沈水金

(1.上海大學 理學院,上海 200444;2.紹興文理學院 數(shù)學系,浙江紹興 312000)

利用 Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解特殊類型的方程

沈水金1,2

(1.上海大學 理學院,上海 200444;2.紹興文理學院 數(shù)學系,浙江紹興 312000)

利用未知函數(shù)的變換,將非線性演化方程轉換為以新未知函數(shù)及其偏導數(shù)為變元的多項式型的非線性偏微分方程,再應用 Jacobi橢圓函數(shù)展開法,求解 sine-Gordon方程和 Dodd-Bullough-M ikhailov方程的精確周期解,所得的周期解包含孤波解.該方法同樣適用于求解其他非線性演化方程.

非線性演化方程;Jacobi橢圓函數(shù);精確周期解;孤波解

Abstract:By transformation of a dependent variable,a nonlinear evolution equation (NLEE) is converted into a nonlinear partial differential equation(NPDE)with apolynomial type of a new dependent variable and its partial derivatives.A Jacobi ellip tic function expansion method is p roposed to construct the exact periodic solutions of several nonlinear equations—sine-Gordon equation and Dodd-Bullough-Mikhailov equation.Periodic solutions obtained with this method include the solitary solutions and the shock wave solutions.Themethod can also be app lied to other nonlinear evolution equations.

Key words:nonlinear evolution equation;Jacobi ellip tic function;exact periodic solution;solitary solution

自 1834年 Russell第一次發(fā)現(xiàn)孤波現(xiàn)象、1967年 Gardner等利用反散射方法求得 KdV方程的孤波解之后,尋找非線性演化方程[1-2](nonlinear evolution equation,NLEE)的顯示解成為非線性領域中的熱門課題之一,尤其是尋找高維非線性演化方程的孤波解和類孤波解.為了獲取非線性演化方程更多的精確周期解,人們提出了許多種方法,如 Hirota雙線性算子、B?cklund變換、Darboux變換、Painlevé展開法等.近年來,劉適達等[3-4]提出的 Jacobi橢圓函數(shù)展開法在求解非線性演化方程中得到了廣泛應用.該方法不僅能求得非線性演化方程 (組)的精確周期解 (其中包含孤波解),并且通過對 Jacobi橢圓函數(shù)展開形式進行適當修改[5-6],得到更多的精確周期解.但無論如何,Jacobi橢圓函數(shù)展開法都需要通過對 Jacobi橢圓函數(shù)次數(shù)的平衡[7]來求得 n值.因此,對于方程中出現(xiàn)的類似 sin u,eu等無法直接通過次數(shù)的平衡來求 n值的特殊式子,必須要對其進行等價替換,從而滿足次數(shù)平衡的要求.本工作主要通過用未知函數(shù)的等價替換,將非線性演化方程替換為,以新未知函數(shù)及其偏導數(shù)為變元的多項式型[8]的非線性偏微分方程,再通過 Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解精確周期解.

1 Jacobi橢圓函數(shù)展開法

考慮非線性波動方程

其行波解為

式中,k和 c分別為波數(shù)和波速.

將 u(ξ)展開為 Jacobi橢圓正弦函數(shù) snξ的級數(shù),有

其最高階數(shù)為 O(u(ξ))=n.因為

式中,cnξ和 dnξ分別為 Jacobi橢圓余弦函數(shù)和第三種 Jacobi橢圓函數(shù),且具有如下性質(zhì):

類似地,可以認為

在式 (3)中選擇 n,使得非線性方程 (1)中的非線性項和最高階導數(shù)項平衡,從而求得方程的精確周期解.特別地,當 m → 1時,snξ=tanhξ,式 (3)就轉化為

所以,Jacobi橢圓函數(shù)法包含了雙曲正切函數(shù)展開法.

2 特殊方程的等價替換

Jacobi橢圓函數(shù)展開法需要通過對式 (1)中的非線性項和最高階導數(shù)項平衡來求式 (3)中的 n值.對于個別特殊類型方程中存在的類似 sin u,eu等的式子,無法直接通過平衡求解,因此,有必要對類似 sin u,eu等的式子進行等價替換.不妨作未知函數(shù)的替換:

顯然,若 v(x,t)是方程 (10)的解,則替換式 (7)所得到的 u(x,t)必定是方程 (9)的解,因此,方程 (9)與方程 (10)等價.

3 求解方程

3.1 sine-Gordon方程的精確周期解

由未知函數(shù)的替換公式 v=eiu,得

則方程 (9)與方程 (10)等價,因此,只需求方程 (10)的精確周期解.令

將式 (11)代入方程 (10),得

通過對最高階導數(shù)項和非線性項平衡,得 n=2,因此,可以假設方程 (12)有如下形式的解:

將式 (13)～(15)代入式 (12),得

通過吳消元法求得此方程組的解,情況如下.

情況1:

此時,方程 (12)的解為

這就是 sine-Gordon方程的雙曲正切函數(shù)解,利用此解能求得該方程的孤波解.

情況2:

此時,方程 (12)的解為

3.2 Dodd-Bullough-M ikha ilov方程的精確周期解

將式 (11)代入方程 (19),得

通過次數(shù)平衡,求得 n=2,因此,可以假設方程 (20)有如下形式的解:

將式 (21)代入方程(20),令所得方程的各項系數(shù)為0,得

通過吳消元法,求得該方程組的解為

4 結 束 語

本工作利用 Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解特殊類型的方程,關鍵在于利用未知函數(shù)的等價替換,將非線性演化方程轉變成為多項式形式的非線性偏微分方程.不同類型的未知函數(shù)需要不同類型的等價替換公式,從而得到非線性演化方程的精確周期解.最后指出,對于各種替換得到的等價方程,可以利用不同的求解方式來求得精確周期解.

致謝:衷心感謝導師夏鐵成教授的指導和幫助.

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(編輯:孟慶勛)

Applications of Jacobi Elliptic Function Expansion M ethod to Several Special Nonlinear Equations

SHEN Shui-jin1,2
(1.College of Sciences,Shanghai University,Shanghai200444,China;2.Department of Mathematics,Shaoxing University,Shaoxing 312000,Zhejiang,China)

O 175.2

A

1007-2861(2010)04-0383-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.04.011

2009-01-12

沈水金 (1980～),男,碩士,研究方向為計算數(shù)學.E-mail:zjssj595@yahoo.com.cn