王燕玲,邵燕靈

(中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原 030051)

0 引 言

符號(hào)模式矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣,其元素均取自于集合 {+,-,0}.若 B=(bij)是給定的一個(gè)實(shí)矩陣,由 bij的符號(hào)為元素所組成的矩陣稱(chēng)為 B的符號(hào)模式矩陣,記為 sgn B.若給定一個(gè) n階符號(hào)模式A=[aij],則 A的定性矩陣類(lèi)定義為

若 A= [aij]和 B= [bij]為兩個(gè)同階符號(hào)模式,當(dāng) aij≠0時(shí),bij=aij,B為 A的母模式;當(dāng) aij=0時(shí),bij=0,B為 A的子模式.符號(hào)模式 A既是它本身的母模式又是它的子模式.符號(hào)模式 A的不是它本身的母(子 )模式,為 A的真母(子 )模式.

對(duì) n階符號(hào)模式 A,如果存在一個(gè)實(shí)矩陣 B∈Q(A)且對(duì)某個(gè)正整數(shù) K,有 BK=0,則稱(chēng) A蘊(yùn)含冪零,B為冪零矩陣.如果對(duì)任意 n階首 1實(shí)多項(xiàng)式 r(x),在符號(hào)模式 A的定性矩陣類(lèi) Q(A)中存在一個(gè)矩陣 B,使得 B的特征多項(xiàng)式為 fB(x)=r(x),則稱(chēng) A是譜任意符號(hào)模式.如果譜任意模式 A的任意一個(gè)真子模式都不是譜任意的,則稱(chēng) A為極小譜任意符號(hào)模式.如果 A是譜任意的,則它一定是蘊(yùn)含冪零的.對(duì)一個(gè) n階符號(hào)模式 A,若任一矩陣 B∈Q(A)是非奇異的,則 A是符號(hào)非奇異的;若每一個(gè)矩陣B∈Q(A)是奇異的,則 A是符號(hào)奇異的.

符號(hào)模式的譜任意最早在文獻(xiàn) [1]中提出,并給出了證明符號(hào)模式及其所有母模式是譜任意的冪零-雅可比方法,第一個(gè) n≥2階譜任意符號(hào)模式在文獻(xiàn) [2]中提出.后來(lái),文獻(xiàn) [3-8]等文章分別給出了一些譜任意模式.

1 有關(guān)結(jié)論

設(shè) x 1,… ,xn是實(shí)變量 ,T i=T i(x 1,… ,xn)是關(guān)于變量 x 1,… ,xn的實(shí)函數(shù) (其中 i=1,2,… ,n),且 T i對(duì)任意 xj(j=1,2,…,n)均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).定義函數(shù) T1,…,Tn對(duì)變量 x1,… ,xn的雅可比矩陣為 J=

引理 1[1]A是一個(gè) n階符號(hào)模式,若 A蘊(yùn)含冪零矩陣 B,且 B中至少含有 n個(gè)非零元 bi1j1,bi2j2,…,binjn.把 B中的這 n個(gè)非零元用變量 x 1,…,xn代替后所得的矩陣記為 X,設(shè) X的特征多項(xiàng)式為

本文研究如下類(lèi)型的 n階(n≥6)符號(hào)模式

任取實(shí)矩陣 A∈Q(K),設(shè) A有如下形式

式中:ai＞ 0(i=1,2,… ,n).引理 2 設(shè) n階矩陣 A的特征多項(xiàng)式為

令a0=1,則

證明 (a)

加到第 1列,使第 1列除第 n行元素外,其余元素均為 0,然后按第 1列展開(kāi),可得

因此 (a)成立.

引理得證.

引理 3 當(dāng) n≥6時(shí),K蘊(yùn)含冪零.證明 假定 T i=0(i=1,2,… ,n),由引理 2的 (a)可得 ai=1(i=1,2,… ,n-5),aj=(j=n-4,n-3,… ,n),故當(dāng) a1=a2=…=an-5=1,an-4=an-3=…=an=時(shí),A∈ Q(K)為冪零矩陣,引理得證.

2 主要結(jié)果

定理 1 當(dāng) n≥6時(shí),K及其母模式是譜任意的.

證明 由引理 1,引理 2及引理 3可知定理得證.

定理 2 當(dāng) n≥6時(shí),K為極小譜任意模式.

證明 當(dāng) n≥6時(shí),令 T=[tij]是 K的真子模式,且 T是譜任意模式.① tn-1,n-1≠0,否則 T的跡為正,與 T是譜任意模式矛盾.② ti,i+1≠0(i=4,… ,n-3),tn-1,n≠0,否則 T是符號(hào)奇異的,與 T是譜任意模式矛盾.③ t1,2≠0,t2,3≠0,t3,4≠0,tn-2,n-1≠0,否則 T是符號(hào)奇異或符號(hào)非奇異的,與 T是譜任意模式矛盾.④ ti,1≠0(i=1,2,… ,n),否則由引理 2的 (a)知 T i≠0,與 T是譜任意模式矛盾.定理得證.

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