譚松柏 譚學先

(湖南省益陽市電業(yè)局,湖南 益陽 413000)

孿生素數(shù)問題研究

譚松柏 譚學先

(湖南省益陽市電業(yè)局,湖南 益陽 413000)

大于 3的素數(shù),含在 6n-1、6n+1兩數(shù)列中。通過對數(shù)列序號 n的研究,發(fā)現(xiàn)了 6n-1及 6n+1兩列數(shù)中的合數(shù)項所對應序號 n的分布規(guī)律——集中分布在模 p數(shù)表的兩列數(shù)中。通過利用模p數(shù)表的特性篩去所有合數(shù)項所對應序號 n的方法,最終得出了“孿生素數(shù)有無限多”以及“大于 8的偶數(shù)都可表為二素數(shù)之和,且偶數(shù)越大,表為二素數(shù)和的表法個數(shù)就越多。當數(shù)值相近時,能被 6整除的偶數(shù),比不能被 6整除的偶數(shù),上述表法個數(shù)幾乎多,一倍”的結論。

數(shù)列;序號;素數(shù);合數(shù);偶數(shù);模 P

一、自然數(shù)的分類及素數(shù)、偶數(shù)的類型與相關名詞、符號的定義

現(xiàn)將大于 3的自然數(shù)分成 A,B,C,D,E及 F六列算術數(shù)列,其通項分別為:(6n-2),(6n-1),(6n),(6n+1),(6n+2),(6n+3),(n=1,2,…m)。對于一個任意大的自然數(shù) X來說,其序號m的精確計算通式為m=[X/6+0.4],適當舍入后可簡略為 m=X/6。

以上 A、C、E及 F四列數(shù)中,因含因數(shù) 2或 3而都為合數(shù),故大于 3的素數(shù),都包含在 B、D兩列中,即 6n-1和 6n+1兩種類型,以下分別稱為Ⅰ型數(shù)和Ⅱ型數(shù)。其中的素 (合)數(shù)項及序號 n的都分別標以Ⅰ、Ⅱ的 下標,并分別稱為Ⅰ、Ⅱ型素數(shù)、合數(shù)、序號等。按 P代表素數(shù)、C代表合數(shù)的慣例,則有 PI(C I)=6n IP(n IC)-1,PII(C II)=6n IIP(n IIC)+1,其中 PI即為Ⅰ型素數(shù),C II即為Ⅱ型合數(shù)…,余類推。

當 6n-1和 6n+1同時為素數(shù)時,此二素數(shù)即為孿生素數(shù),該序號 n我們稱作雙重素數(shù)序號,記做 np。

二、I、II型合數(shù)的因式分解規(guī)律

任一 I型或 II型合數(shù)作完全的因式 (數(shù))分解,則最終得到的將是一系列的 I、II型素數(shù) (PI和 /或 PII)的乘積。即有:

以上可表述為:I型數(shù) ×II型數(shù) =I型數(shù);I型數(shù) ×I型數(shù)=II型數(shù);II型數(shù) ×II型數(shù) =II型數(shù)。

根據(jù)上述 I、II型數(shù)的特點并結合 (1)式,我們可得出 C I和C II的因式 (數(shù) )分解規(guī)律,即:

三、合數(shù)序號 n IC、n IIC的分布規(guī)律

四、模數(shù)為素數(shù) P的數(shù)表 (簡稱模 P數(shù)表)及其特性

1.將通項序號 1,2…m排成列數(shù)固定為 P的數(shù)表即稱為模 P數(shù)表,下面表 (一)與表 (二 )分別是 P為 I型素數(shù) 5和 II型素數(shù) 7的情形:

表 (一) 模 5(PI)數(shù) 表表中僅列出模 PI的主要列數(shù)據(jù)

表 (二) 模 7(PII)數(shù) 表表中僅列出模 PII的主要列數(shù)據(jù)

2.模 P數(shù)表的性質

據(jù)模 P數(shù)表的構造及運用《同余定理》、《孫子定理》等數(shù)學原理推理,就可得到模 P數(shù)表的以下性質:

性質 1 模 P數(shù)表的每列數(shù)都是模數(shù) P的同 (剩)余類;

性質 2 模 P數(shù)表都有兩列 (其中一列的首項除外)集中分別分布著含有素因子 P的Ⅰ型與Ⅱ型合數(shù)序號 [表 (一)、表 (二)中全列帶有底紋者,該性質的根據(jù)為式 (9)—(12)];

性質 3模 P′數(shù)表中的各列元素,每列都是均勻分布在模P″數(shù)表的各列中。此性質簡稱“均布性質”。

3.模 P數(shù)表的應用

要篩掉第 1節(jié) B與 D兩列數(shù)中所有≯X的合數(shù)的序號,就要建立分別由素數(shù) 5,7,…到素數(shù) Pk的連續(xù)相鄰的 k個素數(shù)為模的一群數(shù)表進行篩選。其中最大素數(shù) Pk的取值范圍為Pk 2≯X,或 Pk≯X1/2。

證明如下:

證 設 C=Pk×PX(Pk≤PX),C≯X,,因每個模 P數(shù)表都有兩列為含素因子 P的合數(shù)序號,即 C的序號同時存在于模Pk與模 PX兩個數(shù)表中,僅需用模 Pk數(shù)表即可篩選掉合數(shù) C的序號。因此我們如用上述由 5,7,…,Pk等素數(shù)分別為模的數(shù)表,就可篩選掉B與 D兩列數(shù)中所有不大于 X的合數(shù)的序號。證畢。

