楊 星，潘亞舒

（暨南大學 經(jīng)濟學院金融系金融研究所，廣州 510630）

1 關(guān)于雙參數(shù)Weibull分布

瑞典工程師威布爾在上世紀30年代研究軸承壽命，結(jié)構(gòu)強度和疲勞等問題時，給出了威布爾分布函數(shù)。并將其分為雙參數(shù)和三參數(shù)威布爾分布。對于雙參數(shù)Weibull分布，其密度函數(shù)、生存函數(shù)、危險率函數(shù)分別為;

密度函數(shù)：

其中：α＞0和λ＞0；λ為尺度參數(shù)，α為形狀參數(shù)。

生存函數(shù)：

危險率函數(shù)：

對于雙參數(shù)威布爾分布，危險率h(t)隨α的變化而變化，且其可以利用概率很容易地推斷出它的分布參數(shù)，因此它被廣泛應用于各種生存分析的數(shù)據(jù)處理。而指數(shù)分布雖然在很多的研究領(lǐng)域也受到了歡迎，但因為其危險率是常數(shù)而限制了它的使用。因此我們選擇雙參數(shù)Weibull分布完成下面的工作。

2 雙參數(shù)威布爾分布下的違約傳染模型

2.1 假設(shè)條件

假設(shè)一：隨機變量T服從W(α，λ)分布，則其密度函數(shù)表達式為：

其中：α＞0和λ＞0；λ為尺度參數(shù)，α為形狀參數(shù)。

假設(shè)二：假設(shè)有兩家公司，它們的違約時間τi(i=1,2)服從W(αi，λi)。為便于計算，假設(shè)兩家公司擁有相近的結(jié)構(gòu)體系，即它們有相同的形狀參數(shù)α=α1=α2。

違約時間τi(i=1，2)，設(shè)其密度函數(shù)、生存函數(shù)和危險率分別為：fi(t)，Si(t)=P(τi＞t)=e-λitαi和 hi(t)。 由此可知，在給定 τi＞t時，公司i的生存函數(shù)為：

若兩家公司的違約時間相互獨立，那么違約和生存完全由聯(lián)合生存函數(shù)來描述：

假設(shè)三：現(xiàn)實中，公司債的違約行為具有一定的傳染性，尺度參數(shù)λi可看作是隨機變量，即：

其中Yi(i=1，2)是連續(xù)、非負的隨機變量，稱作信任度調(diào)整系數(shù)。具有分布函數(shù)FY（y）=P(Y≤y)和密度函數(shù)fY(y)，其生存函數(shù)記為SY(t)。βi(i=1，2)為基于某種經(jīng)濟狀態(tài)下的基準違約危險率，為大于零的常數(shù)。為便于計算，?。?/p>

假設(shè)四：到t時刻市場參與者獲得的唯一的信息就是公司債是否違約，即條件濾子為{Ft}t≥0。

2.2 生存分析

2.2.1 初始生存概率

如果兩家公司的違約時間τi在Y=y的條件下是相互獨立的，則兩家公司的聯(lián)合生存函數(shù)為：

違約時間的聯(lián)合條件密度為：

對（8）式兩端取Y的數(shù)學期望，可得各公司的生存函數(shù)和它們的聯(lián)合生存函數(shù)分別為：

初始違約危險率為：

2.2.2 t時刻以后的生存分析

隨著時間的推移，如果公司沒有發(fā)生違約，此時的生存概率和違約危險率分別與（11）式和（13）式類似，但這里使用Y的條件概率分布。設(shè)到t時刻為止沒有發(fā)生違約，即：τi＞t(i=1，2)，由假設(shè)（4）可知，違約危險率變?yōu)椋?/p>

各個公司的生存概率以及它們的聯(lián)合生存概率為：

以FY,Ft(y)和fY,Ft(y)分別為Y在Ft下的條件分布和條件密度函數(shù)，其中FY,Ft(y)=P(Y≤y|Ft)，且要計算以上公式，需計算Y的條件密度。

2 違約危險率

由方程（8）和（9），可以得到 Y 在違約時間 τ1和 τ2不同狀態(tài)下的條件密度。下面分兩種情況進行討論：

（1）兩家公司直到t＞0時刻都生存

由（8）式及全概率公式，我們可得兩家公司直到t＞0時刻都生存與Y≤y*的聯(lián)合概率為：

（2）只有一家公司違約而另一家公司不發(fā)生違約

設(shè)公司1在時刻T1違約，那么由（11）式可得τ1的密度為：

由上式及（9）式可得：

則在τ1=T1的條件下，公司1違約對聯(lián)合密度的貢獻為

由（22）式可知，y的條件傳染密度可以分解成三部分的乘積：第一部分是公司生存直到發(fā)生違約，即在τ1≥T1，τ2≥T2的條件下產(chǎn)生；第二部分是有違約發(fā)生，即τ1=T1的條件下，產(chǎn)生與yα成比例的額外貢獻；第三部分是y的強度。如果T1時刻公司1沒有發(fā)生違約，只能得到第一、三部分貢獻；當公司1違約時，就會增加Y的次冪，產(chǎn)生額外的貢獻。

那么當公司1在T1時刻發(fā)生違約時，公司2的違約危險率由（13）和（22）可得：

上式表明，違約危險率跳的相對大小總是非負的，信任度調(diào)整系數(shù)Y的不確定性決定了基于信息的違約傳染影響的大小。

3 結(jié)論

當α=1時，上述模型的表達形式與 Schonbucher模型相同，因此，本模型推廣了Schonbucher模型。且通過對（17）和（22）、（23）和（24）的比較，可知道一旦某個公司違約，Y 的最高次冪增大了（增加值為公司形狀參數(shù)的大小），信任度調(diào)整系數(shù)的密度向更高風險值轉(zhuǎn)移，使公司的生存前景變得更糟。但是這種跳躍并不是由于公司自身違約風險的變化而產(chǎn)生的，而是一種基于市場違約信息的傳染。而傳染的大小基于Y的不確定性，以及公司本身所特有風險因素，即不確定性越高（方差越大），由違約傳遞的信息也越多，傳染的影響就越大。

[1]王倩，王煦逸.信用違約風險傳染模型的比較研究[J].金融理論與實踐，2007.

[2]Philipp J.Schonbucher.Information-Driven Default Contagion[C].Working Paper,Department of Mathematics,2003.