馮慶江,李 巖,楊利垚

(長春師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)

用試探函數(shù)法求 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解

馮慶江,李 巖,楊利垚

(長春師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)

通過引入一個新的變換,然后采用試探函數(shù)法,將非線性偏微分方程化為代數(shù)方程,然后用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的常數(shù),最后求出 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解。

組合 Zakharov-Kuznetsov方程;試探函數(shù)法;孤子解

1 試探函數(shù)法的基本思想

考慮如下一類非線性偏微分方程

其中 ai(i=1,2,3,……)為任意常數(shù)。

為了求解上述方程,首先引入一個變換,然后選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),就可以將非線性偏微分方程 (1)化為非線性代數(shù)方程,從而求出方程的解。

2 Zakharov-Kuznetsov方程的求解

Zakharov-Kuznetsov方程 (簡稱 ZK方程)用于描述水波在 (2+1)維空間的運動形式,它是著名的 KDV方程模型的推廣,具體形式如下:

文獻[1]用試探函數(shù)法成功地求解了(1+1)維非線性偏微分方程,本文在文獻[1]的基礎(chǔ)上將這種方法推廣到(2+1)維非線性偏微分方程,并且選取兩種不同的試探函數(shù)求解 ZK方程。

2.1 第一種試探函數(shù)選取法

引入變換

其中 v(z)和 z(x,y,t)為試探函數(shù),我們把試探函數(shù) z(x,y,t)選取為如下形式

若選取試探函數(shù) v(z)為

將式 (6)～式(10)代入方程(2)后,得代數(shù)方程

要使(11)成立,必須使方程的系數(shù)為零,即

聯(lián)立(12)、(13)得方程的解

將(14)代入(6)式得

上式就是 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解。

2.2 第二種試探函數(shù)選取法可將上式化簡為

通過(16)可以求得波速為

將(22)～(26)式代入(2)式,經(jīng)過整理后得到如下一組非線性代數(shù)方程

要使上式成立,必須有

由(28)、(29)得到

將(30)代入(22)得

再將 (20)式代入(31)得

波速為:

通過(16)式和 (33)式可知,我們采用了不同的試探函數(shù),但是卻得出了相同的結(jié)果。

[1] 謝元喜,唐駕時.用試探函數(shù)法求 KdV-Burgers方程的精確解析解[J].湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2005,32(6)：118-120.

[2] 謝元喜,唐駕時.求一類非線性偏微分方程解析解的一種簡捷方法[J].物理學(xué)報,2004,53(9)：2828-2830.

[3] 張恩明.利用試探方程法求mKdV方程組的精確行波解[J].哈爾濱師范大學(xué)：自然科學(xué)學(xué)報,2007,23(3)：26-28.

[4] 閆振亞,張鴻慶.組合 Zakharov-Kuznetsov方程的顯式孤波解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2000,16(2)：31-35.

責(zé)任編輯：鐘 聲

Searching for the soliton solution toZakharov-Kuznetsovequation by means of trial function method

FENGQing-jiang,L I Yan,YANGLi-yao
(College ofMathematics,Changchun NormalUniversity,Changchun 130000,China)

The nonlinear partial differential equation is converted into algebraic equation by introducing a new transformation and using trial function method,then undeter mined coefficientmethod is used to deter mine corresponding constants.Finally,the soliton solution toZakharov-Kuznetsovequation is obtained.

combinedZakharov-Kuznetsovequation;trial function method;soliton solution

O175.2

A

1009-3907(2010)06-0008-02

2010-04-30

馮慶江(1981-),男,河北盧龍人,碩士研究生,主要從事孤立子理論方向研究。