李春彪 王翰康 陳 謖

1)(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院,南京 210007)

2)(江蘇省食品安全工程技術(shù)研究開發(fā)中心電源與系統(tǒng)部,南京 210007) 3)(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,南京 210094)

一個(gè)新的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌吸引子與電路實(shí)現(xiàn)＊

李春彪1)2)3)?王翰康2)陳 謖3)

1)(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院,南京 210007)

2)(江蘇省食品安全工程技術(shù)研究開發(fā)中心電源與系統(tǒng)部,南京 210007) 3)(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,南京 210094)

(2008年12月26日收到;2009年6月9日收到修改稿)

通過對(duì)改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步演變,并引入新的絕對(duì)值項(xiàng),發(fā)現(xiàn)了一種新的混沌吸引子.首先,通過相圖、Poincaré映射、Lyapunov指數(shù)以及功率譜,證明該混沌吸引子的存在性.接著,分析研究了這種新型混沌吸引子的基本動(dòng)力學(xué)行為.Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和狀態(tài)變量幅值演變的數(shù)值仿真說明,該系統(tǒng)存在全局線性調(diào)幅參數(shù),在該參數(shù)的調(diào)整下,系統(tǒng)輸出三維信號(hào)的幅度皆能得到線性調(diào)整,而系統(tǒng)保持相同的混沌吸引子與Lyapunov指數(shù)譜.最后,通過構(gòu)建電路實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng),觀察到相應(yīng)的混沌吸引子,也驗(yàn)證了全局線性調(diào)幅參數(shù)的調(diào)幅作用,數(shù)值仿真與電路實(shí)現(xiàn)有很好的一致性.

混沌吸引子,Lyapunov指數(shù)譜,電路實(shí)現(xiàn)

PACC:0545

1.引言

近年來,隨著人類對(duì)混沌吸引子現(xiàn)象的不斷探索,對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為和基本特性的逐步了解,混沌在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用已取得了一定進(jìn)展,并在混沌加密、保密通信、混沌雷達(dá)等領(lǐng)域成為研究熱點(diǎn)[1—4].混沌研究的內(nèi)容很多,其中重要的研究課題包括混沌信號(hào)的產(chǎn)生與處理、混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析、混沌同步、混沌電路設(shè)計(jì)及其應(yīng)用[5—7]等.混沌電路實(shí)現(xiàn)與混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)因其具有工程應(yīng)用背景和實(shí)證價(jià)值而具有更加顯著的地位,因此,現(xiàn)在許多學(xué)者在提出一個(gè)新的混沌系統(tǒng)的同時(shí),也給出正確可行的電路實(shí)現(xiàn)方案,給出電路實(shí)驗(yàn)的實(shí)際結(jié)果[8—11].

常見的Lorenz系統(tǒng)[12,13]、R?ssler系統(tǒng)[14]、Chen系統(tǒng)[15]、Lü系統(tǒng)[16—18],及其他新的混沌系統(tǒng)[8—11,19],它們的混沌特性受到系統(tǒng)任意一個(gè)參數(shù)的很大影響,參數(shù)的變更與誤差會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,使得系統(tǒng)相軌收斂于不動(dòng)點(diǎn),抑或是處于周期、擬周期甚至混沌振蕩狀態(tài)等,即便對(duì)于魯棒混沌系統(tǒng)也只是在一個(gè)相對(duì)較大的參數(shù)區(qū)間范圍保持混沌的魯棒性[20].Li等[21,22]在Colpitts系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,提出一類恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng),通過起分段線性作用的絕對(duì)值項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)非線性化.分析發(fā)現(xiàn),這類系統(tǒng)存在作用特殊的調(diào)幅參數(shù)[21,22]與倒相參數(shù)[22].在調(diào)幅參數(shù)的作用下,系統(tǒng)的部分[21]或者全部狀態(tài)變量[22]幅值線性可調(diào),系統(tǒng)保持相似的混沌吸引子與相同的Lyapunov指數(shù)譜;在倒相參數(shù)的作用下,則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)某個(gè)狀態(tài)變量的倒相放大或者衰減[22].這就省去了工程應(yīng)用中對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行同相(或者反相)放大(或者縮小)時(shí)的硬件需求,也避免了許多由于增加硬件設(shè)備而增加的工程難度、成本與故障.Li等提出的恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的混沌魯棒特性、輸出信號(hào)的幅值同相可調(diào)與反相可調(diào)特性在很大程度上滿足了工程應(yīng)用的要求.

