曹昕燕,鄒英永

(1.長春大學 電子信息工程學院,吉林 長春 130022;2.長春大學 機械工程學院,吉林 長春 130022)

基于ARMA模型的振動信號建模與預測

曹昕燕1,鄒英永2

(1.長春大學 電子信息工程學院,吉林 長春 130022;2.長春大學 機械工程學院,吉林 長春 130022)

振動信號是反映系統(tǒng)故障的重要信息,預測振動信號的趨勢是系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷中的一個重要內容。本文提出了一種采用時間序列模型來分析和預測非線性隨機振動信號的方法,建立了描述振動信號的數(shù)學模型。首先將現(xiàn)場測得的非平穩(wěn)振動信號轉化成標準正態(tài)平穩(wěn)時間序列,然后利用這些參考信號建立時間序列模型,并采用非線性最小二乘法進行模型參數(shù)估計,最后利用該模型對信號進行預測。應用結果表明該模型能夠很好地擬合振動信號時間序列,并取得了一定的預測精度,可以達到預測要求。

振動信號;時間序列;建模;預測;參數(shù)估計

0 引 言

機械系統(tǒng)的振動信號是反映系統(tǒng)故障的重要信息,在對機械系統(tǒng)進行狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷過程中,及時檢測機械系統(tǒng)振動信號動力學突變對機械系統(tǒng)早期故障的發(fā)現(xiàn)有著極其重要的作用。由于機械系統(tǒng)在工作過程中會產生撞擊、速度突變、結構變形、摩擦變化等,常會引起非平穩(wěn)、非線性振動,因此從機械系統(tǒng)中獲得的振動信號也往往具有非線性、非平穩(wěn)性特征,很難從觀測數(shù)據(jù)直接分析系統(tǒng)的變化規(guī)律。本文提出了一種基于時間序列分析技術的振動信號處理方法,它是在振動信號監(jiān)測的基礎上,通過對動態(tài)參數(shù)進行建模與預測,來估計設備故障的傳播和發(fā)展趨勢,對設備的優(yōu)劣趨勢做出預測。該方法具有能反映系統(tǒng)的內在規(guī)律、預測精度高等特點,特別適合于對設備的各種未來信號進行預測,已被廣泛地應用于機械故障診斷、交通運輸?shù)葘W科,并發(fā)揮著重要的作用。

本文應用時間序列分析的方法對機械系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)進行了識別,首先對機械系統(tǒng)進行測量,獲得響應的時間序列,然后對時間序列建立ARMA模型,利用ARMA模型與系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)的關系對振動信號進行監(jiān)測和預測分析。

1 時間序列模型

時間序列分析的步驟包括數(shù)據(jù)采集與處理、模型識別、參數(shù)估計、預報與檢驗等[1]。時間序列建模的一般流程圖如圖1所示。

1.1 數(shù)據(jù)采集與處理

建立時間序列模型需要離散時間序列。設一個振動系統(tǒng)某測點的輸出響應為離散時間序列{Xt}。對于離散時間序列{Xt},當其取值過大或過小時,為保證計算精度、減少誤差、避免溢出,需要對離散時間序列{Xt}進行規(guī)一化處理。即當{Xt}滿足均值為μ^,方差為δ^2的正態(tài)分布時,對{Xt}中各數(shù)據(jù)進行規(guī)一化處理

1.2 模型識別

模型識別就是根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)處理階段所獲得的數(shù)據(jù)信息的先驗知識來選擇一種合適的模型。均值為零的平穩(wěn)時間序列可以用自回歸模型(AR)、滑動平均模型(MA)和自回歸滑動平均模型(ARMA)三種模型來表示。其中ARMA模型是一種精確度較高的短期時間序列預測方法。他將預測對象隨時間變化形成的序列,看作是一個隨機序列,然后用相應的模型進行近似描述,再通過對相應數(shù)學模型的分析研究,能更本質的認識這些動態(tài)數(shù)據(jù)內在結構和復雜性,從而達到在最小方差意義下的最佳預測。

