(江蘇省電子產(chǎn)品裝備制造工程技術(shù)研究開發(fā)中心，江蘇 淮安 223003)

1 引 言

DOA的估計(jì)一直都是移動通信、雷達(dá)、水下通信等方面的研究重點(diǎn)，有著極其重要的應(yīng)用。而本文選用的MUSIC法是子空間DOA估計(jì)的經(jīng)典算法之一，是一種分辨率較高的算法[1]。但這種方法在陣元數(shù)少、信噪比低或小樣本支撐條件下會有較大的估計(jì)誤差，且在分辨率上性能也會下降[2]。當(dāng)前，將小波變換用于陣列信號處理在國內(nèi)外已經(jīng)變成研究熱點(diǎn)。在高噪環(huán)境且不增加陣元數(shù)目的條件下，傳統(tǒng)小波算子可以利用小波多分辨分析法，將分解出的子帶進(jìn)行DOA的估計(jì)，可以得到較高精度的DOA估計(jì),但其算法復(fù)雜度和計(jì)算量很大，不適合信號的實(shí)時處理。針對此問題，本文提出了基于提升小波算子的MUSIC法對DOA的估計(jì)，該方法最大的優(yōu)勢在于，通過分解、預(yù)測、更新三個過程，對DOA估計(jì)性能達(dá)到更優(yōu)。相比傳統(tǒng)小波算子，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，其計(jì)算復(fù)雜度要低很多，收斂快，且DOA估計(jì)的精度也有所提高。

2 MUSIC算法的經(jīng)典模型

設(shè)有K個信號入射到陣列上，則N元陣列接收到的輸入數(shù)據(jù)向量可以表示為K個入射波形與噪聲的線性組合，即：

(1)

具體針對MUSIC算法的論文很多，本文不對該算法的過程進(jìn)行具體闡述，可以參考文獻(xiàn)[1]，本文只給出最后空間譜的表達(dá)式，如下：

(2)

在非相關(guān)的相同噪聲環(huán)境下，找出PMUSIC(θ)的峰值對應(yīng)真實(shí)的波達(dá)方向。然而，當(dāng)入射信號在低信噪比環(huán)境下或低噪但信源角度間隔相差不大時，MUSIC分辨率會下降，從而影響DOA分辨的性能。因此，本文提出的基于小波子帶的DOA估計(jì)大大提高了DOA的分辨率。

3 基于小波子帶的DOA估計(jì)算法

對接收信號u(t)通過子帶分解濾波器進(jìn)行采樣，將信號輸入到一個M個子帶濾波器中，將M個子樣進(jìn)行抽取，則第M個子帶信號可以表示如下[3-4]：

(3)

當(dāng)滿足：

(4)

其中，Im為子帶。

(5)

Im的全集即構(gòu)成空間-π,π，且Im之間相互正交。

由于噪聲表現(xiàn)為高頻信息，而有效信息表現(xiàn)為低頻信息，將得到的經(jīng)過采樣后的接收陣列信號y(k)的子帶進(jìn)行小波分解，得到平滑的近似信息和細(xì)節(jié)信息，因此得到的濾波矩陣可以表示如下：

yk(n)=HAs(n)+nh(k)=

(6)

其中：

(7)

即為陣列的近似信息和細(xì)節(jié)信息，利用小波的多分辨分析，可以將高頻信息濾除。得到重構(gòu)后的信號為

(8)

存在問題：上述算法是基于傅里葉變換的小波多分辨分析算法，該算法復(fù)雜度高，計(jì)算量大，不適合硬件的實(shí)現(xiàn)，在工程上實(shí)現(xiàn)有一定的難度。

4 提升小波的原理和應(yīng)用

4.1 提升小波算法的應(yīng)用

針對于以上問題，本文在以原有基于子帶分解的MUSIC算法不足的基礎(chǔ)上，提出基于提升小波算法的DOA估計(jì)。

提升小波在1996年由Sweldens[5，6]提出后，被認(rèn)為是構(gòu)造第二代小波變換的優(yōu)質(zhì)小波算法，目前該提升小波算子在信號處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，特別是在圖像處理[7]和一維信號的去噪方面。