文獻(xiàn)[23]通過添加線性項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng),對(duì)改進(jìn)的恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[22]進(jìn)行了進(jìn)一步推廣.推廣恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)通過系統(tǒng)方程中的線性項(xiàng)之不同組合,可以輸出許多有較大變異性的吸引子[23].本文對(duì)Li等提出的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[21—23]繼續(xù)進(jìn)行深入研究,在改進(jìn)系統(tǒng)[22]的基礎(chǔ)上,通過添加常數(shù)項(xiàng)與線性項(xiàng),調(diào)整與添加實(shí)現(xiàn)非線性作用的絕對(duì)值項(xiàng),進(jìn)而得到一個(gè)新的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌吸引子.該混沌吸引子具有與恒指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[21—23]不同的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),具有較大的Lyapunov指數(shù)和較平坦的頻譜,吸引子的形狀也更加奇特.進(jìn)一步構(gòu)建了此混沌系統(tǒng)的實(shí)際實(shí)現(xiàn)電路,在物理實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了該混沌吸引子的存在性,也驗(yàn)證了此恒指數(shù)譜系統(tǒng)中存在的調(diào)幅參數(shù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的調(diào)幅作用.在實(shí)現(xiàn)過程中利用三端可調(diào)輸出電壓穩(wěn)壓器對(duì)電源供電進(jìn)行統(tǒng)一管理,并通過改變電容量的數(shù)量級(jí)提高混沌信號(hào)的頻率.此混沌信號(hào)發(fā)生器系統(tǒng)的吸引子幅度可調(diào),為該電路的實(shí)際應(yīng)用同樣奠定了良好的應(yīng)用基礎(chǔ).

2.混沌模型

文獻(xiàn)[22]提出一種改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng),

當(dāng)a=3,b=0.4,c=1.62,d=3時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài),并指出全局線性調(diào)幅參數(shù)d可以線性調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)變量幅值,而系統(tǒng)保持恒定的Lyapunov指數(shù)譜.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的根本原因是由于該系統(tǒng)所呈現(xiàn)的線性化特征.分析研究發(fā)現(xiàn)[22],上述系統(tǒng)方程僅僅含有一個(gè)絕對(duì)值非線性項(xiàng),而絕對(duì)值項(xiàng)的作用又可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次線性項(xiàng)的作用.因此,系統(tǒng)狀態(tài)變量幅值的變化就與常數(shù)項(xiàng)控制器d的尺度變換相對(duì)應(yīng);同時(shí),線性化系統(tǒng)所得Jacobi矩陣中沒有出現(xiàn)常數(shù)d,故特征方程中也不會(huì)出現(xiàn)d,對(duì)應(yīng)的特征值將與d的取值無關(guān),所以d不影響系統(tǒng)在相空間上各點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)特性,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜相對(duì)于d保持不變.根據(jù)這一分析可以推斷,在改進(jìn)系統(tǒng)上添加新的線性項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng),改變系統(tǒng)方程中的絕對(duì)值項(xiàng)或者添加新的絕對(duì)值項(xiàng),一定可以類似得到具有恒定Lyapunov指數(shù)譜的新的混沌吸引子.為此,仿照推廣混沌系統(tǒng)[23],在改進(jìn)混沌系統(tǒng)[22]方程的右邊補(bǔ)齊線性項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng),同時(shí)對(duì)系統(tǒng)方程第一維的絕對(duì)值項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整,并在第二維增加

圖1 奇怪吸引子在相平面上的投影 (a)x-y平面,(b)x-z平面,(c)y-z平面

新的絕對(duì)值項(xiàng),得到如下系統(tǒng):

當(dāng)上述系統(tǒng)參數(shù)a=0.4,b=0.4,c= 1.62,d=1,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4, n=-0.05時(shí),系統(tǒng)(2)呈現(xiàn)混沌狀態(tài),其混沌吸引子如圖1所示,這是一種非常奇特的吸引子; Poincaré映射如圖2所示;圖3所示分別為該混沌系統(tǒng)輸出的混沌信號(hào)和相應(yīng)的功率譜.同樣利用Jacobi方法,計(jì)算得到系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為L(zhǎng)E1=0.1511,LE2=-0.0048,LE3=-0.6463,相比于只是含有一個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的混沌系統(tǒng)而言,此含有兩個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)明顯較大,超過0.15.計(jì)算得到Lyapunov維數(shù)為dL=2.2264,也證明該系統(tǒng)的維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù).系統(tǒng)相軌跡圖、Poincaré映射、頻譜圖以及系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)和分?jǐn)?shù)維等一致說明,當(dāng)系統(tǒng)取上述參數(shù)時(shí),該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng);且相比于改進(jìn)混沌系統(tǒng)[22]和推廣混沌系統(tǒng)[23],該系統(tǒng)具有更復(fù)雜的吸引子,具有更大的Lyapunov指數(shù)和更平坦的頻譜特性.

