王會(huì)峰,劉上乾,汪大寶,盧 泉

(西安電子科技大學(xué) 技術(shù)物理學(xué)院 ,陜西 西安 710071)

0 引 言

藥室內(nèi)腔容積是炮身的一個(gè)重要參數(shù),它會(huì)影響裝填密度,進(jìn)而影響膛壓和初速的修正值.而這些參數(shù)的變化會(huì)直接影響著射程和彈丸的內(nèi)外彈道軌跡及其彈著點(diǎn)的精度和發(fā)射的安全性,因此有必要對其進(jìn)行高精度測量.從目前國內(nèi)的測量方法來看,主要有音頻檢測、灌水法測量等;而這些方法都存在效率低下、操作復(fù)雜等缺點(diǎn),無法滿足現(xiàn)代靶場和用戶對火炮容積參數(shù)的高效、自動(dòng)化、高精度檢測的需求.

本文陳述的直徑-進(jìn)深內(nèi)腔容積檢測方法具有高效、高精度自動(dòng)化等特點(diǎn);然而,由于測量本身的特征,使得測量部在間歇進(jìn)深移動(dòng)過程中的各個(gè)測量點(diǎn)之間的直徑值難以準(zhǔn)確地估計(jì),同時(shí)由于采用傳統(tǒng)的分段低次線性插值法由于插值基函數(shù)的不連續(xù)性影響了容積重建的精度和重建后的視覺效果,為此提出了基于三次樣條插值函數(shù)的變徑內(nèi)腔截面圓直徑的插值方法,該方法不僅使得插值后的重建效果得到了改善而且提高了容積的測量精度.

1 變徑內(nèi)腔結(jié)構(gòu)和直徑-進(jìn)深測量原理

藥室內(nèi)腔截面的結(jié)構(gòu)形狀如圖1所示,包括圓錐體部分和過渡圓錐體部分等.隨著炮彈發(fā)射數(shù)目的增多,過渡圓錐體部分會(huì)發(fā)生變化,其位置會(huì)往身管方向移動(dòng),使內(nèi)腔的體積增大.由幾何理論可知,內(nèi)腔空間容積和長度要素以及該段橫截面的直徑有關(guān),因此有必要從分析這兩個(gè)測量要素入手探索變徑內(nèi)腔空間容積的高效測量手段.

圖1 藥室結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of powd er chamber

圖2 直徑-進(jìn)深藥室測量原理Fig.2 Diameter-length volume measurement principle

基于直徑-進(jìn)深的內(nèi)腔容積測量裝置主要由炮尾輔助裝置,進(jìn)深高精度控制和測量機(jī)構(gòu),直徑測量光電成像測量部,圖像和數(shù)據(jù)處理單元等部分組成.如圖2所示,炮尾輔助裝置用來實(shí)現(xiàn)測量裝置和身管的連接;進(jìn)深高精度控制測量機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高精度進(jìn)深控制;直徑測量光電成像部完成光電圖像的獲取.測量部在進(jìn)深系統(tǒng)的推動(dòng)下進(jìn)入標(biāo)定機(jī)構(gòu),徑向相隔 90°安裝測量觸頭;測量觸頭先在標(biāo)定環(huán)中進(jìn)行標(biāo)定,然后進(jìn)入腔體內(nèi)部在定中裝置的支撐下開始測量,高精度進(jìn)深機(jī)構(gòu)上裝有光柵尺用來記錄進(jìn)深距離,測量部每隔一定的步長停下通過計(jì)算機(jī)讀取標(biāo)尺靶的數(shù)據(jù),從而實(shí)現(xiàn)對直徑的測量.

設(shè)測得內(nèi)腔截面的兩個(gè)直徑 d x,d y相對于標(biāo)定環(huán)的變化量為Δx,Δy,因此,各截面兩個(gè)垂直方向的平均直徑為 di

式中:d cp為定標(biāo)環(huán)直徑;Δdi為第 i個(gè)截面尺寸 d x,d y對定標(biāo)環(huán)的變化量的平均值.

通過光柵編碼器可直接獲得測量部沿軸的高精度進(jìn)深位移,在測量部進(jìn)行第 i次間歇移動(dòng)時(shí)的位移為hi,則第 i次移動(dòng)測得的圓臺(tái)體積為

假設(shè)測量在 N步內(nèi)完成,則藥室的容積可以由式 (4)得到

為了提高測量精度要需要提高測量步數(shù),但是步數(shù)越多測量效率就越低,因此在相鄰點(diǎn)之間需要對直徑-進(jìn)深函數(shù)做必要的插值,以提高測量精度[1-2].