4.2 提升小波處理的陣列信號模型

圖1 提升小波處理陣列信號的示意圖
Fig.1 The array signal processing by lifting wavelet

提升算法的基本思想是，將現(xiàn)有的小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊，分步驟完成小波變換。如圖1所示，信號處理的過程分為3步。

(1)分解

將陣列信號u(t)經(jīng)過抽樣后得到離散陣列信號：

(9)

式中，N為快拍數(shù)。

本文令X的原始序列集為X(i)，將X(i)根據(jù)奇偶性均分為2個較小的子集X(i-1)和d(i-1)，其中d(i-1)為懶小波子集。

分解過程可以表示如下：

F(X(i))=(X(i-1),d(i-1))

(10)

式中，F(xiàn)(X(i))表示為X(i)的分解過程。

(2)預(yù)測

將偶數(shù)序列X(i-1)的預(yù)測值P(X(i-1))去預(yù)測奇數(shù)序列，將濾波器P(X)對偶數(shù)信號的處理轉(zhuǎn)化為對奇數(shù)信號的預(yù)測。奇數(shù)信號實(shí)際值d(i-1)與預(yù)測值的誤差表示為

d(i-1)=d(i-1)-P(d(i-1))

(11)

將X(i)重復(fù)n次迭代得到，我們可以得出，經(jīng)過n步后的信號集可以表示為

{X(n),d(n),X(n-1),d(n-1),X(n-2),

d(n-2)，…，X(1),d(1)}

(12)

(3)更新

為了確保原有信號X的特性Q(X)不變，即要Q(X(i-1))=Q(X(i))，可利用已有小波子集d(i-1)對X(i-1)進(jìn)行更新，從而保證特性參數(shù)Q(X)不變。采用更新算子U去更新，更新規(guī)則如下：

d(i-1)=d(i-1)+U(d(i-1))

(13)

從以上三個步驟可以得出，每個點(diǎn)都可以運(yùn)用新的數(shù)據(jù)集根據(jù)式(12)代替原有的數(shù)據(jù)集X(i)。利用提升濾波器可獲得小波的交織系數(shù)。

信號X(i)通過以上過程的分解，利用濾波器可以分離高低頻信號，從而得到信噪比較高信號。

通過以上數(shù)學(xué)的描述可以看出，本文利用提升小波的優(yōu)點(diǎn)，與傳統(tǒng)小波進(jìn)行信號分離的方法相比，該提升小波不依賴于傅里葉變換，小波變換后的系數(shù)是整數(shù)，與傳統(tǒng)的基于卷積的離散小波變換的離散小波相比，其具有計(jì)算復(fù)雜度低、計(jì)算量小、速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)以及結(jié)果分析

5.1 單信號DOA的誤差的仿真試驗(yàn)

通過單信號DOA的誤差比較，驗(yàn)證基于小波域MUSIC算法的優(yōu)點(diǎn)。

通過單信號的DOA誤差仿真試驗(yàn)，可以測定在不同SNR下單信號的DOA的誤差。用MUSIC算法接收單信號，通過在傳統(tǒng)MUSIC法以及小波域內(nèi)的MUSIC法對同樣的單信號進(jìn)行接收，并通過誤差計(jì)算，可以測定出各個算法優(yōu)劣。

(a)小波處理前

(b)小波處理后圖2 不同信噪比下單信號的誤差Fig.2 The error of a simple signal under different SNR

通過對單信號的精度仿真可以看到，在通信環(huán)境較差，即信噪比較低的環(huán)境下，經(jīng)過小波域處理后，單信號的DOA精度要遠(yuǎn)大于直接接收的單信號的精度；在通信環(huán)境較好的情況下，小波域內(nèi)的接收的信號精度和MUSIC法相差不大。因此，在一定程度上，小波域內(nèi)的信號接收，提高了DOA估計(jì)的精度。