圖2 在z=-0.5截面上的Poincaré映射

圖3 系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號(hào)與功率譜 (a)產(chǎn)生的混沌信號(hào)y(t),(b)信號(hào)y(t)的功率譜 (f代表頻率,F代表信號(hào)的幅值)

3.混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析

3.1.基本動(dòng)力學(xué)特性分析

由于系統(tǒng)(2)的第一維與第三維狀態(tài)方程中都包含絕對(duì)值項(xiàng),故當(dāng)a,b,c,d,g,h,m,n取合適的值時(shí),系統(tǒng)存在4個(gè)平衡點(diǎn)分別為

當(dāng)a=0.4,b=0.4,c=1.62,d=1,g= -0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05時(shí),系統(tǒng)(2)就存在四個(gè)平衡點(diǎn)分別為

這一點(diǎn)有別于改進(jìn)系統(tǒng)(1),因?yàn)楦倪M(jìn)系統(tǒng)只有兩個(gè)平衡點(diǎn).增加的絕對(duì)值項(xiàng)使得新系統(tǒng)具有了新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).將系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)處線性化,Jacobi矩陣為

由Jacobi矩陣所對(duì)應(yīng)的特征方程可求得各個(gè)平衡點(diǎn)的特征根.對(duì)于平衡點(diǎn)S1,特征根為

對(duì)于平衡點(diǎn)S2,特征根為

對(duì)于平衡點(diǎn)S3,特征根為

對(duì)于平衡點(diǎn)S4,特征根為

可見,對(duì)于平衡點(diǎn)S1與S4,其所對(duì)應(yīng)的特征根λ3為正實(shí)根,而λ1和λ2是一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,故平衡點(diǎn)S1與S4是不穩(wěn)定的,皆為三維空間中的鞍點(diǎn).對(duì)于平衡點(diǎn)S2與S3,其所對(duì)應(yīng)的特征根λ3為負(fù)實(shí)根,而λ1和λ2是一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根,平衡點(diǎn)S2與S3也是不穩(wěn)定的,是鞍焦點(diǎn).

3.2.Lyapunov指數(shù)譜與調(diào)幅性能分析

分析Jacobi矩陣(3),其中的符號(hào)函數(shù)屏蔽了x,z坐標(biāo)的具體取值,而只是保留了x,z坐標(biāo)的極性信息.所以無論對(duì)于哪個(gè)平衡點(diǎn)(x,z有四種正負(fù)組合),d都不在其特征方程中.因此,d與平衡點(diǎn)處的特征值取值無關(guān).同樣的道理,d也與相空間其他點(diǎn)處的特征值取值無關(guān),故d與系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)的取值無關(guān),系統(tǒng)相對(duì)于這一參數(shù)將保持不變的Lyapunov指數(shù)譜.不妨將系統(tǒng)的初始值設(shè)定為(0, 0,0),固定參數(shù)a=0.4,b=0.4,c=1.62,g= -0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05,系統(tǒng)相對(duì)于常數(shù)項(xiàng)控制器d的Lyapunov指數(shù)譜如圖4 (a)所示.由圖4(a)可見,當(dāng)常數(shù)項(xiàng)控制器增益d在正實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)調(diào)整時(shí),混沌系統(tǒng)(2)保持混沌狀態(tài),且具有近似不變的Lyapunov指數(shù)譜,約是LE1=0.1511,LE2=-0.0048,LE3=-0.6463.Lyapunov指數(shù)譜的實(shí)際計(jì)算會(huì)受到計(jì)算精度和系統(tǒng)初始值的影響而圍繞固定值上下起伏,這是正?，F(xiàn)象,與前面的理論分析并不矛盾.

