增長(zhǎng)速度加快。由標(biāo)準(zhǔn)差曲線可以看出，各項(xiàng)目支出額之間的差異隨著時(shí)間的變化越來(lái)越大。

圖3顯示了國(guó)家財(cái)政11個(gè)主要支出項(xiàng)目的中心化財(cái)政支出曲線，即從各項(xiàng)目的財(cái)政支出曲線中減去它們的均值曲線。該圖清晰地表明各個(gè)支出項(xiàng)目偏離均值曲線的情況：相比較而言，1988年之前11個(gè)國(guó)家財(cái)政主要支出項(xiàng)目之間的差距不大，之后差距增大。其中文教、科學(xué)、衛(wèi)生支出越來(lái)越高于平均水平，此外高于平均水平的支出項(xiàng)目有基本建設(shè)支出和行政管理費(fèi)；而增撥企業(yè)流動(dòng)資金，地質(zhì)勘探費(fèi)，工、交、流通部門事業(yè)費(fèi)和撫恤和社會(huì)救濟(jì)福利費(fèi)越來(lái)越低于平均水平；其余項(xiàng)目的變化保持與平均水平大體相同。

圖4顯示了四個(gè)主成份（PC）的權(quán)重函數(shù)。為了清晰地顯示各主成份所代表的變化模式，將均值曲線、分別在均值曲線上加上和減去各個(gè)主成份權(quán)重函數(shù)合適倍數(shù)后得到的兩條曲線繪制在一個(gè)坐標(biāo)圖中，如圖5所示，分別用實(shí)線、虛線（…）和長(zhǎng)劃線（--）表示。第一主成份（PC1）解釋了數(shù)據(jù)95.4%的變異，其權(quán)重函數(shù)始終為正，且隨時(shí)間變化越來(lái)越大。第一主成份得分越高的財(cái)政支出項(xiàng)目，受到在1978～2005年期間高于平均支出水平趨勢(shì)的影響越大，例如文教、科學(xué)、衛(wèi)生支出，基本建設(shè)支出，行政管理費(fèi)等；得分越低則說(shuō)明受到低于平均支出水平趨勢(shì)的影響越大，例如增加企業(yè)流動(dòng)資金，地質(zhì)勘探費(fèi)，工、交、流通部門事業(yè)費(fèi)和撫恤、社會(huì)福利救濟(jì)費(fèi)等。第二主成份（PC2）解釋了數(shù)據(jù)2.8%的變異，其權(quán)重函數(shù)的波動(dòng)表現(xiàn)為先下降后上升再下降，時(shí)正時(shí)負(fù)。第二主成份得分越高的財(cái)政支出項(xiàng)目，例如政策性補(bǔ)貼支出、基本建設(shè)支出等，受到如圖4右上角所示趨勢(shì)的影響越大，即在1978～1990年期間高于平均支出水平的程度逐漸減少，1990年之后低于平均支出水平越多，1998年之后又開(kāi)始縮小與平均支出水平的差距，之后又增大縮小增大；得分越低的財(cái)政支出項(xiàng)目，例如行政管理費(fèi)，受到與前面相反趨勢(shì)的影響。圖6為財(cái)政各支出項(xiàng)目的PC1和PC2得分圖，可清楚看出它們受到PC1和PC2的影響狀況。文教、科學(xué)、衛(wèi)生支出主要受PC1的正向影響，幾乎不受PC2的影響；基本建設(shè)支出和行政管理費(fèi)同時(shí)兩者相同程度的影響，不同的是PC2對(duì)基本建設(shè)支出的影響是正向的，而對(duì)行政管理費(fèi)的影響是負(fù)向的；挖潛改造資金和科技三項(xiàng)費(fèi)用、國(guó)防支出和支農(nóng)支出受兩者的影響都很小，反映它們?cè)谟^測(cè)期間變化不大；政策性補(bǔ)貼支出受PC2影響有較大的波動(dòng)；撫恤和社會(huì)福利救濟(jì)費(fèi)，工、交、流通部門事業(yè)費(fèi)、地質(zhì)勘探費(fèi)和增撥企業(yè)流動(dòng)資金等項(xiàng)目受PC1的負(fù)向影響比較大，與財(cái)政支出平均水平差距擴(kuò)大的事實(shí)相吻合。

5 結(jié)論

與傳統(tǒng)的分析方法相比，函數(shù)性數(shù)據(jù)分析具有其自身的優(yōu)越性，它依賴較少的假設(shè)條件和較弱的結(jié)構(gòu)約束，不要求不同觀測(cè)對(duì)象的數(shù)據(jù)觀測(cè)點(diǎn)和觀測(cè)次數(shù)相同，不但可以實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)限維度數(shù)據(jù)的模式挖掘，而且還可用于對(duì)非函數(shù)性數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。作為函數(shù)性數(shù)據(jù)分析的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，函數(shù)性主成份分析能起到降低維度的作用，可以用來(lái)探索函數(shù)性數(shù)據(jù)資料的變異性，例如曲線的重要變化形式、曲線類型、代表特定函數(shù)的典型形態(tài)等，還可以用于研究多個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)動(dòng)性變動(dòng)。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，人們獲取和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的能力得到了極大的提高，需要處理越來(lái)越多的具有函數(shù)特征的數(shù)據(jù)，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的函數(shù)性主成份分析方法及其應(yīng)用有待進(jìn)一步研究和擴(kuò)展。

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