李 堰,2，宋愛民，劉 劍

(1.空軍工程大學(xué) 電訊工程學(xué)院，西安 710077；2.解放軍95482部隊(duì)，成都 610081)

1 引 言

測(cè)向(Direction-finding)作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要的研究方向，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲納、地震、射電天文以及生物醫(yī)學(xué)工程等眾多軍事和國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域[1-2]。傳統(tǒng)MUSIC算法測(cè)向需求樣本協(xié)方差矩陣并進(jìn)行特征分解，運(yùn)算量約為O(m2n+m3)，其中m是陣列的陣元個(gè)數(shù)，n是采樣快拍數(shù)。如果增加陣元數(shù)，運(yùn)算量會(huì)急劇增加。為降低運(yùn)算量，將多級(jí)維納濾波(MSWF)[3-6]引入到MUSIC算法中，利用它的正交分解特性來快速估計(jì)噪聲子空間。

在MSWF技術(shù)中，其參考信號(hào)的取值對(duì)算法很關(guān)鍵，本文對(duì)參考信號(hào)為第一個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)和m個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)平均值時(shí)的兩種常用取值情況進(jìn)行分析，針對(duì)這類以陣元數(shù)據(jù)為參考信號(hào)取值的結(jié)構(gòu)，提出一個(gè)以任意多個(gè)陣元的數(shù)據(jù)平均值為取值的參考信號(hào)取值公式，并對(duì)其進(jìn)行分析，找出此類參考信號(hào)結(jié)構(gòu)的最佳取值，使優(yōu)化后的算法比其它此類結(jié)構(gòu)取值算法在判斷信源數(shù)估計(jì)值和均方根誤差方面有更好的性能。

2 陣列信號(hào)模型及參數(shù)

參照文獻(xiàn)[1,2]中陣列信號(hào)模型，建立模型如圖1所示。設(shè)有p個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)si(k)(i=1，2,3,…，p)，天線陣列為m個(gè)全向同增益均勻線陣，陣元間距為d=λ/2。k為第k次快拍，λ為信號(hào)波長(zhǎng)，φi為信號(hào)入射角度。

圖1 等距線陣與遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)si(k)Fig.1 Equispaced linear array and far-field signal si(k)

信號(hào)矢量為s(k)=[s1(k),s2(k),…,sp(k)]T，噪聲矢量為e(k)=[e1(k),e2(k),…,ep(k)]T，相鄰兩陣元間相位差ωi=2πdsinφi/λ，方向向量為a(ωi)=[e0,e-jωi,…,e-j(m-1)ωi]T，方向矩陣為A(ω)=[a(ω1),a(ω2),…,a(ωp)]。

由以上式子得陣元接收信號(hào)為

A(ω)s(k)+e(k)

(1)

3 多級(jí)維納濾波算法

3.1 多級(jí)維納濾波降維的基本原理

Goldstein等人提出了一種有效的降維技術(shù)，即多級(jí)維納濾波器(Multistage Wiener Filter,MSWF)技術(shù)[3-6]，可以利用MSWF的多級(jí)分解特性來實(shí)現(xiàn)信號(hào)子空間和噪聲子空間的快速估計(jì)。

圖2 D=2時(shí)的維納濾波器正交投影分解Fig.2 Orthogonal projection decomposition of Wiener filter for D=2

3.2 基于多級(jí)維納濾波的MUSIC算法

本文利用多級(jí)維納濾波的D階分解，利用的子空間[8-9]求出信號(hào)來向，其具體步驟如下：

第一步：初始化參考信號(hào)d0(k)和陣列接收數(shù)據(jù)xo(k)；

第二步：求互相關(guān)矢量hi(i=1，2，3,…，D)：

(2)

(3)

xi(k)=xi-1(k)-hidi(k)

(4)

第三步：由式(2)求得hi估計(jì)子空間H、信號(hào)子空間S和噪聲子空間G(求G時(shí)D=m)：

H=spanh1,h2,…,hD

(5)

S=[h1,h2,h3,…,hp]

(6)

G=[hp+1,hp+2,…,hm]

(7)

第四步：利用譜峰搜索公式求信號(hào)來向[1,2]。

P(φ)=1/aH(φ)GGHa(φ)

(8)

式(8)是譜峰搜索的噪聲子空間方法。

將GGH=I-SSH[2]代入得：

P(φ)=1/aH(φ)(I-SSH)a(φ)

(9)

