盧亦平,錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部,江蘇 蘇州 215104)

高階微分算子帶權(quán)第二特征值的上界估計(jì)

盧亦平,錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部,江蘇 蘇州 215104)

考慮某類高階微分算子的帶權(quán)第二特征值上界估計(jì)的問題。利用試驗(yàn)函數(shù)、分部積分、Rayleigh定理和不等式等方法與技巧,得到了用高階微分算子的第一個(gè)特征值來估計(jì)第二個(gè)特征值的不等式,其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關(guān)。其不等式在物理學(xué)和力學(xué)中應(yīng)用廣泛,在微分方程的理論研究中起著重要的作用。

高階微分算子;特征值;上界;估計(jì)

1 介 紹

設(shè)(a,b)∈R是一個(gè)有界開區(qū)間,考慮如下的特征值問題:

其中μi1≤μi2(i=1,2),且μij(i,j=1,2)均為正實(shí)數(shù)。

當(dāng) s=6時(shí),問題 (1)特征值的上界估計(jì)已有一些結(jié)果[1～2]。在本文中,考慮一般高階微分算子 (1)并且左端的導(dǎo)數(shù)比右端的導(dǎo)數(shù)恰好高 2s-2階的問題,這個(gè)問題是文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的推廣。運(yùn)用文獻(xiàn)[3]中的方法,并且對其方法加以改進(jìn),對于任意整數(shù) s≥3,問題 (1)得到了用第一特征值來估計(jì)第二特征值的不等式,其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關(guān)。其結(jié)果在微分方程的理論研究和力學(xué)的應(yīng)用中起著重要的作用[4]。

定理 設(shè)λ1,λ2是問題 (1)的兩個(gè)第一、第二特征值,且 0＜λ1≤λ2,s≥3則有

2 定理的證明

設(shè)λ1是問題 (1)的第一特征值,相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)為 y1,簡記 y=y1,且滿足

利用分部積分和式 (6),得

利用 s次分部積分和式(7),有

利用式(2)和式(7),得

利用分部積分,直接計(jì)算得

從式 (10)知,φ與 y帶權(quán)正交,且滿足Dkφ(a)=Dkφ(b)=0,k=0,1,2,…,s-1。

利用 Rayleigh定理,成立著

計(jì)算得

利用分部積分和φ(x)=(x-q)y,有

結(jié)合式(12)和式(13),得

設(shè)

利用式(14),有

利用式(11)和式(15),成立著

引理 1 設(shè) y是問題(1)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù),則

證 利用式(3)和式(7),得

對于 (a),用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng) r=1時(shí),利用式(17)的右端,不等式顯然成立。

當(dāng) r=k+1時(shí),利用分部積分、Schwartz不等式和歸納假設(shè),得

化簡整理,有

即引理 1(1)成立。

對于 (b),反復(fù)運(yùn)用引理 1(1)和 (9),得

引理 2 設(shè) y是問題(1)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù),則

證 對于(a),在引理 1(2)中,取 r=s-1,利用(2),得

對于 (b),在引理 1(2)中,取 r=s-2,利用 (2)、(8)和 Schwartz不等式,得

引理 3 設(shè)λ1是問題(1)的第一特征值,則

證 利用分部積分和φ(x)=(x-t)y,得

利用式 (18)、(19)、(20)和 (21),有

利用式(22)、引理 1和引理 2,得

整理后可得引理 3。

引理 4 對于φ與λ1,則

證 利用分部積分和φ(x)=(x-q)y,得

利用式(22),有

利用式(17)和式(24),得

在引理 1(2)中,取 r=2,利用式(25)和 Schwarz不等式,有

整理上式,可得引理 4。

定理的證明:利用引理 4和引理 5,從(16),得到

即可得到定理的 (4)。在式 (26)用μ12來替代μ11,即可得到定理的 (5)。

[1] 盧亦平,錢椿林.微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)[J].長春大學(xué)學(xué)報(bào),2009(10)：7-9.

[2] 韓秋敏,錢椿林.六階某類微分方程第二特征值的上界[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào),1999(3)：26-30.

[3] G.N.Hile,R.Z.Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator[J].Pacific J.Math,1984(1)：115-133.

[4] M.H.Protter.Can one hear the shape of a drum[J].S IAM Rev,1987(1)：185-197.

[5] 葉小華.四階方程的 legendre-Laguerre復(fù)合譜方法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,30(2)：122-128.

責(zé)任編輯：鐘 聲

The upper bound estimation of second eigenvalue for high-order differential operators with weight

LU Yi-ping,Q IAN Chun-lin
(FundamentalDepartment,Suzhou VocationalUniversity,Suzhou 215104,China)

This paper considers the upper bound est imation of second eigenvalue for high-order differential operatorswith weight.The inequality of high-order differentialoperatorswith second eigenvalue is estimated from first eigenvalue by test functionmethod,Rayleigh theorem and inequality estimation.The estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.This kind of problem plays an important role in the theory of differential equations and the application in mechanics and physics.

high-order differential operator;eigenvalue;upper bound;estimation

O175.1

A

1009-3907(2010)06-0004-04

2010-04-16

蘇州市職業(yè)大學(xué)基金資助項(xiàng)目(SZD06L28)

盧亦平(1978-),女,吉林白山人,講師,碩士研究生,主要從事算子特征值估計(jì)研究。

錢椿林(1943-),男,江蘇蘇州人,教授,主要從事算子特征值估計(jì)的研究。