李孟委,汪圣稀,杜 康,劉 俊,石云波

(中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030051)

0 引 言

1998年,在德國(guó)召開(kāi)的陀螺技術(shù)研討會(huì)上,美國(guó)陀螺專(zhuān)家 D.D.Lynch稱(chēng)哥氏振動(dòng)陀螺 (Coriolis Vibratory Gyrosm,CVG)是一種重要的慣性技術(shù),哥氏振動(dòng)陀螺不僅具有所有的慣性品質(zhì),而且與另外兩種固態(tài)陀螺(環(huán)型激光陀螺和光纖陀螺)相比,還具有可小型化的優(yōu)勢(shì)[1].

由于在硅材料上制作轉(zhuǎn)子比較困難,因此絕大多數(shù)的微機(jī)械陀螺都是振動(dòng)式陀螺,它們的工作基礎(chǔ)都是利用 Coriolis效應(yīng)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)移[2].中北大學(xué)張文棟、熊繼軍、薛晨陽(yáng)等教授成功地將共振隧穿效應(yīng) (RTD)用于 MEM S加速度計(jì)中[3-6],使檢測(cè)靈敏度有了很大提高,同時(shí)也激勵(lì)了人們將 RTD用于 MEMS微陀螺的相關(guān)研究,這就是共振隧穿微陀螺儀.

本文首次提出了共振隧穿微陀螺儀的概念,目前的研究尚屬于嘗試階段,要實(shí)現(xiàn)將共振隧穿效應(yīng)和陀螺原理相結(jié)合這個(gè)想法,其結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)顯得尤其重要.在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,如何進(jìn)行正確的結(jié)構(gòu)仿真計(jì)算是核心,特別像陀螺這種復(fù)雜器件,因?yàn)楦缡闲?yīng)導(dǎo)致的三維運(yùn)動(dòng)的存在,更使得仿真計(jì)算十分困難[7],突顯對(duì)結(jié)果的理論驗(yàn)證也非常必要.本文介紹了共振隧穿微陀螺的工作原理、陀螺結(jié)構(gòu)模型和軟件仿真方法,并從理論上推導(dǎo)了隧穿微陀螺正應(yīng)力與哥氏力、角速度等參量的關(guān)系式,為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)仿真計(jì)算提供了理論驗(yàn)證方法,為微陀螺結(jié)構(gòu)實(shí)體建模優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ).

1 工作原理

1.1 哥氏效應(yīng)

微機(jī)械陀螺是一種三維的慣性器件,3個(gè)方向分別設(shè)為 X,Y,Z,當(dāng)把陀螺簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí),其工作原理就可以直接用傳統(tǒng)的哥氏理論表示.

哥氏加速度的形成原因:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),牽連轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)使相對(duì)速度的方向不斷發(fā)生改變,而相對(duì)運(yùn)動(dòng)又使?fàn)窟B速度的大小不斷地發(fā)生改變.這兩種原因造成了同一方向上附加的速度變化率,該附加速度變化率即為哥氏加速度.簡(jiǎn)而言之,哥氏加速度是由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)與牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的相互影響而形成的[8].

從質(zhì)點(diǎn)模型來(lái)分析.如圖1所示,設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系 O′X′Y′Z′繞靜坐標(biāo) OXYZ的 Z軸轉(zhuǎn)動(dòng),在任一瞬時(shí)其角速度為k,角加速度為X的動(dòng)點(diǎn) M沿曲線 AB作相對(duì)運(yùn)動(dòng),其中v r和 v e分別為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和牽連運(yùn)動(dòng)速度.

哥氏加速度的表達(dá)式為 ak=2ω×vr.所以微機(jī)械陀螺的工作原理通常是在驅(qū)動(dòng)方向 (X)輸入驅(qū)動(dòng)力,在另一個(gè)方向 (Y)輸入角速度,最后通過(guò)各種方法獲取檢測(cè)方向 (Z)的哥氏力.

圖1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)Fig.1 Movement of particle

1.2 共振隧穿 RTD

GaAs基 RTD是一種超晶格納米薄膜結(jié)構(gòu),核心是納米級(jí)寬帶隙材料中夾著納米級(jí)窄帶隙材料,通常貼在檢測(cè)梁根部.從能帶圖上看,在導(dǎo)帶上形成了雙勢(shì)壘的結(jié)構(gòu),兩端是發(fā)射極與集電極.E0是勢(shì)阱的第一量子化能級(jí);E f是發(fā)射極的費(fèi)米能級(jí);E c為發(fā)射極導(dǎo)帶底能級(jí)[9].

1)當(dāng)沒(méi)有偏壓時(shí),E0≥E f,雙勢(shì)壘薄膜沒(méi)有發(fā)生共振,通過(guò)雙勢(shì)壘的電流為零.