雖然混沌系統(tǒng)(2)含有兩個(gè)絕對(duì)值項(xiàng),仍可仿照改進(jìn)混沌系統(tǒng)[22]作線性變換,即令x=kx＊, y=ky＊,z=kz＊,從而得到

從(4)式亦可知,混沌系統(tǒng)三個(gè)狀態(tài)變量的線性演變與常數(shù)項(xiàng)控制器增益d的尺度變化相對(duì)應(yīng).因此,系統(tǒng)(2)的常數(shù)項(xiàng)控制器d能夠線性調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)變量的演變幅值,也就是新混沌系統(tǒng)仍然存在全局線性調(diào)幅參數(shù)d.固定參數(shù)a=0.4,b=0.4,c= 1.62,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05不變,改變常數(shù)項(xiàng)控制器增益d時(shí)的分岔圖、信號(hào)幅值變化情況曲線如圖4(b)—(d)所示,證明了常數(shù)項(xiàng)控制器增益d的全局線性調(diào)幅作用.

固定d=1,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4, n=-0.05不變,利用數(shù)值仿真手段,分析系統(tǒng)其他幾個(gè)參數(shù)變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜,如圖5所示.由圖5可知,當(dāng)b=0.4,c=1.62,a在區(qū)間[0.37, 0.52]改變時(shí),系統(tǒng)為混沌狀態(tài)的參數(shù)a區(qū)間為[0.37,0.41];當(dāng)a=0.4,c=1.62,b在區(qū)間[0.35,0.95]改變時(shí),系統(tǒng)為混沌狀態(tài)的參數(shù)b區(qū)間為[0.39,0.5];當(dāng)a=0.4,b=0.4,c在區(qū)間[1.07,1.67]改變時(shí),系統(tǒng)為混沌狀態(tài)的參數(shù)c區(qū)間為[1.525,1.625].同樣,系統(tǒng)變幅參數(shù)d的正實(shí)數(shù)可調(diào)區(qū)間,以及參數(shù)a,b,c的較寬混沌區(qū)間,保證了該混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用價(jià)值,因?yàn)楦鶕?jù)這些參數(shù)可以設(shè)計(jì)合適的混沌電路,并保證該電路輸出混沌信號(hào)的魯棒調(diào)幅.

圖4 混沌系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜與信號(hào)幅度變化情況 考察區(qū)間d∈[0.1,10.1].(a)Lyapunov指數(shù)譜, (b)y-d分岔圖(Poincaré截面為x=0),(c)z-d分岔圖(Poincaré截面為x=0),(d)參數(shù)d變化下的信號(hào)幅值變化曲線

圖5 混沌系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜 (a)b=0.4,c=1.62,a∈[0.37,0.52];(b)a=0.4,c=1.62,b∈[0.35,0.95];(c)a=0.4,b=0.4,c∈[1.07,1.67]

4.電路實(shí)現(xiàn)

圖6為混沌系統(tǒng)(2)的電路實(shí)現(xiàn)原理圖,三路模擬運(yùn)算電路組成了該電路的基本框架,每路運(yùn)放電路分別實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)(2)中的狀態(tài)變量x(t), y(t),z(t).圖6中由運(yùn)放與二極管連接成的反饋電路完成絕對(duì)值運(yùn)算,其他運(yùn)算放大器及其外圍電路用來實(shí)現(xiàn)加、積分、反相運(yùn)算等,這里運(yùn)放構(gòu)成了混沌信號(hào)產(chǎn)生電路的核心器件.根據(jù)電路容易建立如下方程:

圖6 混沌系統(tǒng)(2)的電路實(shí)現(xiàn)原理圖

根據(jù)系統(tǒng)特點(diǎn),為使參數(shù)取值為a=0.4,b= 0.4,c=1.62,g=-0.05,h=-0.25,m= 0.4,n=-0.05,同時(shí)盡可能使得元件參數(shù)與實(shí)際元件標(biāo)稱值接近,這里統(tǒng)一選取C1=C2=C3= 1μF,R5=R10=R17=20 kΩ,R4=R9=R16=390 Ω;另外針對(duì)系數(shù)不同選取R1=R32=12.037 kΩ, R2=R28=R29=19.5 kΩ,R3=R8=R15=R26= 48.75 kΩ,R24=R27=390 kΩ,R25=78 kΩ,R13= R14=15.6 kΩ.設(shè)置所有的反相器的電阻都是1 kΩ.將這組參數(shù)代入到電路方程,可以驗(yàn)證,得到的電路數(shù)學(xué)方程與混沌系統(tǒng)(2)的數(shù)學(xué)表達(dá)式完全一致.V1,V2,V3的值的大小直接決定了d的大小,也決定了吸引子的大小.當(dāng)V1=V2=V3=1 V時(shí),d=1.