5.2 相鄰角度分辨率的測定

在陣元數(shù)目較少情況下，相鄰角度的分辨往往比較困難，常常要在高信噪比的環(huán)境下才能精確分辨。

通過具有相鄰角度的兩個信號的DOA的仿真，仿真試驗(yàn)采用3種算法，即：傳統(tǒng)MUSIC法、基于小波域的MUSIC法接收、基于提升小波法的MUSIC接收，通過3種算法比較，可以比較出各個算法的優(yōu)劣。

圖3表明，在SNR=14 dB環(huán)境下，無法分辨5°、7°兩個角度，Matlab中顯示只有一個拐點(diǎn)，因此，傳統(tǒng)MUSIC法在8陣元條件下，不能將5°、7°分辨開來。在SNR=15環(huán)境下，可以分辨5°、7°兩個角度，Matlab中顯示有兩個拐點(diǎn)，因此，傳統(tǒng)MUSIC法在8陣元條件下，能將5°、7°分辨開來。Matlab仿真的時間消耗為0.95 s。

(a)SNR=14 dB

(b)SNR=15 dB圖3 傳統(tǒng)MUSIC法對DOA的估計(jì)Fig.3 DOA estimation with traditional MUSIC algorithm

圖4表明，在SNR=14環(huán)境下，可以分辨5°、7°兩個角度。Matlab仿真的時間消耗為1.25 s。

圖4 基于小波域的MUSIC法的估計(jì)Fig.4 Estimation of MUSIC algorithm based on wavelet

圖5表明，在SNR=12環(huán)境下，可以分辨5°、7°兩個角度。Matlab仿真的時間消耗為1.05 s。

圖5 基于提升小波法的MUSIC法的估計(jì)Fig.5 Estimation of MUSIC algorithm based on the lifting wavelet method

5.1節(jié)已經(jīng)說明，在高信噪比條件下，傳統(tǒng)MUSIC和基于小波域的MUSIC法的估計(jì)法的性能相差不大。通過5.2節(jié)可以看出，基于小波域的MUSIC法的估計(jì)法必須在信噪比為14 dB條件下才可以分辨，甚至，傳統(tǒng)的MUSIC法則需要在信噪比為15 dB條件下才能分辨，而基于提升小波法的MUSIC法在信噪比為12 dB的環(huán)境下已經(jīng)可以將5°、7°。通過各個仿真試驗(yàn)的Matlab仿真時間對比看出，傳統(tǒng)MUSIC法需要0.95 s，基于小波域的MUSIC法需要1.25 s，而基于提升小波法的MUSIC法則需要1.05 s。相比傳統(tǒng)MUSIC法，選用小波域法進(jìn)行處理數(shù)據(jù)，必然會增加算法的復(fù)雜度和計(jì)算時間，而基于提升小波法的MUSIC法，算法復(fù)雜度相對來說較低，且收斂速度快，精度高。

5.3 多信號接收的誤差仿真

在多個目標(biāo)信號同時接收的情況下,研究在不同信噪比條件下，利用這3種算法，即傳統(tǒng)MUSIC法、基于小波域的MUSIC法接收、基于提升小波法的MUSIC接收，通過多個信號接收的平均誤差比較，可以比較出各個算法的優(yōu)劣。

圖6為在不同信噪比環(huán)境下，傳統(tǒng)MUSIC法的接收，選用30°、60°、90°、120°的平均誤差為指標(biāo)進(jìn)行仿真。在SNR=30 dB左右時，平均誤差近似為0.075，Matlab計(jì)算所耗時間為0.657 0 s。

圖6 4個信號的傳統(tǒng)MUSIC法的平均誤差Fig.6 The average error of the four signals by traditional MUSIC algorithm

圖7為在不同信噪比環(huán)境下，基于小波域的MUSIC法的接收，選用30°、60°、90°、120°的平均誤差為指標(biāo)進(jìn)行仿真。且在SNR=28 dB左右時，平均誤差近似為0，Matlab計(jì)算所耗時間為0.922 0 s。

圖7 4個信號的小波域的MUSIC法的平均誤差Fig.7 The average error of the four signals by MUSIC algorithm based on wavelet

