趙翠新

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

一類解析函數(shù)的系數(shù)不等式

趙翠新

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文引進新解析函數(shù)類ZBλ（α，β，μ），利用從屬關(guān)系和初等方法得到類中函數(shù)的系數(shù)不等式.

近于凸函數(shù)；Fekete-Szeg?不等式；系數(shù)估計

1 引言

假設(shè)本文中出現(xiàn)的參數(shù)λ,α,β均滿足:λ＞-1,α∈[0，1）, β∈[0，1）.設(shè)A表示在單位圓盤U={z:|z|＜1}內(nèi)解析的函數(shù)f (z)=z+a2z2的全體構(gòu)成的族.以p(α)表示在U內(nèi)的α級正實部函數(shù)族，用S*(α)和K(α)分別表示α級星象函數(shù)族和α級凸象函數(shù)類：

設(shè)f(z)∈A，0≤β＜1，若存在g(z)∈S*(α)，使得Re[(zf'(z))/g (z)]＞β，則稱f(z)屬于β級近于凸函數(shù)類C(α,β).C(0,0)=C為熟知的近于凸函數(shù)類.

設(shè)f(z)∈A，F(xiàn)ekete-Szeg?首先提出A上的系數(shù)泛函|a3-ξa22|，并得到精確估計

且對任意的ζ(0≤ζ＜1)等號均能成立.

文[1]中引進如下兩類函數(shù)：

定義A[1]若函數(shù)f(z)∈A滿足條件

定義B[1]若存在g(z)∈Sλ(α)，使得函數(shù)f(z)∈A滿足條件

則稱f(z)在Bλ(α,β)中.

文[1]和[3]分別討論了函數(shù)類Bλ(α,β)的極值問題和系數(shù)不等式.

本文引進函數(shù)類：

定義2.1設(shè)μ∈R(-∞,1]，若存在g(z)∈Bλ(α,β)，使得f (Z)∈A滿足下列條件

則f(z)∈ZBλ(α,β,μ)，其中w=Dλf(z)

本文中利用ZBλ(α,β,μ)與Bλ(α,β)之間的關(guān)系，結(jié)合從屬關(guān)系和初等方法得到函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的系數(shù)估計和Fekete-Szeg?不等式.

2 函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的系數(shù)估計

定理1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，則有

證 設(shè)f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，由定義2.1，存在g(z) =z+b2z2+…∈Bλ(α,β)使得（2.1）式成立.

比較(1)式兩邊系數(shù)得

由（2.3）可知，要想估計|an|只要求出|bn|的上界即可.由文[1]中定理5.1可知

由（2.3）、（2.4）式即得（2.2）式成立.證畢.

推論2.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZB0(α,β,μ)，則有

3 函數(shù)類ZBλ(α,β,μ)的Fekete-Szeg?問題

引理3.1[3]設(shè)w(z)=d1z+d2z2+…在U={z:|z|＜1}內(nèi)解析且滿足|w(z)|≤|z|，則

引理3.2[3]設(shè)g(z)=z+b2z2+…∈Bλ(α,β),則對于α∈[0,1),

β∈[0,1),λ≥max{-α,-β}和任意實數(shù)μ，有

定理3.1若f(z)=z+a2z2+…∈ZBλ(α,β,μ)，則有

現(xiàn)在，Réhahn在越南安家了，他正在拍攝一個名為《寶貴遺產(chǎn)》的重要項目。他的目標(biāo)是拍下越南境內(nèi)所有54個民族的照片，記錄少數(shù)民族的服飾并了解他們的風(fēng)俗傳統(tǒng)。到目前為止，他已經(jīng)拍了49個民族的照片，接下來還會有更多作品。他在越南會安經(jīng)營著一個與“寶貴遺產(chǎn)”同名的文化博物館，其中展示了他拍攝的照片，以及民族服飾和手工制品。

證 存在?(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α)，U內(nèi)滿足|φ(z)|≤|z|的解析函數(shù)φ(z)=在d1z+d2z2+…和U內(nèi)滿足|w(z)|=≤|z|的解析函數(shù)w(z)=w1z+w2z2+…，，對于g(z)∈Bλ(α,β)，有

換言之，存在?(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α)和U內(nèi)滿足|φ(z) |≤|z|的解析函數(shù)φ(z)=d1z+d2z2+…，使得

將g(z)、?(z)和φ(z)的冪級數(shù)展開式代入上式，比較兩邊系數(shù)可得

由（2.3）、(3.1)和(3.2)式可知

因為e-iθf(eiθz)=z+a2eiθz2+a3e2iθz3+…∈ZBλ(α,β,μ)仍屬于所以不失一般性，可以假定a3-μa22≥0.下面估計Re(a3-μa22).

由于?(z)=z+c2z2+c3z3+…∈Sλ(α),所以存在U內(nèi)滿足|w(z) |≤|z|的解析函數(shù)w(z)=w1z+w2z2+…，使得

將?(z)和w(z)的冪級數(shù)展開式代入上式，經(jīng)過一些運算可得

將（3.4）代入(3.3)式，得

16k1(1-α)Re(w2+w12)≤16k2(1-α)(1-ρ2)+16k1(1-α)ρ2cos2φ，

其中w1=ρe-iφ，0≤ρ≤1.

其中d1=reiθ，0≤r≤1.

所以

其中

因為

所以

同理可證3)、4）.證畢.

〔1〕李書海，木林.有關(guān)近于凸函數(shù)的一族解析函數(shù).數(shù)學(xué)雜志，2005，25（4）：428-434.

〔2〕St.Ruscheweyh,Sheil-Small.Hadamard Products of schlicht functions and the polya-Shoenbehy Conjecture. Comment Math Helv，1973，48:119-135.

〔3〕李書海，鮑春梅.有關(guān)近于凸函數(shù)的Hadamard卷積與Fekete-Szeg?問題 [J].赤峰學(xué)院學(xué)報 （自然科學(xué)版），2008,24(5):1-4.

〔4〕李書海.特殊解析函數(shù)[M].赤峰：內(nèi)蒙古科技出版社，2007.

O174

A

1673-260X（2010）02-0001-03

內(nèi)蒙古自然科學(xué)項目基金資助（2009MS0113）；內(nèi)蒙古高等學(xué)校科學(xué)研究項目基金資助（NJzy08150）