圖1 時間序列建模過程

圖2 ARMA模型建模流程

本文采用 ARMA(n,n-1)模型,其策略是用ARMA(n,n-1)模型的一個遞增系列去逐步逼近數(shù)據(jù)的依賴關系。當用殘差平方和的減小來作判斷時,先停留在這樣一個 n值上,即 n超過此值時,這種逼近的改善已不明顯。應用這種策略可以設計一個簡單的,能夠在計算機上執(zhí)行的建模程序,即只要把數(shù)據(jù)輸入建模程序,就能輸出所有的適合模型并指出最適合的一個模型,不需要對自相關、譜、殘差等的圖線進行實驗驗證。ARMA(n,n-1)模型的具體建模流程如圖 2所示。

ARMA(n,n-1)模型的形式為[2]：

其中:at～N(0,σ)2

這種模型的形式是分別通過 n階的自回歸部分和 n-1階的滑動平均部分去處 at對 Xt-1Xt-2,……, Xt-n和對 at-1,at-2,……,at-n+1的依賴關系。ARMA(n,n-1)模型的建模步驟為:

第 1步:擬合ARMA(n,n-1)模型,n值每次增加 1,利用 F判據(jù)檢驗殘差平方和的改善情況,證實 at的自相關是在允許的范圍內。在從ARMA(n,n-1)轉到ARMA(n+2,n+1)時,當 F值在預定的水平上變得無意義時,就停止繼續(xù)擬合,并選擇ARMA(n,n-1)模型。

第 2步:檢驗 φ和θ,觀察這些值與它們的絕對值相比是否小,他們的置信區(qū)間是否包括零,如果‘否’,則ARMA(n,n-1)為一個合適的模型。

第 3步:假如 F值小,并且它們的置信區(qū)間包括零,則擬合一個ARMA(n-1,n-2)模型,用 F判據(jù)檢驗它與ARMA(n,n-1)模型。假如 F值不大,則略去小的MA參數(shù),擬合一個m＜n-1的ARMA(n-1,m)模型,并用 F判據(jù)檢驗,直至得到參數(shù)最少的合適模型為止。

第 4步:假如 F值大,則略去小的滑動平均參數(shù),并確定m＜n-1的一個ARMA(n,m)模型。

第 5步:假如需要時,通過 F判據(jù)擬合模型的理想形式(如純AR(n))或純MA(m)等等),使模型的階次逐漸增加,直至 F值小到無意義為止。

1.3 參數(shù)估計

模型的參數(shù)估計就是選擇合適的參數(shù)使得模型的殘差 at為白噪聲。模型參數(shù)估計的方法很多,常用的方法有最小二乘估計、極大似然估計、最大熵估計和相關矩估計等方法。因為 ARMA(n,n-1)模型是非條件回歸模型,所以它的參數(shù)采用非線性最小二乘法進行估計。

非線性最小二乘法采用逐步逼近的方法來實現(xiàn) at的平方和的極小化。這個方法是從諸參數(shù)的某些初始值開始,利用公式(2)遞推計算 at并求得平方和,然后通過最速下降法找到平方和減小的方向,再利用具有最小平方和的參數(shù)新值作為初始值,計算程序一直繼續(xù)進行下去直至獲得極小的平方和為止。

由于 t＜0時,不存在 Xt,所以將計算的第一個 at是在 t=n+1時刻的。對 t＜n的諸 at的初始值設其為零,則可以利用公式(2)遞推生成 t=n+1,n+2,…,N時的各 at?？赡軙猩僭S的信息丟失,但當觀測次數(shù)N較大時,則可忽略不計。

1.4 預測

預測是指已經知道一個時間序列現(xiàn)在與過去的數(shù)值,對將來的數(shù)值進行估計。時間序列預測的基本思想是根據(jù)當前及以前的觀察數(shù)據(jù)對未來值進行估計。預測通常都采用最小方差線性估計的原則。首先將信號隨機序列代入模型進行計算獲得隨機預測結果,然后根據(jù)在預測計算程序中所得趨勢、周期、零均值計算等結果對預測結果進行數(shù)據(jù)還原即得實際預測數(shù)據(jù)。接下來讀入下一步實測數(shù)據(jù) Xt+1,保留最近的N個數(shù)據(jù),然后進行趨勢性周期性判別,進入下一次循環(huán)預測,從而實現(xiàn)對信號的預測。