式(9)是譜峰搜索的信號(hào)子空間方法。式(8)、式(9)解出空間譜函數(shù)的極大值對(duì)應(yīng)的φ就是信號(hào)來向。由于實(shí)際應(yīng)用中參考信號(hào)不可避免的引入噪聲，信號(hào)矢量不再和噪聲矢量正交，匹配濾波器中加入了噪聲的特征矢量，而信號(hào)特征矢量則泄漏到噪聲子空間，因此p級(jí)的維納濾波器不足以表示所有的信號(hào)矢量[10]。故在式(6)、式(7)中使用信號(hào)源數(shù)估計(jì)值代替p進(jìn)行計(jì)算。

4 參考信號(hào)的優(yōu)化處理

由于對(duì)所獲取信號(hào)的信息利用程度不同，選擇不同的參考信號(hào)d0會(huì)導(dǎo)致不同的性能，對(duì)算法性能影響很大，其取值就顯得非常關(guān)鍵。對(duì)參考信號(hào)取值為第一個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)和m個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)平均值時(shí)的兩種常用取值情況進(jìn)行分析，針對(duì)這類以陣元數(shù)據(jù)為參考信號(hào)取值的結(jié)構(gòu)，提出一個(gè)以任意多個(gè)陣元的數(shù)據(jù)平均值為取值的參考信號(hào)取值公式：

(10)

式中，1≤q≤m。式(2)中q=1時(shí)，d0為第一個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)[8,9,11]；q=m時(shí)，d0為m個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)的平均值[8,12]。

相應(yīng)地，式(10)中的q行平均也對(duì)應(yīng)于A(ω)前q行數(shù)據(jù)的平均：

其實(shí)部和虛部隨著q值的增加在(-1,1)區(qū)間來回振蕩，從而對(duì)算法的性能也產(chǎn)生了影響，驗(yàn)證了仿真圖中隨著q值變化，算法的RMSE值曲線亦出現(xiàn)振蕩變化，即在一定條件下，參考信號(hào)公式中q取特定的值能使算法達(dá)到最好性能。

在本文仿真條件下，取值公式在q=m-3時(shí)的參考信號(hào)取值使算法性能最好。

5 仿真及性能分析

信號(hào)源數(shù)估計(jì)值的大小直接影響了多級(jí)維納濾波中信號(hào)子空間和噪聲子空間的判斷[8,11]，故針對(duì)多種條件下可能的信號(hào)源估計(jì)值做均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)性能仿真。

仿真所采用的陣列是各向同性的等距線陣，陣元間距為λ/2，運(yùn)行次數(shù)為1 000次，對(duì)信號(hào)入射角度為-5°的信號(hào)進(jìn)行角度估計(jì)，即φ=-5°。采用不同參考信號(hào)的程序進(jìn)行比較，如式(2)所示，各程序q分別取值為1、2、3、…、m。

5.1 對(duì)信號(hào)源數(shù)估計(jì)值性能的比較分析

根據(jù)可能的信號(hào)源估計(jì)值計(jì)算出RMSE大小，對(duì)多種條件下RMSE性能最佳時(shí)的信號(hào)源估計(jì)值進(jìn)行仿真。

如圖3所示，圖3(a)給出了信號(hào)源數(shù)估計(jì)值與信噪比的關(guān)系，其中陣元數(shù)為6，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖3(b)給出了信號(hào)源數(shù)估計(jì)值與快拍數(shù)的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，陣元數(shù)為6，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖3(c)給出了信號(hào)源數(shù)估計(jì)值與陣元數(shù)的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖3(d)給出了信號(hào)源數(shù)估計(jì)值與角度間隔的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，陣元數(shù)為6，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和隨角度間隔變化的角度。

從仿真中可以看出：圖3(a)中擁有不同q值參考信號(hào)的程序的信號(hào)源數(shù)估計(jì)值隨信噪比增加估計(jì)值逐步精確，趨向于預(yù)設(shè)值2，但隨q值的變化，各程序的變化趨勢(shì)沒有規(guī)律性；圖3(b)中不同q值的信號(hào)源數(shù)估計(jì)值除在q=5時(shí)的程序取值為3外，其它q值取值的程序的信號(hào)源數(shù)估計(jì)值均未產(chǎn)生過估計(jì)，且所有程序信號(hào)源估計(jì)值不隨快拍數(shù)變化而變化；圖3(c)中，除在q=5時(shí)的程序外，q值取其它值的程序的信號(hào)源數(shù)估計(jì)值隨著陣元數(shù)的增加，其值也增加為3，產(chǎn)生過估計(jì)；圖3(d)中隨著不同程序隨著q值的增加，信號(hào)源數(shù)估計(jì)值越來越多取值為2，過估計(jì)程度逐漸減輕。