為了獲得大的動(dòng)態(tài)電壓工作范圍,在實(shí)際實(shí)驗(yàn)電路中,如圖7所示,選擇LM741作為實(shí)驗(yàn)電路中的運(yùn)放,這種運(yùn)放雙電源供電,供電電壓可以達(dá)到±22 V,且在正負(fù)兩極有著較大的動(dòng)態(tài)工作范圍,差分輸入電壓可達(dá)±30 V,任意單端輸入電壓可達(dá)±15 V,如此將便于觀察、驗(yàn)證全局線性調(diào)幅參數(shù)d線性調(diào)整系統(tǒng)輸出混沌信號(hào)幅值演變的作用與效果.對(duì)照原理圖,發(fā)現(xiàn)實(shí)際實(shí)驗(yàn)電路中的運(yùn)放是14個(gè)而不是12個(gè),這是因?yàn)榇穗娐奉~外用兩個(gè)運(yùn)放使-|y|也能實(shí)現(xiàn),以使系統(tǒng)具有更多的驗(yàn)證功能和演變靈活性.

當(dāng)然,采用上述元件參數(shù)所實(shí)現(xiàn)的電路混沌信號(hào)頻率不足1 Hz,一般的模擬示波器很難清楚顯示混沌信號(hào)的波形,為提高頻率,這里同樣將電容減小[22].在實(shí)際電路中,如圖7的左上角所示,將電容1μF的C1,C2,C3,調(diào)整為C1=C2=C3=1000 pF,也就是將頻率放大為原來的k=1000倍,同時(shí)調(diào)整V1=V2=V3=d至同一合適的水平(d的大小決定了信號(hào)幅值與吸引子的大小,影響測(cè)量效果),利用示波器TDS2022B可以清晰觀察到連續(xù)而穩(wěn)定的混沌波形,如圖8所示.且通過Hanning窗觀察到的信號(hào)頻譜也與數(shù)值仿真結(jié)果一致,也能在示波器上觀察到與數(shù)值仿真一致的混沌吸引子,如圖9所示.容易證明,當(dāng)所有電容都縮小為原來的1/k,其他參數(shù)都不作改變時(shí),電路的系統(tǒng)方程變?yōu)橄到y(tǒng)表達(dá)式(2)與(6)比較顯示,系統(tǒng)狀態(tài)變量變化的速度提高到了原來的k倍.

圖7 系統(tǒng)(2)的實(shí)際實(shí)驗(yàn)電路

圖8 實(shí)驗(yàn)電路輸出信號(hào)及其頻譜 (a)波形圖,橫坐標(biāo)25 ms/diV,縱坐標(biāo)1 V/diV;(b)頻譜圖,橫坐標(biāo)500 Hz/diV,縱坐標(biāo)10 dB/diV

圖9 電路實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的混沌吸引子 每格1 V電壓.(a)x-y平面投影,(b)x-z平面投影,(c)y-z平面投影

對(duì)于上述實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)(見圖7),還需要說明的是: 1)由于運(yùn)放μA741管腳配置與運(yùn)放LM741兼容,且有同樣大的供電電壓與輸入信號(hào)電壓動(dòng)態(tài)范圍,因此兩者可以選擇互用.2)采用三端可調(diào)正輸出電壓穩(wěn)壓器LM317與三端可調(diào)負(fù)輸出電壓穩(wěn)壓器LM337,目的是簡(jiǎn)化電路的電壓供給,統(tǒng)一電源的管理.LM317正輸出電壓可穩(wěn)定在1.2—37 V之間,而LM337負(fù)輸出電壓可穩(wěn)定在-1.2—37 V之間.每個(gè)穩(wěn)壓器電路配套一個(gè)電位器,只要選擇合適的電位器,就可以將輸出電壓調(diào)整到相應(yīng)的值.實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)需要±22 V兩個(gè)電壓給運(yùn)放供電,需要+V1, -V2,-V3來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)方程中的常數(shù)項(xiàng)+d,-d,-d(當(dāng)然,也可以將后面的兩個(gè)-d用同一個(gè)電源供電,這里分開處理是為了便于更多驗(yàn)證),故共需2個(gè)正輸出電壓穩(wěn)壓器LM317和3個(gè)負(fù)輸出電壓穩(wěn)壓器LM337,并配以5個(gè)電位器,如圖7所示.3)為了取得好的實(shí)驗(yàn)效果,實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中絕對(duì)值運(yùn)算電路采用的二極管最好是結(jié)電容很小且正向壓降很小的點(diǎn)接觸型鍺管.當(dāng)然,將d提高,即將可調(diào)電壓V1=V2=V3同時(shí)調(diào)高也可以減少二極管導(dǎo)通電壓門限給絕對(duì)值運(yùn)算帶來的影響[22].

