李向正 張衛(wèi)國(guó) 原三領(lǐng)

1)(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

2)(河南科技大學(xué)理學(xué)院,洛陽(yáng) 471003)

LS解法和Fisher方程行波系統(tǒng)的定性分析＊

李向正1)2)?張衛(wèi)國(guó)1)原三領(lǐng)1)

1)(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

2)(河南科技大學(xué)理學(xué)院,洛陽(yáng) 471003)

(2009年4月16日收到;2009年6月26日收到修改稿)

提出了求解非線性發(fā)展方程的新方法——LS解法.LS解法是基于(G’/G)展開法和擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)展開法.并引入了Poincaré定性理論的思想,然后以Fisher方程為例進(jìn)行了試驗(yàn).通過定性分析首先獲得了Fisher方程行波系統(tǒng)積分曲線的性質(zhì),然后解得了Fisher方程作為耗散系統(tǒng)時(shí)單調(diào)減少的波前解和作為擴(kuò)張系統(tǒng)時(shí)單調(diào)遞增的波前解.一些試驗(yàn)結(jié)果與Ablowitz所得結(jié)果一致.也得到了Fisher方程作為擴(kuò)張系統(tǒng)時(shí)的新結(jié)果.LS解法是在定性理論指導(dǎo)下,在已獲知解曲線性質(zhì)的情況下進(jìn)行精確求解的,求解目標(biāo)明確.LS解法揭示了線性系統(tǒng)也可以用作輔助方程來求解非線性系統(tǒng).

Fisher方程,行波解,定性分析,LS解法

PACC:0340K,0420J,0547

1.引言

非線性發(fā)展方程(NEE)的精確解(如行波解)具有重要的物理意義和數(shù)學(xué)意義,它涉及了數(shù)學(xué)中幾乎所有主流分支,吸引了一大批當(dāng)代前沿物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家對(duì)其進(jìn)行研究[1—18].使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論及方法解決重要的物理問題是理論物理前沿研究的主流[19—23].由于NEE個(gè)性突出,求解NEE是困難而具有挑戰(zhàn)性的工作,目前沒有統(tǒng)一的求解方法.近年來,多種獲取NEE精確解的方法被陸續(xù)提出,如反散射方法[18]、Hirota方法[24]、Lamb’sAnsatz方法[25]、齊次平衡方法[1,2,26]、Jacobi橢圓函數(shù)展開方法[5]、雙曲正切函數(shù)展開法[27]及其擴(kuò)展方法[26]、F展開法[28—31]、線性化解法[32]、(G′/G)-展開法[33—36]等.值得指出的是,擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)展開法、F展開法和線性化解法屬于輔助常微分方程方法[16,37,38](簡(jiǎn)稱sub-ODE方法[37]),其要點(diǎn)在于能夠?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的非線性偏微分方程的行波解表示成簡(jiǎn)單、可解的常微分方程(ODE)解的多項(xiàng)式,這個(gè)ODE稱為sub-ODE.函數(shù)展開方法和輔助方程方法均將NEE的求解問題轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組的求解問題.非線性代數(shù)方程組(或稱多元多項(xiàng)式方程組)的求解是非線性科學(xué)中最基本的問題之一.吳文俊消元法為非線性代數(shù)方程組的求解建立了完整的理論,提供了有效的算法[39,40].

求解NEE的方法都有它的適用范圍.Pavel等[41]指出反散射方法、Hirota方法和Lamb’s Ansatz方法對(duì)于帶有耗散項(xiàng)的系統(tǒng)不適用.劉式適等[5]指出,齊次平衡方法、雙曲正切函數(shù)展開法及其擴(kuò)展方法等無法獲得非線性波動(dòng)方程的周期解,為此提出的Jacobi橢圓函數(shù)展開方法解決了求周期解的問題.一種方法對(duì)某類問題失效的時(shí)候,正是該方法發(fā)展或新方法產(chǎn)生的契機(jī).

19世紀(jì)初Abel和Galois已經(jīng)證明了5次及5次以上的多項(xiàng)式一般不能用根式求解.1841年,在Abel的思想基礎(chǔ)上,Liouville證明了一般Riccati方程不能用積分法求解[42,43].這從理論上結(jié)束了人們對(duì)一般常微分方程求通解的努力,一方面促使人們研究常微分方程的可積性,使此后常微分方程的可積性理論得到了較系統(tǒng)的發(fā)展;另一方面,它更促使人們?nèi)ふ倚碌耐緩胶托路椒?從給定微分方程本身可提供的信息來研究其解的性質(zhì).Poincaré開創(chuàng)的常微分方程定性理論就是在分析與幾何工具的幫助下,從微分方程本身提供的信息出發(fā),幾何地反映出解曲線的性質(zhì)[44—48].常微分方程定性理論中的非線性動(dòng)力系統(tǒng)和分支理論對(duì)物理問題的研究起到了重要作用[49—53].中國(guó)在定性理論的研究方面居于世界前列[44,54—57].

