李曉春 高俊麗 劉紹娥 周科朝 黃伯云

1)(中南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410083) 2)(中南大學(xué)粉末冶金研究院,長(zhǎng)沙 410083)

無(wú)序?qū)ΧS聲子晶體平板負(fù)折射成像的影響＊

李曉春1)2)?高俊麗1)劉紹娥1)周科朝2)黃伯云2)

1)(中南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410083) 2)(中南大學(xué)粉末冶金研究院,長(zhǎng)沙 410083)

(2009年1月5日收到;2009年5月4日收到修改稿)

利用多重散射理論分析了位置無(wú)序?qū)︿?水聲子晶體負(fù)折射成像的影響.發(fā)現(xiàn)聲子晶體負(fù)折射成像與周期結(jié)構(gòu)中的方向性通路有關(guān);該方向性通路不同于一般意義上的位置波導(dǎo),它是聲子晶體周期散射的結(jié)果;通路中的障礙對(duì)成像有較大影響;隨著散射體位置無(wú)序程度的增加,周期性散射減弱,方向性通路被破壞,成像也隨之減弱,甚至消失.

聲子晶體,負(fù)折射,無(wú)序,多重散射

PACC:4320,4335

1.引言

1968年,Veselago提出了左手物質(zhì)的概念[1], 2000年,Smith等人從實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了負(fù)折射[2,3],而Pendry關(guān)于負(fù)折射介質(zhì)平板可以突破衍射極限完美成像的建議[4],更是激起了科學(xué)工作者對(duì)負(fù)折射研究的空前興趣.近年來(lái),光子晶體中的負(fù)折射現(xiàn)象也被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)證實(shí)[5,6],并進(jìn)一步地,將負(fù)折射研究推廣到了聲子晶體[7—9].傳統(tǒng)的球面透鏡不能把光/聲匯聚到小于波長(zhǎng)平方的區(qū)域內(nèi),利用負(fù)折射制成的透鏡則可以克服這個(gè)局限,而且,平板透鏡的加工精度也遠(yuǎn)高于普通的球面透鏡,因此,通過(guò)負(fù)折射實(shí)現(xiàn)平板成像的應(yīng)用前景是非常誘人的.

但是,對(duì)于負(fù)折射成像的機(jī)理目前尚無(wú)定論.負(fù)折射是作為介質(zhì)的屬性存在,還是一種特定條件下的偶然現(xiàn)象,這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有明確的答案.若負(fù)折射作為介質(zhì)的屬性存在,即存在所謂的負(fù)折射物質(zhì),那么它是否與物質(zhì)的其他屬性一樣,只與物質(zhì)的種類(lèi)有關(guān),而與物質(zhì)的結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)呢?若這樣,它應(yīng)該是均勻的、各向同性的(至少相對(duì)于入射波的波長(zhǎng)尺寸來(lái)說(shuō)是這樣的).但是,到目前為止,文獻(xiàn)[10]報(bào)道的負(fù)折射物質(zhì)是具有周期結(jié)構(gòu)的,其他報(bào)道的具有負(fù)折射現(xiàn)象的光子晶體、聲子晶體也是周期結(jié)構(gòu)的[7,8].周期結(jié)構(gòu)具有各向異性,但各向異性不是周期結(jié)構(gòu)獨(dú)有的特性.若負(fù)折射物質(zhì)只能是各向異性的介質(zhì),則各向異性的情況就太多了.而且,各項(xiàng)異性是如何導(dǎo)致負(fù)折射的,也不甚清楚.有人認(rèn)為光子晶體中的負(fù)折射現(xiàn)象是一種普通的波導(dǎo)行為,或自準(zhǔn)直效應(yīng),只是它們?cè)谛Ч媳憩F(xiàn)出負(fù)折射的特征[11].如果各向異性是形成負(fù)折射現(xiàn)象的決定因素,那么,散射,特別是周期性散射的作用何在?為此,本文通過(guò)在周期結(jié)構(gòu)中引入無(wú)序,減少結(jié)構(gòu)的各向異性,分析無(wú)序?qū)ω?fù)折射成像的影響,以期對(duì)二維聲子晶體平板成像機(jī)理進(jìn)行探討.

2.基本模型

以二維鋼/水聲子晶體為模型,鋼圓柱按正三角形方式排列在基體水中.材料參數(shù)為ρ水=1.0×103kg·m-3,cl=1.49×103m·s-1,ct=0 m·s-1;ρ鐵= 7.67×103kg-3,cl=6.01×103m·s-1,ct=3.23×103m·s-1.用多重散射方法[7]計(jì)算無(wú)限周期情況下鋼/水聲子晶體的帶結(jié)構(gòu).結(jié)果如圖1(a)所示:體系具有部分帶隙,在頻率0.65—0.98范圍,M—K方向?yàn)閹??！狹方向?yàn)橥◣?圖1(b)是對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)等頻線.負(fù)折射可以根據(jù)帶結(jié)構(gòu)和等頻線來(lái)推斷,接近圓形的等頻線能得到負(fù)折射成像[8].從圖1(b)可以看出,在頻率0.65—0.95之間,聲子晶體第二條帶中的等頻線都接近圓形,且這些等頻線隨頻率的增加朝圓心移動(dòng),在這個(gè)頻率范圍內(nèi),聲子晶體有效折射率為負(fù)值.