2)對(duì)雙勢(shì)壘薄膜加偏壓后,Ec＜E0＜Ef,雙勢(shì)壘薄膜發(fā)生共振,隨著電壓的增大,E0不斷減小,透射幾率增大,因而電流不斷增大.

3)當(dāng)偏壓增大到 E0=E c時(shí),電流達(dá)到最大值.

4)隨著偏壓進(jìn)一步增大,E0＜Ec,雙勢(shì)壘薄膜透射幾率不斷減小,故電流隨著電壓的增大而減小,呈負(fù)阻效應(yīng).

5)當(dāng) E0達(dá)到最小值時(shí),通過(guò)雙勢(shì)壘的電流也達(dá)到最小值.

6)當(dāng)電壓再次增大時(shí),E0不變,電流隨著電壓的增大而增大.

圖2 共振隧穿示意圖Fig.2 Schematic diagram of resonant tunneling

2 結(jié)構(gòu)模型和 ANSYS仿真

2.1 結(jié)構(gòu)模型

本文采用的微機(jī)械隧穿陀螺結(jié)構(gòu)模型如圖3,圖4所示,參數(shù)尺寸如表1所示.

圖3 隧穿陀螺整體結(jié)構(gòu)模型Fig.3 The whole structural model of tunneling gyroscope

圖4 隧穿陀螺局部結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Local structural model of tunneling gyroscop e

表1 陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of gyroscope

2.2 結(jié)構(gòu)仿真

2.2.1 模態(tài)分析

該陀螺先在 X方向輸入一個(gè)驅(qū)動(dòng)力,使陀螺沿 X方向振動(dòng)起來(lái),驅(qū)動(dòng)方式可以采用平板電容驅(qū)動(dòng)或者電磁驅(qū)動(dòng),在仿真時(shí)將驅(qū)動(dòng)力抽象為一個(gè)平面力,這個(gè)力可用 ANSYS的函數(shù)編輯器和加載器來(lái)實(shí)現(xiàn);在 Y方向加載角速度或者角加速度(加載窗口如圖5所示),加載時(shí)需要考慮加速度的原始坐標(biāo).

對(duì)模型進(jìn)行正確的加載和條件約束后,便可計(jì)算求解并查看應(yīng)力、速度和加速度等.這里選擇檢測(cè)由 Z方向哥氏力產(chǎn)生的 Y軸正應(yīng)力,以及查看質(zhì)量塊的驅(qū)動(dòng)速度.

通過(guò) ANSYS模態(tài)分析[10],可以求得隧穿陀螺結(jié)構(gòu)的固有特性.前四階頻率如圖6所示,一階模態(tài)振形如圖7所示,二階模態(tài)振形如圖8所示.

從圖6可知,一階頻率和二階頻率接近,相差 10% 左右,符合結(jié)構(gòu)固有頻率設(shè)計(jì)要求.從圖7和圖8的 ANSYS模態(tài)計(jì)算結(jié)果可以看出,一階模態(tài)和二階模態(tài)振型符合結(jié)構(gòu)原理設(shè)計(jì)要求.

圖5 哥氏效應(yīng)加載窗口Fig.5 Loading window of Coriolis effect

圖6 ANSYS分析四階頻率的結(jié)果Fig.6 ANSYS results of four th order frequencies

圖7 一階檢測(cè)方向Fig.7 Detection direction of first order

圖8 二階驅(qū)動(dòng)方向Fig.8 Driv en direction of second order

2.2.2 瞬態(tài)分析

為了分析陀螺結(jié)構(gòu)的工作特性,需要對(duì)其進(jìn)行 ANSYS瞬態(tài)分析[11].要求得隧穿陀螺驅(qū)動(dòng)力幅值,可以假設(shè)這樣一個(gè)力 F=f(time)=time,來(lái)找到最終驅(qū)動(dòng)力的振幅.現(xiàn)取質(zhì)量塊上的一個(gè)點(diǎn),并分析其在 X方向上的驅(qū)動(dòng)位移,要求值小于結(jié)構(gòu)要求的位移大小:60μm.

在瞬態(tài)分析后,查數(shù)據(jù)得:隨著時(shí)間的變化,F也逐漸增大,當(dāng)時(shí)間為 0.54 s,F為0.54μN(yùn)時(shí),驅(qū)動(dòng)方向位移接近 60μm.對(duì)應(yīng)的曲線如圖9所示.

由于微陀螺哥氏效應(yīng)的存在,在進(jìn)行結(jié)構(gòu)性能仿真計(jì)算時(shí),必須考慮這種三維耦合效應(yīng)的作用.下面就一些運(yùn)動(dòng)參量和結(jié)構(gòu)參量作影響分析.

1)以角速度為自變量,其他條件不變,施加的載荷和計(jì)算結(jié)果如表2所示.提取各時(shí)間段的驅(qū)動(dòng)速度數(shù)據(jù)如圖10所示.