1.5 檢驗

在建立了相關模型之后,為了判斷該模型的優(yōu)劣程度,需要對模型的擬合殘差進行相關的檢驗分析。最簡單有效的方法就是檢驗其擬合殘差是不是白噪聲。也就是說,如果經檢驗確是白噪聲序列,則可認為模型是合理的,否則,就應當進一步改進模型。

2 振動信號的建模和預測

建模選擇的信號源為振動信號,這些數(shù)據(jù)信號分為兩部分,一部分用來建模,另一部分用來驗證。原始信號分布如圖3所示。

首先對初始數(shù)據(jù)減去平均值做為處理數(shù)據(jù),然后依照上述分析建模方法,找出其合適的模型 ARMA(n,n-1),即確定正確的模型類別和模型階次,然后利用建好的模型,預測出后面振動信號的值,再使用實際的振動信號值來檢驗預測信號的準確性。

利用上述數(shù)據(jù),分別建立了ARMA(2,1),ARMA(3,2),ARMA(4,3),ARMA(5,4),ARMA(6,5),ARMA(7,6)6個模型,并用上述方法進行模型檢驗,結果如表 1所示。

圖 3 阻尼器機械振動系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)分布曲線

表1 ARMA(n,n-1)建模參數(shù)表

圖 4為不同模型殘差圖,通過對振動系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)的殘差平方和的比較,置信區(qū)間的選定,以及模型的適用性檢驗(F-檢驗法),可以確定出合適的時間序列模型為ARMA(6,5)模型。圖 5為樣本數(shù)據(jù)與不同模型預測值。

圖4 不同模型殘差圖

圖5 樣本數(shù)據(jù)與不同模型預測值

3 結 論

本文詳細地論述了時間序列分析的原理和建模步驟,并給出了振動信號的預測過程和結果。從預測的結果可以看出,時間序列分析能夠有效地識別機械系統(tǒng)的動態(tài)特性,且建模簡單有效,具有較高的精度。該技術可以直接應用于設備的故障診斷中,利用現(xiàn)有的故障狀態(tài),預測出未來的故障趨勢,做到提前防范、提前檢修,具有極大的實際意義。

[1] 劉輝,潘迪夫,李燕飛.基于時間序列分析的機車振動信號建模和預測[J].鐵道機車車輛,2007(8)：34-37.

[2] S.M.潘迪特,吳憲民著.時間序列及系統(tǒng)分析與應用[M].北京：機械工業(yè)出版社,1998.

[3] 韓路躍,杜行檢.基于MATLAB的時間序列建模與預測[J].計算機仿真,2005,22(4)：501-701.

[4] 徐峰,王志芳,王寶圣.AR模型應用于振動信號趨勢預測的研究[J].清華大學學報(自然科學版),1999(4)：57-59.

[5] 黃建洪,陳致偉,傅戈雁.時間序列預測模型的建模方法與應用[J].機械制造,2007(11)：1-3.

責任編輯：吳旭云

M odeling and forecast ing of vibration signals based on ARMA M odel

CAO Xin-Yan1,ZOU Ying-yong2
(1.College of Electronic Information Engineering,Changchun University,Changchun 130022,China; 2.Mechanical Engineering College,Changchun University,Changchun 130022,China)

Vibration signals are the important information for system failures.Forecasting the trend of vibration signals is an important contentof conditionmonitoring and fault diagnosis.This article presents amethod to analyze and predict nonlinear random vibration signals by t ime seriesmodel and establishesmathematicalmodels to describe vibration signals.Firstly,the non-stationary vibration signals acquired in the field are transfor med to stationary time series.Secondly,the time seriesmodels are constructed from the selected reference signals and nonlinear least square method is used to estimate models’parameters.Finally,the vibration signals are forecast by using the models.The application results show that the models can simulate t ime series of vibration signals quite wellwith good prediction accuracy and meet the need of forecasting.

vibration signal;time series;model;forecast;parameter est imation

TB53

A

1009-3907(2010)06-0052-04

2010-04-07

吉林省教育廳“十一五”科學技術研究項目[2009239]

曹昕燕(1973-),女,吉林長春人,副教授,博士研究生,主要從事信號處理方面研究。