NEE經(jīng)行波約化后轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程(NODE),因而求NEE的行波解實(shí)際上是求解NODE.在利用定性理論分析精確行波解的動(dòng)力學(xué)行為,判斷精確行波解如何依賴于系統(tǒng)的參數(shù)條件,并選擇合適的方法求出重要的行波解方面, Pavel等[41]、李繼彬等[11]、張衛(wèi)國(guó)等[58]和馮兆生[59]已做了一些開拓性的工作.Pavel等[41]利用定性理論分析了平方Fisher方程的靜態(tài)解,給出了一些近似解.李繼彬等[11]用相平面方法深入研究了一個(gè)非線性色散可積偏微分方程的孤波解和周期波解及其存在的條件,并給出了部分精確解.張衛(wèi)國(guó)等[58]利用Lienard方程給出了幾個(gè)判定非線性演化方程孤波解的公式,借助該判別方法和解公式求解了幾個(gè)著名的非線性演化方程.馮兆生[59]利用常微分方程定性理論分析了近似Sine-Gordon方程,并利用首次積分法進(jìn)行了求解.

研究數(shù)學(xué)物理方程的中心內(nèi)容是求各類定解問題的解并研究解的性質(zhì),使我們對(duì)其所描述的自然現(xiàn)象或過程有更深入的認(rèn)識(shí)[6].數(shù)學(xué)物理方程的解法的選取隨定解問題的不同而有所調(diào)整.既然Poincaré定性理論能夠根據(jù)微分方程提供的信息判斷積分曲線的性質(zhì),我們可以根據(jù)獲得的積分曲線的性質(zhì)選擇解法或構(gòu)造新的解法,并構(gòu)造解的Ansatz形式.對(duì)固定奇點(diǎn)附近解的性態(tài)的研究,將有助于掌握方程解的全局性質(zhì).通過方程的固定奇點(diǎn)的解通常與其臨近的其他解具有不同的解析性質(zhì)和拓?fù)湫再|(zhì),有其特殊意義[60].在不動(dòng)點(diǎn)附近,線性項(xiàng)是主項(xiàng),經(jīng)常決定非線性方程在不動(dòng)點(diǎn)附近的性態(tài)[61],如線性系統(tǒng)常用來確定不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性.

受上述思路啟發(fā),我們將對(duì)NEE的行波解進(jìn)行定性分析,并提出NEE的LS解法.所謂LS解法就是經(jīng)過對(duì)非線性系統(tǒng)作Poincaré定性分析后,根據(jù)獲得的積分曲線的性質(zhì),選擇對(duì)應(yīng)的平面線性自治系統(tǒng),再利用該平面線性自治系統(tǒng)向徑的斜率,根據(jù)齊次平衡原則來構(gòu)造NEE的行波解.LS解法的關(guān)鍵在于一是選擇線性平面自治系統(tǒng)做輔助,二是利用平面線性自治系統(tǒng)向徑的斜率來構(gòu)造解.因而我們抽取“線性”和“斜率”這兩個(gè)關(guān)鍵詞來命名LS解法.

下面以平方Fisher方程為例來進(jìn)行定性分析并展示LS解法的思想.

2.Fisher方程背景簡(jiǎn)介及研究進(jìn)展

反應(yīng)擴(kuò)散方程涉及的大量問題來自物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)中眾多的數(shù)學(xué)模型,具有豐富的實(shí)際背景,其中著名的反應(yīng)擴(kuò)散方程之一是Fisher方程[62—67]

這類方程建立了人口中有利基因的傳播以及調(diào)節(jié)單雙分子化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)模型,其中D,a,b是非負(fù)系數(shù).Fisher方程被廣泛應(yīng)用于人口增長(zhǎng)模型、熱傳導(dǎo)、神經(jīng)生理學(xué)、自身催化的化學(xué)反應(yīng)、布朗運(yùn)動(dòng)過程和核反應(yīng)理論.Fisher方程還可用來描述流體力學(xué)、等離子體物理和傳染病傳播等問題中的非線性現(xiàn)象[64].更多有關(guān)Fisher方程的信息參見文獻(xiàn)[41,65,66].