2 三次樣條插值模型[3-4]

根據(jù)變徑內(nèi)腔的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和實(shí)際測量數(shù)據(jù)的情況,對變徑內(nèi)腔的結(jié)構(gòu)形狀利用插值算法建立數(shù)學(xué)模型.當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多時(shí),應(yīng)用分段低次插值,有較好的局部性,插值函數(shù)具有一致的收斂性,能保證插值函數(shù)的連續(xù)性,但是光滑性差.根據(jù)藥室的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),通過理論和實(shí)驗(yàn)分析,利用藥室的長度數(shù)據(jù)和橫截面的直徑數(shù)據(jù),采用三次樣條函數(shù)插值算法,能保證各段之間連接處的足夠光滑性,既具有分段低次插值的一致收斂性和計(jì)算的穩(wěn)定性,又具有高次插值的整體的足夠光滑性,可以滿足測量要求,達(dá)到較好的效果.

2.1 三次樣條函數(shù)定義

設(shè) [a,b]上有插值節(jié)點(diǎn) a≤x0＜x1＜… xn≤b,對應(yīng)值為 y0,y1,… ,yn,若函數(shù) S(x)滿足:

2)S(x)在每一小區(qū)間 [xj,xj+1]上是三次多項(xiàng)式,其中 j=0,1,2,… ,n-1;

3)S(x)在 [a,b]上有連續(xù)的一階、二階導(dǎo)數(shù),則稱 S(x)為三次樣條插值函數(shù).

2.2 插值函數(shù)的表達(dá)式

三次樣條函數(shù) S(x)是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式,在每一個(gè)子區(qū)間 [x j-1,x j]上分別是一個(gè)三次多項(xiàng)式,因此 S″(x)在每個(gè)子區(qū)間 [xj-1,xj]上是一個(gè)一次多項(xiàng)式.如果 S″(x)在小區(qū)間 [xj-1,xj]的兩個(gè)端點(diǎn)值已知,為

設(shè)各子區(qū)間的長度 hj=xj-xj-1,j=1,2,…,n.根據(jù)拉格朗日插值多項(xiàng)式,則函數(shù) S″(x)在子區(qū)間[x j-1,x j]上的一次拉格朗日插值多項(xiàng)式為

將式 (7)積分兩次得

式中:c1,c2可由插值條件 S(xj)=yj確定.因此插值函數(shù) S(x)的表達(dá)式

式 (9)是利用二階導(dǎo)數(shù) Mj(j=0,1,… ,n)來表示插值函數(shù) S(x),稱為 S(x)的 M表達(dá)式.

2.3 M關(guān)系式

式 (9)是 S(x)的函數(shù)表達(dá)式,其中含有參數(shù) Mj(j=0,1,…,n),而實(shí)際上是未知的,只有求出 Mj之后,S(x)才能確定.由式 (9)的推導(dǎo)過程可知,S(x)滿足插值條件式 (5),因而 S(x)在整個(gè)區(qū)間[a,b]連續(xù);由式 (6)可知,S″(x)在節(jié)點(diǎn)連續(xù),顯然 S(x)在每個(gè)子區(qū)間上是三次多項(xiàng)式.因此利用 S′(x)在節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性來確定參數(shù) Mj.對式 (9)兩邊求一階導(dǎo)數(shù),得

由此可得 S(x)在 xj的左導(dǎo)數(shù)為

將式 (12)中的 j換成 j+1,即得 S(x)在 x j的右導(dǎo)數(shù)

由于 S′(x)在區(qū)間 [a,b]連續(xù),故在 x j的左右導(dǎo)數(shù)相等,即式 (12)和式 (13)得

式中:

式 (15)表達(dá) S(x)在插值節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) Mj(j=0,1,…,n)之間的關(guān)系,因而稱為 M關(guān)系式.

2.4 邊界條件與基本方程組

式 (15)中有 n-1個(gè)方程,但有未知數(shù) Mj(j=0,1,…,n)n+ 1個(gè).要得到唯一解需增加兩個(gè)方程,或減少兩個(gè)未知數(shù).根據(jù)火炮藥室的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),在藥室的兩端,即區(qū)間 [a,b]的端點(diǎn) a和 b(即 x0和 xn)處對插值函數(shù)附加限制條件,稱為邊界條件.通過分析藥室的邊界條件,應(yīng)滿足

因此關(guān)于 Mj的基本方程組為

在 xj-1的右導(dǎo)數(shù)為

此方程組是三對角形方程組,可采用追趕法求解(略).