5孿生素數(shù)問題

由給定的 X即可得其序號 m=X/6,確定 m后即可確定一個 n=1,2,3,…,m的序號數(shù)列。在此數(shù)列中首先篩去全部的 n Ic,剩下的就全部是 n Ip;然后再在此數(shù)列中篩去一次全部的 n IIc,最后剩下的序號就全部是雙重素數(shù)序號 np了,而這些剩余序號的數(shù)量即就是≯X范圍內孿生素數(shù)的數(shù)量了。

利用模 Pi(5≤Pi≤X1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群完成篩選過程。先用模 5數(shù)表篩選,即篩去m個序號中的 1/5個Ⅰ型合數(shù)序號 (即其中 1列,見數(shù)表性質 2),再篩去 m個序號中的 1/5個Ⅱ型合數(shù)序號,故經(jīng)過模 5數(shù)表篩選后,剩下了 3列共 m(1-2/5)個序號。依模 P數(shù)表性質 3—“均布性質”,這篩剩的3列共 m(1-2/5)個序號,每列都均勻分布在模 7數(shù)表的 7列中。即模 7數(shù)表的每列中分布有模 5數(shù)表篩剩的 m(1-2/5)×1/7個序號,按同樣的方式篩去 2列后,即剩下 5列共 m(1-2/5)(1-2/7)個序號。依此繼續(xù) .…,故用模 Pi(5≤Pi≤X1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群逐個篩完后,即得到了不大于 m的雙重素數(shù)序號 np,亦即≯X的孿生素數(shù)的對數(shù),設其為 R(X)。因每個模 P數(shù)表,其中有一列的首個素數(shù)序號當作合數(shù)序號篩去了,因而使篩剩的素數(shù)序號就比實際值要少,故計算所得結果為雙重素數(shù)序號 np個數(shù)的下界,即:

因素數(shù)有無限多,故連乘積必隨 X的增大而增大,當 X→∞時,R(X)→∞,故得出結論:孿生素數(shù)有無限多。

六、哥德巴赫猜想的一點思考

“孿生素數(shù)問題”與“哥德巴赫猜想”是相互關聯(lián)的問題。求“雙重素數(shù)序號”時,是在 1到 m的序號數(shù)列中分別篩去合數(shù)序號 n I,與 n II,從而得到 nP。研究“哥德巴赫猜想”,其方法實質上是非常類似的,即:設偶數(shù) E為 6n型偶數(shù),記為 E6,可得到模 Pi(5≤Pi≤E1/2;i=1,2,…,k)數(shù)表群;又 E6=(6n′-1)+(6n″+1),因此可得 n′與 n″兩列共 n-1對序號 ,每對序號和均等于 n,故稱 n′與 n″,互為“配對序號”,即:

在 n′列中篩去Ⅰ型合數(shù)序號,在 n″列中需篩去Ⅱ型合數(shù)序號,剩下仍可配對的序號就對應一個哥德巴赫數(shù)。按照上述孿生素數(shù)的篩選方法,即可得到以下與(13)類似的結果:

設 G(E6)為表偶數(shù) E6為兩個素數(shù)和的表法個數(shù),則有:

對于 6n-2型偶數(shù),記為 E-2,有:E-2=(6n′-1)+(6n″-1),由于 n′對 n″與 n″對 n′是對稱重復的 ,故“表法個數(shù) ”將有不超過一半是重復的,因而有:

由此可認為凡大于 2的偶數(shù)都可表為二素數(shù)之和,且偶數(shù)越大,表為二素數(shù)和的表法個數(shù)就越多。當數(shù)值相近時,能被6整除的偶數(shù),比不能被 6整除的偶數(shù),上述表法個數(shù)幾乎多,一倍。

[1] 閔嗣鶴,嚴士健 .初等數(shù)論[M].北京人民教育出版社,1982.

[2] 華羅庚 .數(shù)論導引[M].北京科學出版社,1957.

[3] 潘承洞,潘承彪 .哥德巴赫猜想[M].科學出版社,1984.

[4] 熊全淹 .初等整數(shù)論[M].湖北教育出版社出版,1982.

[5] 柯召,孫琦 .數(shù)論講義[M].高等教育出版社,2001.

A Research on Tw in Pr im es

TAN Song-bo;TAN Xue-xian
(Hunan Yiyang Electric O ffice,Y iyang 413000,Huan)

Any p rimesbigger than 3 are inc luded in the 2 sequencesof6n-1 and 6n+1.Through a carefulanalysison the seriesnumbern,it is discovered that in the2 sequencesof6n-1 and 6n+1,those nsaccording to the term sare composite numberare concentrated in two sequences of the number list inmodulusp.Through away to sieve outall the nswhich the term sare composite number,it is demonstrated that:“tw in p rim es are unlim ited”and“Any even numberbigger than 8 can be the sum of two p rim esand the bigger the even number,themore the p rimematches,and when the even numbers are in form of6n,the amountof p rimematchesare nearly doublemore thanwhatwhen the even numbersare formed in 6n-2 and 6n+2?”.

sequence,series num ber,p rim e num ber,composite num ber,even num ber,modu lus P

G424

A

1671-5004(2010)06-0152-03

2010-11-05

譚松柏 (1930-),男,湖南益陽電業(yè)局高工,研究方向:電氣自動化。