郭守朋

(西安電子科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710071)

推廣偽Smarandache函數(shù)的初等性質(zhì)

郭守朋

(西安電子科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710071)

用初等方法進(jìn)一步研究了推廣的偽Smarandache函數(shù)的初等性質(zhì)，得到了幾個復(fù)雜的函數(shù)值形式，為進(jìn)一步研究推廣Smarandache函數(shù)其他性質(zhì)打下了基礎(chǔ)。

Smarandache函數(shù);偽Smarandache函婁;素數(shù);同余式

0 引言

David Gorski在文獻(xiàn)［1］中提出了著名的偽Smarandache的函數(shù)，對任意正整數(shù)n，偽Smarandache函數(shù)Z(n)定義為：

文獻(xiàn)［2］推廣了偽Smarandache函數(shù)，對任意的正整數(shù)n，推廣偽Smarandache函數(shù)Z3(n)定義為

本文進(jìn)一步研究了Z3(n)的初等性質(zhì)，分別對n=2lp，n=2lpk，n=2l×3k，l，k∈N*，p＞3為素數(shù)，給出了Z3(n)的函數(shù)值形式。對于函數(shù)方程正整數(shù)解［3-4］，均值及漸進(jìn)公式［5］的研究也是有意義的。

1 Z3(n)的進(jìn)一步研究

引理1 對任意正整數(shù)k，素數(shù)p，若Z3(kp)=m，則m必為lp-2，lp-1，lp，l∈N*三種情形。

證明 因為Z3(n)≥1，當(dāng)p=2，3時，引理顯然成立。當(dāng)p＞3是素數(shù)，由p|m(m+1)(m+2)/6，則p必整除m，m+1，m+2，其中之一，因此m必有l(wèi)p-2，lp-1，lp，l∈N*三種情形。證畢。

(1)當(dāng)n=2lp，l∈N*，p＞3為素數(shù)，設(shè)Z3(2lp)=m，考慮m=gp-2，m=gp-1，m=gp三種情況及g的取值有：

(a)若g=1，m=p-2，此時僅有m+1=p-1為偶數(shù)，由2lp|(p-2)(p-1)p/6，則有2l+1|p-1，用同余式表述即為，當(dāng)p-1≡0mod(2l+1)時，Z3(2lp)=p-2;若m=p-1，由2lp|(p-1)p(p+1)/6，則有2l|p-1或者2l|p+1，即當(dāng)p±1≡0mod(2l)，但p-1≠0mod(2l+1)時，Z3(2lp)=p-1;若m=p，由2lp|p(p+1)(p+ 2)/6，則有p+1≡0modl+1(此時p+1≡0mod(2l)，應(yīng)有Z3(2lp)=p-1。

(b)同理，若g=2，m=2p-2時，由2lp|(2p-2)(2p-1)2p/6，則2l-1|p-1，即當(dāng)p-1≡0mod(2，且p-1≠0mod(2l)時，Z3(2lp)=2p-2;m≠2p-1，這是因為若m=2p-1，則2lp|(2p-1)2p(2p+1)/6，這是不可能的;若m=2p，由2lp|2p(2p+1)(2p+2)/6，則2l-1|p+1，即p+1≡0mod(2l-1)，且p+1≠0mod(2l)。

(c)若g=2k，k＞1，k∈N，由2lp|(2kp-2)(2kp-1)2kp/6，則2l/2k，由Z3(n)的最小性，取2k=2l，此時，Z3(2lp)=2lp-2。

(d)若g＞3為奇數(shù)，m=gp-2，由2lp|(gp-2)(gp-1)gp/6，有2l+1|gp-1;若m=gp-1，由2lp|(gp-1)gp(gp+1)/6，則2l-1|gp-1或者2l|gp+1;若m=gp，由2lp|gp(gp+1)(gp+2)/6，則2l+1|gp+1，亦有2l|gp+1，此時應(yīng)有m=gp-1。同理，若g＞3為奇數(shù)，m=2gp-2，此時有2l-1|gp-1;若m=2gp，g＞3為奇數(shù)，此時有2l-1|gp+1。至此m已沒有其它可能的情形。綜上，有

(2)同理，當(dāng)n=2lpk，l∈N*，k∈N*，p＞3為素數(shù)時，有

當(dāng)n=2l×3k，l，k∈N*時，考慮到(2)式及文獻(xiàn)［2］中性質(zhì)2(文獻(xiàn)［2］中［4］式)有

2 結(jié)語

本文在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究推廣偽Smarandache函數(shù)Z3(n)的初等性質(zhì)，給出了幾個復(fù)雜的函數(shù)值形式。

［1］ Gorskid D.The pseudo Smarandache function［J］.Smarandache Notions Journal，2002，13：140-149.

［2］ 郭守明.推廣偽Smarandache函數(shù)［J］.貴州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，27(1)：6-7.

［3］ 張文鵬.關(guān)于F.Smarandache函數(shù)的兩個問題［J］.西北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，38(2)：173-176.

［4］ 薛西峰.一類包含Smarandache對偶函數(shù)方程的求解［J］.陜西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，35(4)：9-11.［5］ 徐哲峰.關(guān)于Smarandache函數(shù)的值分布［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報：中文版，2006，49(5)：1009-1012.

責(zé)任編輯：鐘 聲

Elemetary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function

GUO Shou-peng
(College of Science，Xidian University，Xi＇an 710071，China)

Elementary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function are further studied by using elementary methods and several complex forms of function value are obtained，which provides a good foundation for the further study on other properties of the generalization of the pseudo Smarandache function.

Smarandache function;pseudo Smarandache function;prime;congruence

O156.4

A

1009-3907(2010)08-0004-02

2010-05-10

國家自然科學(xué)基金資助項目［10671155］

郭守朋(1986-)，男，安徽亳州人，碩士，主要從事數(shù)論、變分不等式及優(yōu)化方面研究。