從表2數(shù)據(jù)和圖10中,歸納出一個(gè)驅(qū)動(dòng)速度和角速度的關(guān)系式

在這個(gè)仿真里,v0=0.501×10-4,k 0=100,k為角速度.各時(shí)間段的正應(yīng)力如圖11所示.

同樣,從表2數(shù)據(jù)和圖11中歸納出正應(yīng)力與角速度的關(guān)系式

式中:k 0=100,W0=0.277×10-2,k為角速度.

圖9 瞬態(tài)分析驅(qū)動(dòng)力幅值Fig.9 Driven force amplitude of transient analysis

圖10 驅(qū)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.10 Relationship between driving speed and time

2)以角加速度為自變量,其他條件不變,施加的載荷和結(jié)果如表3所示.

圖11 檢測(cè)正應(yīng)力隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.11 Relationship between detection normal stress and time

表3 角加速度影響分析表Tab.3 Analysis of angular acceleration impact

查看各時(shí)間段的驅(qū)動(dòng)速度,如圖12所示.

從表3數(shù)據(jù)和圖12中,歸納出驅(qū)動(dòng)速度和角加速度的關(guān)系式

式中:v0=0.178×10-3,a k0=100,a k為角加速度.

查看各時(shí)間段的正應(yīng)力,如圖13所示.

圖12 驅(qū)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.12 Relationship between driving speed and time

圖13 檢測(cè)正應(yīng)力隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.13 Relationship between detection normal stress and time

同樣,從表3數(shù)據(jù)和圖13中歸納出正應(yīng)力與角加速度公式

式中:a k0=100,W0=0.988×10-3,a k為角加速度.

3 質(zhì)量塊受哥氏合力與檢測(cè)梁根部正應(yīng)力分析

1)將該陀螺的檢測(cè)梁設(shè)為一個(gè)單端固支懸臂梁[12],長(zhǎng)度為 L,厚度為 t,寬度為b,受支端載荷 F作用,結(jié)構(gòu)示意圖如圖14所示.

根據(jù)工程力學(xué),檢測(cè)梁根部受到的最大正應(yīng)力為[13]

撓度方程為

式中:M為彎矩;I為慣性矩;E為楊式模量;k為剛度系數(shù).

圖14 檢測(cè)梁模型Fig.14 Model of detection beam

檢測(cè)梁最大撓度為

式中:F c為質(zhì)量塊受到的哥氏力.

該結(jié)構(gòu)檢測(cè)梁根部最大正應(yīng)力為

結(jié)構(gòu)要求檢測(cè)梁的最大撓度小于 60μm,故可求得哥氏力范圍 F c≤5.3μN(yùn).

2)雖然角速度和角加速度對(duì)哥氏力都有影響,但從哥氏加速度的傳統(tǒng)表達(dá)式 a k=2ω×v r中可以看出,角加速度是角速度的函數(shù),所以哥氏效應(yīng)的核心是哥氏力與角速度的關(guān)系式;而角速度會(huì)使質(zhì)量塊各點(diǎn)得到一個(gè)不同的線速度,因此各點(diǎn)的哥氏加速度是不一致的.

當(dāng)只有驅(qū)動(dòng)力,而沒(méi)有角速度的時(shí)候,在質(zhì)量塊上各點(diǎn)的速度是一致的,設(shè)為 vx0;當(dāng)存在角速度時(shí),驅(qū)動(dòng)速度會(huì)受角速度影響.從理論上講,角速度會(huì)產(chǎn)生一個(gè)線速度,而且離中心越遠(yuǎn),產(chǎn)生的線速度越大,vk=r k.

如圖15所示,轉(zhuǎn)動(dòng)瞬間(即轉(zhuǎn)動(dòng)的角度很小θ)v k會(huì)對(duì)驅(qū)動(dòng)方向提供分速度,故驅(qū)動(dòng)方向的速度大小為

圖15 角速度對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響Fig.15 Effect of angular velocity on drive velocity

結(jié)合哥氏力的理論式 F c=2m k×v得,整個(gè)質(zhì)量塊上的哥氏力合力為

可以化簡(jiǎn)為積分表達(dá)式

式中:mi為線密度,可以近似為

vx0通常很小,可以近似忽略,最終可以得到

式中:sinθ是常數(shù)值,結(jié)合檢測(cè)梁根部最大應(yīng)力的表達(dá)式

式中:sinθ是常數(shù),代入表2中任意時(shí)間段的數(shù)據(jù)可以求得

故最終該模型檢測(cè)梁根部正應(yīng)力表達(dá)式為

4 結(jié) 論

分別將k=100,200,300,… 代入Wmax表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果和仿真數(shù)據(jù)表2的結(jié)果幾乎一致,證明理論計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果相符,說(shuō)明本文中提出的微陀螺結(jié)構(gòu)仿真方法和理論驗(yàn)證方法可行,能夠用于共振隧穿微陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中.

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