(a)與信噪比關(guān)系

(b)與快拍數(shù)關(guān)系

(c)與陣元數(shù)關(guān)系

(d)與信號(hào)間隔角度關(guān)系圖3 信號(hào)源數(shù)估計(jì)值Fig.3 The estimated number of signals

5.2 對(duì)均方根誤差性能的仿真及分析

采用圖3中最佳RMSE性能時(shí)的信號(hào)源數(shù)估計(jì)值仿真，從而避免了信號(hào)源數(shù)估計(jì)值的錯(cuò)誤估計(jì)給均方根誤差帶來的影響。RMSE定義為

如圖4所示，圖4(a)給出了均方根誤差與信噪比的關(guān)系，其中陣元數(shù)為6，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖4(b)給出了均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，陣元數(shù)為6，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖4(c)給出了均方根誤差與陣元數(shù)的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和5°；圖4(d)給出了均方根誤差與角度間隔的關(guān)系，其中信噪比為10 dB，陣元數(shù)為6，快拍數(shù)為200，信號(hào)入射角度為-5°和隨角度間隔變化的角度。

從仿真中可以看出：隨著q值變化，算法的RMSE值曲線在一定范圍內(nèi)來回振蕩。圖4(a)中除SNR=15的大信噪比外，性能最好的算法其q值均為3，即q=m-3時(shí)程序RMSE最小，且各程序RMSE值隨信噪比的增加而降低，q=m時(shí)的程序性能相對(duì)其它程序較差；圖4(b)中不論快拍數(shù)取何值，性能最好的算法其q值為3，即q=m-3時(shí)程序RMSE最小，且除q=m外的各程序RMSE值隨快拍數(shù)的增加而降低，q=m時(shí)的程序RMSE曲線較差；圖4(c)中隨著陣元數(shù)的變化，其性能最好的程序始終為q=m-3，且各程序RMSE值隨陣元數(shù)的增加而降低，在此圖中還可以看出q=m時(shí)的程序RMSE性能較差，與圖4中其它幾個(gè)仿真圖q=m時(shí)的程序性能較差相互證實(shí)；圖4(d)中RMSE最小的程序并不唯一，圖4中由于其它仿真的角度間隔均固定為10°，而圖4(d)中10°仿真的結(jié)果為q=m-3時(shí)RMSE最小，驗(yàn)證了該情況下被優(yōu)化參考信號(hào)的性能最佳，從中還可以看出，隨著信號(hào)間隔角度增加，除q=m外的各程序RMSE值比較穩(wěn)定，因?yàn)榉抡嫠^測(cè)的信號(hào)角度并沒有發(fā)生變化，且q=m時(shí)的程序在信號(hào)角度間隔為10°和70°的時(shí)候較差，選取其它兩個(gè)信號(hào)角度間隔的時(shí)候程序性能較好，這也與圖4中其它幾個(gè)仿真在信號(hào)角度間隔為10°時(shí)取值較差相互印證。

(a)與信噪比關(guān)系

(b)與快拍數(shù)關(guān)系

(c)與陣元數(shù)關(guān)系

(d)與信號(hào)間隔角度關(guān)系圖4 均方根誤差Fig.4 Root mean square error

6 結(jié) 論

本文對(duì)多級(jí)維納濾波測(cè)向算法的參考信號(hào)取值進(jìn)行了分析和研究，根據(jù)其結(jié)構(gòu)提出參考信號(hào)取值公式，在本文仿真條件下按公式取得最佳參考信號(hào)取值，使得算法達(dá)到最好的性能，對(duì)于提高測(cè)向算法的精度具有重要意義。通過對(duì)不同取值引起的不同算法性能進(jìn)行了仿真比較，證明了該方法的可行性。

從理論上對(duì)參考信號(hào)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)方向矩陣的取值對(duì)本文參考信號(hào)的取值有很大影響，使得在一定條件下，參考信號(hào)按本文的公式取特定的值能使算法達(dá)到最好性能。本文的下一步工作是著手研究參考信號(hào)的取值與最佳算法性能的規(guī)律性，從理論上推導(dǎo)出它們之間的關(guān)系。

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