圖8為在不同信噪比環(huán)境下，基于提升小波的MUSIC法的接收，選用30°、60°、90°、120°的平均誤差為指標(biāo)進(jìn)行仿真。Matlab計(jì)算所耗時間為0.812 0 s。

圖8 4個信號的提升小波法的MUSIC法的平均誤差Fig.8 The average error of the four signals by MUSIC algorithm based on lifting wavelet

圖6～8說明，相比另兩個算法，在同樣信噪比下，基于提升小波的MUSIC法具有更高的精度，且算法運(yùn)行時間比基于小波域的算法短，更加適合硬件實(shí)現(xiàn)，對實(shí)現(xiàn)信號DOA實(shí)時性估計(jì)有著重要的意義。

5.4 小 結(jié)

通過以上仿真可以得出如下結(jié)論：

(1)在信噪比較低時，基于小波域的MUSIC估計(jì)算法比傳統(tǒng)MUSIC算法的精度要高；

(2)在陣元數(shù)目較少的情況，即使處于高信噪比條件下，傳統(tǒng)MUSIC算法對相鄰角度的分辨仍然有限；基于小波域的MUSIC法在一定程度上提高了相鄰角度分辨的性能，但算法復(fù)雜性增加很多；而基于提升小波法的MUSIC法既提高了算法性能，在分辨率上又有較大提高，且算法收斂較快；

(3)多個接收信號的DOA的平均誤差中，基于提升小波的MUSIC法要優(yōu)于傳統(tǒng)MUSIC法和基于小波域的MUSIC法，且算法計(jì)算量小，更加適合硬件實(shí)現(xiàn)，對實(shí)現(xiàn)信號DOA實(shí)時性估計(jì)有著重要的意義。

6 結(jié) 論

本文提出了一種新的DOA估計(jì)算法，將提升小波算子成功應(yīng)用到DOA估計(jì)的算法中。新算法利用小波多分辨分析的特點(diǎn)，提高了DOA的分辨率。同時，提升小波算子的特性得到重要應(yīng)用，算法計(jì)算量比傳統(tǒng)的小波算子大大降低，且精度比傳統(tǒng)小波算子更高，為未來第四代移動通信技術(shù)提供了一種非常重要的信號處理手段，具有一定的理論價值和現(xiàn)實(shí)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] KAVEH M, BARABELL A. Statistical performance of the MUSIC and minimum-normal algorithms in resolving plane waves in noise [J]. IEEE Tranactions on Acoust, Speech, Signal Processing, 1986,ASSP-34(2): 331-341.

[2] 樊祥， 程正東， 馬東輝， 等. 兩信號源的相關(guān)性對MUSIC算法分辨性能的影響[J]. 電子學(xué)報(bào), 2008,36(12)：2315-2318.

FAN Xiang，CHENG Zheng-dong,MA Dong-hui,et al. Effect of Correlation of Two Signal Sources on Resolution Performance of MUSIC Algorithm[J]. ACTA Electronica Sinica,2008,36(12)：2315-2318.(in Chinese)

[3] SHU Xiang-lan, HAN Shu-ping. Improvement of DOA Estimation using Wavelet Denoising[C]//Proceedings of the 1st International Conference on Information Science and Engineering.Nanjing:IEEE,2009:587-590.

[4] 薛延波，汪晉寬,劉志剛，等.一種多分辨率 DOA估計(jì)的小波包算法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005, 26(7)：625-628.

XUE Yan-bo,WANG Jin-kuan,LIU Zhi-gang，et al. A Novel Multiresolution DOA Estimation Method with Wavelet Packet[J]. Journal o f Northeastern University (Natural Science), 2005, 26(7):625-628.(in Chinese)

[5] SWELDEN W.The lifting Scheme:A Custom-Design construction of Biorthogonal Wavelets[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis,1996(3):186-200.

[6] SWELDEN W.The lifting Scheme:A construction of Second Generation Wavelets[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,1997,29(2)：511-546.

[7] Chang S G,Cvetkovic Z,Vetterli M．Locally Adaptive Wavelet-Based Image Interpolation[J]．IEEE Transactions on Image Proessing,2006，15(6):1471-1485.