顧書龍 張宏彬

1)(南京曉莊學院物理系,南京 211171)

2)(巢湖學院科研處,巢湖 238000)

Kepler方程的Noether對稱性與Hoj man守恒量＊

顧書龍1)2)?張宏彬2)

1)(南京曉莊學院物理系,南京 211171)

2)(巢湖學院科研處,巢湖 238000)

(2009年2月5日收到;2009年5月27日收到修改稿)

研究Kepler方程的Noether對稱性與Hojman守恒量.給出系統(tǒng)的運動微分方程并給出Noether對稱性的確定方程,提出Kepler方程的Noether對稱性導致的Hojman守恒量.

Kepler方程,Noether對稱性,Hojman守恒量

PACC:0320

1.引言

對稱性原理是近代分析力學中的一個更高層次的法則.對稱性理論有許多用途,其中之一就是用來尋求守恒量.自1918年Noether[1]發(fā)表了著名的論文“Invariante Variationsprobleme”后,動力學系統(tǒng)的Noether對稱性及其守恒量的研究取得了一系列重要成果并推廣為用系統(tǒng)的Lie對稱性、Mei對稱性尋找不同的守恒量[2—4].1992年,Hojman[5]利用時間不變的無限小變換下的特殊的Lie對稱性生成元直接構成動力學系統(tǒng)的守恒量,而無需系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和Noether等式.很快,這一方法得到迅速推廣,應用到各種動力學系統(tǒng)[6—14].本文將研究利用時間不變的無限小變換下的Noether對稱性尋找Kepler方程守恒量的間接方法.

2.平面Kepler系統(tǒng)的運動方程

平面Kepler系統(tǒng)的運動微分方程為

其Lagrange函數(shù)為

式中qs,˙qs為系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度,μ為常

引進Euler算子

方程(4)可簡寫成

3.無限小變換與Noether對稱性確定方程

引入時間不變的特殊的無限小變換

或其展開式

其中ε為一無限小參數(shù),ξs為無限小生成元.

Noether對稱性理論指出,對于給定的系統(tǒng)(3),如果存在規(guī)范函數(shù)GN=GN(t,q,˙q),使無限小變換(8)式的生成元ξs滿足如下Noether對稱性確定方程

其中

則相應的對稱性為Kepler系統(tǒng)(1)—(3)的Noether對稱性.數(shù).系統(tǒng)的運動滿足方程

4.Lie對稱性與Hojman守恒量[1]

在變換(8)式的特殊無限小變換下,方程(1), (2)的Lie對稱性確定方程為

其中

當存在函數(shù)u=u(t,q,q˙)滿足

則系統(tǒng)的Lie對稱性導致Hojman守恒量

5.系統(tǒng)的Noether對稱性導致Hojman守恒量

以下給出利用Kepler系統(tǒng)(1)—(3)的Noether對稱性求守恒量的間接方法.

定理 對Kepler系統(tǒng)(1)—(3),如果Noether對稱性的生成元ξs滿足方程(11),且存在某函數(shù)u=u(t,q,q˙)使得(13)式成立,則Kepler系統(tǒng)的Noether對稱性導致Hojman守恒量(14)式.

對Kepler系統(tǒng),將方程(3)代入Noether等式(9)可解得

將Kepler系統(tǒng)的微分方程(1),(2)代入Lie對稱性確定方程(11)得

顯然,Noether對稱性生成元(15)滿足方程(16).下面計算Kepler系統(tǒng)的Noether對稱性導致的Hojman守恒量.

方程(13)給出

它有如下解:

由定理,將(15)和(18)式或(19)式代入(14)式得系統(tǒng)的Noether對稱性導致的Hojman守恒量為

它是平凡的.

若取滿足(16)式的Lie對稱性生成元

將(20)和(22)式代入(14)式得系統(tǒng)的Hojman守恒量為

(23)式是非平凡的Ho jman守恒量.

6.結論

由動力學系統(tǒng)的對稱性尋找守恒量的直接方法都是利用時間不變的無限小變換下的特殊的Lie對稱性.本文給出了利用Noether對稱性尋找Kepler方程守恒量的間接方法,即由系統(tǒng)的Noether對稱性生成元(15)滿足Lie對稱性確定方程(16),可找到守恒量(23).

[1]NoetherA E 1918Nachr.Akad.W iss.M ath.Phys.2 235

[2]LutzkyM 1979J.Phys.A:Math.Gen.12 973

[3]Mei FX2004SymmetriesandConservedQuantitiesfor M echanical Systems with Constraints(Beijing:Beijing Institute Technology Press)pp12—23(in Chinese)[梅鳳翔2004約束力學系統(tǒng)的對稱性與守恒量(北京:北京理工大學出版社)第12—23頁]

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[9]Mei F X 2003Acta Phys.Sin.52 1048(in Chinese)[梅鳳翔2003物理學報52 1048]

[10]Zheng SW,Fu J L,Li X H 2005Acta Phys.Sin.54 5511(in Chinese)[鄭世旺、傅景禮、李顯輝2005物理學報54 5511]

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PACC:0320

Noether symmetry and the Ho jman conserved quantity of the Kepler equation＊

Gu Shu-Long1)2)?Zhang Hong-Bin2)

1)(Department of Physics,Nanjing Xiaozhuang College,Nanjing 211171,China)
2)(Department of Science and Technology,Chaohu College,Chaohu 238000,China)

5 February 2009;revised manuscript

27 May 2009)

The Noether symmetry and the Hojman conserved quantities of the Kepler equation are studied.The determining equations of Noether symmetry for the system are given.A theorem asserting that the Noether symmetry for the system leads to the Hojman conserved quantity is presented.

Kepler equation,Noether symmetry,Hojman conserved quantity

＊國家自然科學基金(批準號:10872037)資助的課題.

?E-mail:gs12142@sohu.com

＊Project supported by the NationalNatural Science Foundation of China(GrantNo.10872037).

?E-mail:gs12142@sohu.com