本文考慮正規(guī)化Fisher方程[67,68]

在化學(xué)媒介中函數(shù)u(x,t)指反應(yīng)物濃度,因而u(x, t)≥0.作為描述人口中有利基因傳播的動(dòng)力學(xué)模型[62],Fisher于1937年提出Fisher方程.直到1979年,Ablowitz和Zeppetella[67]首先注意到Fisher方程(1)具有Painleve性質(zhì),然后他們利用Laurent展開獲得了方程(1)的一個(gè)精確行波解.文獻(xiàn)[63]將有限差分方法和配置法相結(jié)合給出了Fisher方程的數(shù)值解.文獻(xiàn)[64]用待定系數(shù)法得到了Fisher方程的新的行波解及行波波速.文獻(xiàn)[41,65—67]均只考慮了Fisher方程波速c>0的耗散系統(tǒng),而沒有考慮c<0的擴(kuò)張系統(tǒng)[68].

3.Fisher方程行波約化和對(duì)應(yīng)的行波系統(tǒng)

我們要尋找Fisher方程(1)的行波解

其中常數(shù)c為波速.將(2)式代入方程(1)得q滿足的常微分方程

方程(3)為L(zhǎng)ienard方程.令y1=q,˙y1=y2,則方程(3)等價(jià)于系統(tǒng)

設(shè)V=(˙y1,˙y2),則散度當(dāng)c=0時(shí),divV=0,Fisher方程(1)為保守系統(tǒng);當(dāng)c>0時(shí),divV<0,Fisher方程(1)為耗散系統(tǒng);當(dāng)c< 0時(shí),divV>0,Fisher方程(1)為擴(kuò)張系統(tǒng).當(dāng)物質(zhì)反應(yīng)產(chǎn)生后向外擴(kuò)散時(shí),反應(yīng)物濃度將單調(diào)遞增,因而研究Fisher方程(1)作為擴(kuò)張系統(tǒng)時(shí)單調(diào)遞增的波前解也具有重要的意義.

4.系統(tǒng)(4)的奇點(diǎn)及其類型判定

系統(tǒng)(4)有兩個(gè)有限奇點(diǎn)(0,0),(1,0).根據(jù)常系數(shù)線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的參數(shù)判定法和Perron定理[44],(1,0)點(diǎn)不論c取何值始終為鞍點(diǎn);當(dāng)c>2時(shí),(0,0)點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);當(dāng)c=2時(shí),(0,0)點(diǎn)是穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn);當(dāng)0

根據(jù)中心-焦點(diǎn)判定中的對(duì)稱原理[44],當(dāng)c=0時(shí),(0,0)點(diǎn)是中心.

考慮到Fisher方程(1)的物理意義,要求濃度q≥0,因而(0,0)點(diǎn)不能為焦點(diǎn).波速c=0時(shí)Fisher方程表示靜態(tài)解的變化,因而我們也不考慮(0,0)點(diǎn)為中心的情況.

無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)及特殊分界線有助于我們分析系統(tǒng)有限區(qū)域的動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)(4)經(jīng)Poincaré變換(y1,y2)=(1/z,u/z)后不存在(u＊,0)型的奇點(diǎn),而經(jīng)變換(y1,y2)=(v/z,1/z)后所得系統(tǒng)中D(0, 0)點(diǎn)為L(zhǎng)yapunov型奇點(diǎn)中的結(jié)點(diǎn).z=0為Poincaré變換后所得系統(tǒng)的解.

5.系統(tǒng)(4)的特殊積分曲線及LS解法

顯然,系統(tǒng)(4)的奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)平衡解(y1,y2)= (0,0)和(y1,y2)=(1,0),而y1=0(y2軸)和y2=0 (y1軸)不是解.

從前面的定性分析可知,系統(tǒng)(4)當(dāng)參數(shù)c≤-2時(shí)存在連結(jié)(0,0)點(diǎn)和(1,0)點(diǎn)的y2>0的有界軌線,當(dāng)參數(shù)c≥2時(shí)存在連結(jié)(1,0)點(diǎn)和(0,0)點(diǎn)的y2<0的有界軌線.我們用LS解法來試驗(yàn)求解這兩類有界軌線.