2.5 插值函數(shù)計(jì)算

由上述分析可知,插值函數(shù) S(x)的具體表達(dá)式不僅決定于對區(qū)間 [a,b]的剖分和被插函數(shù)在各分點(diǎn)的函數(shù)值,而且決定于 S(x)在各分點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值 Mj(j=0,1,…,n);而求 Mj(j=0,1,…,n),需先解基本方程組;要使基本方程組有唯一解,又需要預(yù)先給定邊界條件并根據(jù)邊界條件調(diào)整基本方程組.因此,該函數(shù)插值的基本計(jì)算步驟可歸納為:

第一步.輸入初始數(shù)據(jù) xj,yj(j=0,1,…,n);

第二步.對于 j=1,2,… ,n,按式 (6)計(jì)算 hj;

第三步.對于 j=1,2,… ,n-1,按式 (16)計(jì)算 _j,λj,d j;

第四步.根據(jù)邊界條件,用追趕法解基本方程組式 (18),求出 Mj(j=0,1,…,n);

第五步.對于 j=1,2,… ,n,按式 (9)計(jì)算 S(x)各項(xiàng)的系數(shù),并求得 S(x)在各子區(qū)間 [xj-1,x j]上的表達(dá)式;

第六步.根據(jù)需要輸入若干個(gè)插值點(diǎn)x～i(i=1,2,…,N),分別按x～i(i=1,2,…,N)所在子區(qū)間S(x)的表達(dá)式計(jì)算S(x～i)(i=1,2,…,N),并輸出結(jié)果.

本函數(shù)插值具有明顯的優(yōu)點(diǎn),當(dāng) max hj→0時(shí),S(x)一致收斂于 f(x),且 S(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)也分別收斂于 f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù),因而只需對區(qū)間 [a,b]細(xì)分就可以提高精度,不必提高樣條函數(shù)的次數(shù).又基本方程組的系數(shù)矩陣總是嚴(yán)格對角占優(yōu)的,因此基本方程組的解存在且唯一,S(x)存在且唯一.并且解基本方程組和計(jì)算插值S(x～)的穩(wěn)定性都很好.

3 藥室容積高精度修正重建和計(jì)算算法

設(shè)以上插值函數(shù)的區(qū)間 [a,b]中的 a和 b分別對應(yīng)于藥室的兩端,x0,x1,…,xn對應(yīng)于由測長機(jī)構(gòu)測出藥室的進(jìn)深位置數(shù)據(jù),2y0,2y1,…,2yn分別對應(yīng)于在位置 x 0,x 1,…,xn時(shí)該橫截面藥室的直徑數(shù)據(jù).利用以上研究的插值函數(shù),可得火炮藥室體積的計(jì)算公式

式中:x0=a,xn=b.

可根據(jù)測量數(shù)據(jù)按被測管狀容器的實(shí)際形狀建立起空間三維模型,并可同時(shí)以不同的顏色在同一幅圖像中按管狀容器的設(shè)計(jì)參數(shù)建立理想的空間三維模型,以便直觀而準(zhǔn)確地了解其實(shí)際狀況以及其變化情況.

在三維空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中,根據(jù) 3節(jié)中得到的插值函數(shù) S(x),可得 xy平面上的插值曲線y=S(x),即可寫成如下方程的形式

則以 x軸為旋轉(zhuǎn)軸,以插值曲線 y=S(x)為母線得到的旋轉(zhuǎn)面方程為

因此,此曲面就是其實(shí)際空間的三維結(jié)構(gòu)模型.

4 試驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)選用某變徑內(nèi)腔為測試對象,圖3是根據(jù)表1的采樣數(shù)據(jù),利用以上研究的算法繪出的插值函數(shù)曲線圖,和根據(jù)插值函數(shù)建立的空間三維表面效果圖.圖4是利用分段低次線性插值算法插值曲線和表面重建效果.可知經(jīng)過樣條插值后的三維重建效果優(yōu)于分段低次線性插值的結(jié)果.

通過式 (19)分別對圖3和圖4插值后的曲線進(jìn)行容積值的計(jì)算,并且和灌水法測試結(jié)果進(jìn)行對比,

如表2所示.

圖3 樣條插值三維表面重建Fig.3 Three dimension surface reconstruction with cubic spline

圖4 分段低次插值三維表面重建Fig.4 Three dimension surface reconstruction with subsection low order interpolation

表1 試驗(yàn)采樣數(shù)據(jù)Tab.1 Sampling data (mm)

表2 不同插值方法容積計(jì)算結(jié)果Tab.2 Volume results calculated by differentinterpolation algorithms

5 結(jié) 論

將三次樣條插值算法引入基于直徑-進(jìn)深光電成像式變徑內(nèi)腔容積測量和三維重建中,有效地克服了直接累加和分段低次線性插值法,由于插值基函數(shù)的不連續(xù)性對變徑內(nèi)腔容積重建的精度和重建后的視覺效果.該方法不僅使得插值后的重建效果得到了改善,而且在一定程度上提高了容積的測量精度[5-6].實(shí)踐證明:該算法穩(wěn)定運(yùn)算量小,可用于工程上實(shí)時(shí)計(jì)算.

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