為了驗(yàn)證混沌系統(tǒng)(2)的全局線性調(diào)幅參數(shù)d的恒Lyapunov指數(shù)譜調(diào)幅作用,在實(shí)驗(yàn)電路中同步調(diào)整可調(diào)電壓V1,V2,V3(V1=V2=V3=d),這等價(jià)于調(diào)整電壓轉(zhuǎn)換電路中相應(yīng)的可調(diào)電位器.實(shí)驗(yàn)證明,調(diào)整電位器,調(diào)大調(diào)幅參數(shù)d,便能看到系統(tǒng)輸出的混沌吸引子也在增大.如圖10所示,混沌吸引子的形狀保持不變,只是大的吸引子顯得更加飽滿一些,末梢顯得突出一點(diǎn).調(diào)整過程中,必須注意運(yùn)算放大器的工作電壓范圍和飽和特性,d不能過大.

圖10 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的增大的混沌吸引子 每格1 V電壓.(a)x-y平面投影,(b)x-z平面投影,(c)y-z平面投影

5.結(jié) 論

圍繞改進(jìn)的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[22],通過在系統(tǒng)方程中補(bǔ)齊線性項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)[23],并調(diào)整與添加非線性項(xiàng),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的更復(fù)雜的混沌吸引子.新的混沌系統(tǒng)具有4個(gè)平衡點(diǎn),與原恒指數(shù)譜系統(tǒng)具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).文章分析了該混沌系統(tǒng)的指數(shù)譜特性與調(diào)幅特性,并分析了其他參數(shù)演變時(shí)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路,并在PCB板上完成了實(shí)際實(shí)驗(yàn)電路,實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng).在物理實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到了混沌波形、頻譜與新奇的混沌吸引子,并驗(yàn)證了調(diào)幅參數(shù)的實(shí)際調(diào)幅作用,電路實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真之間具有很好的一致性.新的含有兩個(gè)絕對(duì)項(xiàng)的恒指數(shù)譜、幅度可調(diào)混沌系統(tǒng)對(duì)于超混沌恒指數(shù)譜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)具有重要的參考價(jià)值.

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PACC:0545

A novel chaotic attractorwith constantLyapunov exponent spectrum and its circuit implementation＊

Li Chun-Biao1)2)3)?Wang Han-Kang2)Chen Su3)

1)(Department of Engineering Technology,Jiangsu Institute of Econom ic&Trade Technology,Nanjing 210007,China)
2)(Department of Electric Source and System,Jiangsu Research&Development Center of Food Safety Engineering Technology,Nanjing 210007,China)
3)(School of Electronic Engineering and Optoelectronic Techniques,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

26 December 2008;revised manuscript

9 June 2009)

Based on the further evolvement of the improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum,by introducing an absolute term in the dynamic equation,a novel chaotic attractor is found in this paper.Firsty,the existence of chaotic attractor is verified by simulation of phase portrait,Poincarémapping,and Lyapunov exponent spectrum. Secondly,the basic dynamical behaviour of the new system is investigated and expounded.Simulation of Lyapunov exponent spectrum,bifurcation diagram and numerical analysis on amplitude evolvement of state variables show that the state variables of the chaotic system can be modified linearly by a global linear amplitude adjuster while the Lyapunov exponent spectrum keeps on stable and the chaotic attractor displays the same phase portrait.Finally,an analog circuit is designed to implement the new system,the chaotic attractor is observed and the action of global linear amplitude adjuster is verified,all of which show a good agreement between numerical simulation and experimental results.

chaotic attractor,Lyapunov exponent spectrum,circuit implementation

＊江蘇省“青藍(lán)工程”(批準(zhǔn)號(hào):蘇教師[2008]30號(hào))和航空基金(批準(zhǔn)號(hào):2009ZC52038)資助的課題.

?E-mail:goontry@126.com

＊Project supported by Qing Lan Project of Jiangsu Province,China(Grant No.[2008]30)and the Aeronautical Science Foundation of China (GrantNo.2009ZC52038).

?E-mail:goontry@126.com