根據(jù)齊次平衡原則[1,2,26,28—36],設(shè)系統(tǒng)(4)有如下形式的解:

其中k=z2/z1,z1,z2滿足平面線性自治系統(tǒng)

(5),(6)式中μ>0為待定常數(shù),線性系統(tǒng)(6)的解易于求出,其奇點(diǎn)(0,0)為鞍點(diǎn)類型,系統(tǒng)(6)中軌線向徑的斜率k為

其中A1,A2為任意常數(shù).

將(5)式代入系統(tǒng)(4)中,利用(6)式可知(4a)式自動(dòng)成立,(4b)式變成關(guān)于k的多項(xiàng)式方程,令k的各冪次項(xiàng)的系數(shù)等于0,得到關(guān)于a0,a1,a2,c和μ的代數(shù)方程組(n代表k的冪次)

解上述方程組得四組解

將(8a)—(8d)四組解分別代入(5)式,結(jié)合(7)式可得到系統(tǒng)(4)的精確行波解

其中

若取A =0,即得

其中

若取A2=0則得

(y1,y2)6對(duì)應(yīng)的解2與文獻(xiàn)[67]中的結(jié)果一致.

當(dāng)c=56/6時(shí),系統(tǒng)(4)作為耗散系統(tǒng)存在有界精確解(0,0),(1,0)和(y1,y2)6,其中(y1,y2)6為從奇點(diǎn)(1,0)運(yùn)動(dòng)到奇點(diǎn)(0,0)的有界軌線.

當(dāng)c=-5 6/6時(shí),系統(tǒng)(4)作為擴(kuò)張系統(tǒng)存在有界精確解(0,0),(1,0)和(y1,y2)4,其中(y1,y2)4為從奇點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到奇點(diǎn)(1,0)的有界軌線.

6.結(jié)論

本文提出了新的求解平面自治系統(tǒng)的LS解法,并將其融入Fisher方程行波解的定性分析之中,研究了Fisher方程行波解的豐富的動(dòng)力學(xué)行為.LS解法利用線性平面自治系統(tǒng)向徑的斜率來構(gòu)造非線性平面自治系統(tǒng)的解,這是此方法的新穎之處.在定性理論中,線性自治系統(tǒng)可以用于判斷奇點(diǎn)的類型,還可以用于確定不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性.LS解法進(jìn)一步揭示了一些線性自治系統(tǒng)也可以用作輔助方程來求解非線性自治系統(tǒng).而線性平面自治系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)及解的情況已是眾所周知的知識(shí).LS解法中用于輔助的線性平面自治系統(tǒng)如何選取,要依賴于對(duì)非線性平面自治系統(tǒng)的定性分析,這方面的工作今后值得進(jìn)一步研究.LS解法所得到的精確解仍是有限的,因而對(duì)Fisher方程的求解需引入更多的求解方法.

感謝王明亮教授和張金良教授對(duì)本文工作提出了建設(shè)性意見.

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PACC:0340K,0420J,0547

LS method and qualitative analysis of traveling wave solut ions of Fisher equation＊

Li Xiang-Zheng1)2)?ZhangWei-Guo1)Yuan San-Ling1)

1)(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)
2)(College of Science,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471003,China)

16 April 2009;revised manuscript

26 June 2009)

LS method,a new method for solving nonlinear evolution equations,is proposed.It is based on the(G′/G)–expansion method and the extended hyperbolic tangent function method,and the Poincaré’s qualitative theory is also led in.Then Fisher equation is tested as an example.The properties of integral curves for traveling wave system of Fisher equation are obtained through qualitative analysis,and then a monotonically decreasing wave-front solution of Fisher equation as a dissipative system and a monotonically increasing wave-front solution of Fisher equation as an expansion system are obtained too.Some results agree with that ofAblowitz et al.and some new results for Fisher equation are also obtained as an expansion system.The LS method is used to look for the exact solutions under the condition that the property of solution curves have been obtained through the qualitative analysis,and the target is clear.The LSmethod also reveals that a linear system can also be used as auxiliary equations to solve nonlinear systems.

Fisher equation,traveling wave solution,qualitative analysis,LS method

＊國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):10871129)、上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):S30501)和上海市研究生創(chuàng)新基金(批準(zhǔn)號(hào): JWCXSL090114)資助的課題.

?E-mail:lylxz@mail.haust.edu.cn

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10871129),the Shanghai Leading Academic Discipline Program,China(GrantNo.S30501),and the Innovation Fund for Graduate Student of Shanghai,China(GrantNo.JWCXSL090114).

?E-mail:lylxz@mail.haust.edu.cn