鄭 敏, 冷崗松

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

John基等價(jià)條件的推廣

鄭 敏, 冷崗松

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

John基在凸體幾何分析中占有重要地位,是研究凸體包含最大體積橢球的基礎(chǔ).將 John基的 3個(gè)等價(jià)條件推廣到雙 John基,并給出證明.

John基;接觸對(duì);極體;雙 John基

Abstract:John bases occupy an important place in convex geometry,and are fundamental in studying maximal ellip soid contained in convex.In thispaper,we extend John bases to generalized John bases and p resent the proof.

Key words:John bases;contact pair;polar;double John bases

1 John基及其等價(jià)條件

定義 1[8]K表示包含原點(diǎn)的凸體,則 K＊表示K的極體,滿足下面條件:K＊={x|〈x,y〉≤1,對(duì)于任意的 y∈K}.

定義 2[3]C1是 Rn緊凸集,C2是 Rn中線性形式的緊子集,設(shè) C1?C＊2,(x,y)稱為 (C1,C2)的接觸對(duì),如果滿足以下條件:

定義 3[8]集合 T的凸包是 T中所有點(diǎn)的凸組合所組成的集合.

BALL[5]提出的 John定理如下:

定理 1 每一個(gè)凸體 K都包含著唯一一個(gè)體積最大的橢球Bn2,當(dāng)且僅當(dāng) B2n?K,且在 K的邊界上存在m個(gè)單位向量 u1,u2,…,um和m個(gè)正數(shù) c1,c2,…,cm(其中 m是某個(gè)正整數(shù))滿足

若且對(duì)于任意的x都成立,則稱{ui}為 John基.

定理 2 設(shè) Rn為 n維空間,ui為 Rn中單位列向量,ci是正實(shí)數(shù),i=1,2,…,m,In為 n階單位矩陣,則下面 3個(gè)等式等價(jià):

John定理給出了包含在凸體內(nèi)的體積最大的橢球?yàn)闅W氏球的充要條件,Gordon等[6]將 John定理推廣到更為普遍的情況.

定理 3 設(shè) C1和 C2為 Rn中的兩個(gè)緊凸集,并且 C1的凸包有非空內(nèi)點(diǎn),o∈conv(C2).如果conv(C1)位于 C＊2中,并且體積最大,則存在 (C1,C2)的 m0,使得

定理 4 設(shè) C1和 C2為 Rn中的兩個(gè)緊凸集,并且 C1的凸包有非空內(nèi)點(diǎn),o∈conv(C2),(xi,yi)1≤i≤m是 (C1,C2)的 m 個(gè)接觸對(duì) ,則下面 3個(gè)等式等價(jià):

2 John基推廣形式的等價(jià)證明

本節(jié)給出推廣 John基的等價(jià)形式,在證明之前先給出一些引理.

引理 1 A為 n×n的矩陣,x為 Rn中的列向量,若 Ax=0對(duì)于任意的 x都成立,則 A=0.

引理 2 A為 n×n的對(duì)稱矩陣,x為 Rn中的列向量,〈Ax,x〉=0對(duì)于任意的 x都成立,則 A=0.

引理 3 α,β,γ表示 Rn中的列向量,則 (α?β)γ=〈β,γ〉α.

證明 設(shè) α′=(α1,α2,…,αn),β′=(β1,β2,…,βn),γ′=(γ1,γ2,…,γn)為 Rn中的列向量 ,則

所以 ,(α?β)γ=〈β,γ〉α.

定理 4的證明 先由 (2)推導(dǎo) (3).

由引理 3,可得

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(編輯:孟慶勛)

Generalization for Equivalence of John Bases

ZHENGM in, LENG Gang-song
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 186.5

A

1007-2861(2010)04-0380-03

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.04.010

2009-05-25

冷崗松 (1961～),男,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)橥箮缀?、幾何分?E-mail:gleng@staff.shu.edu.cn