實(shí)際應(yīng)用的聲子晶體都是有限的.為此,以9層聲子晶體平板為模擬對(duì)象,計(jì)算聲場(chǎng)的分布.y方向單層板沿水平方向上(即x方向),按正三角形排列成9層,并置于水中.單層有44/45個(gè)散射柱體,9層板共400個(gè)柱體,柱體大小同圖1.空間上,從左到右,依次為水、平板、水.圖2給出了聲波通過(guò)9層聲子晶體平板后的透射情況,其中,lnT=ln(P/P0). P(r)為空間任意處的聲壓,P0為無(wú)平板時(shí)該處的聲壓[9],實(shí)際計(jì)算lnT時(shí),取該點(diǎn)P,P0的平均值.可以看出,圖2(a)中,0.66—0.90頻帶對(duì)應(yīng)?！狹方向的導(dǎo)帶:圖2(b)中,0.68—1.1和1.24—1.45頻帶對(duì)應(yīng)M—K方向的禁帶.這表明9層聲子晶體平板具有部分帶隙.對(duì)比圖1(a)中的Ⅰ,Ⅱ區(qū)和圖2 (b)中的Ⅰ,Ⅱ區(qū),發(fā)現(xiàn)9層平面板與無(wú)限周期情況下的帶結(jié)構(gòu)基本相同.這種一致性說(shuō)明了本文使用的有限場(chǎng)理論是合適的.圖2中的帶隙位置與圖1 (a)比較,存在些許差異,可認(rèn)為是有限層板和無(wú)限層板之間的差異造成的.

圖2 三角形排列鐵/水聲子晶體9層平板透射譜 (a)?！狹方向;(b)M—K方向(填充率F=0.403.cl為水的縱波波速)

圖3(a)給出了聲波通過(guò)9層聲子晶體平板的聲場(chǎng)分布圖.點(diǎn)聲源位于(0,0)處,沿?！狹方向穿過(guò)聲子晶體平板.從圖中可以看出:在平板內(nèi)部和平板后面都有一個(gè)像點(diǎn),其成像過(guò)程可由圖3(b)示意.對(duì)于0.685頻率的聲波,9層聲子晶體平板給出了負(fù)折射特點(diǎn)的成像.像在x方向有一定的強(qiáng)度分布,這可能與不同入射角成像位置[12]不同有關(guān),與幾何光學(xué)成像中,近軸光線和遠(yuǎn)軸光線成像會(huì)有像差是一致的.

無(wú)疑,頻率0.685附近的部分帶隙,對(duì)于此處的負(fù)折射成像起了重要作用,但?！狹方向的導(dǎo)帶是否意味著存在該方向的波導(dǎo)呢?若存在,這樣的波導(dǎo)性質(zhì)如何?為此,改變周期結(jié)構(gòu)中柱體的位置,在可能的通路上引入路障,直至引入位置的隨機(jī)無(wú)序,考察成像的變化.

圖3 9層聲子晶體負(fù)折射成像圖 (a)點(diǎn)聲源通過(guò)9層聲子晶體聲場(chǎng)分布圖;(b)成像波路示意圖(填充率F= 0.403;頻率f=0.685)

3.路障模型

由于?！狹方向?yàn)閷?dǎo)帶,在聲波可能的通路上,有針對(duì)性地設(shè)置路徑障礙.為此,將靠近x軸的,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的第2層某些柱體,向x軸移動(dòng)半個(gè)長(zhǎng)度單位(晶格常數(shù)a為一個(gè)長(zhǎng)度單位),形成通路中央障礙,考察其成像情況.圖4是幾種典型路障下的成像情況.

圖4 路障模型成像 (a)無(wú)路障規(guī)則模型;(b)兩柱體路障;(c)四柱體路障(填充率F=0.403,頻率f=0.685)

圖4表明,從規(guī)則排列到兩柱體障礙、四柱體障礙,隨著第二層形成障礙的柱體增多,成像逐漸變得模糊.近x軸、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的4個(gè)柱體(x軸上下方共8個(gè)柱體),向x軸移動(dòng)半個(gè)長(zhǎng)度單位,形成障礙后,像基本消失(見(jiàn)圖4(c)).進(jìn)一步分析表明,遠(yuǎn)離x軸的柱體移動(dòng)對(duì)像的影響不大.這可能與大角度信號(hào)在遠(yuǎn)軸處耦合進(jìn)入平板的信號(hào)較弱有關(guān).由于信號(hào)耦合進(jìn)入平板的程度不一樣,近軸信號(hào)對(duì)像的貢獻(xiàn)要遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)軸信號(hào)的貢獻(xiàn).

以上結(jié)果似乎說(shuō)明了波導(dǎo)的存在.但仔細(xì)分析,這樣的通路不同于一般的位置波導(dǎo)(通路在某個(gè)特定位置上).它更象是方向性波導(dǎo),即在某個(gè)方向上都存在通路.仔細(xì)查看圖3(a)和圖4中的像,發(fā)現(xiàn)它們都已顯示出了‘線’像的特征.這正是方向性波導(dǎo)的特點(diǎn).因?yàn)?在方向性波導(dǎo)中,對(duì)于在y方向有足夠長(zhǎng)度的聲子晶體平板,一定范圍內(nèi)的小角度入射信號(hào)耦合進(jìn)入平板的能量相差不大,這樣,不同位置同一方向的通路就會(huì)會(huì)聚成一‘線’像.隨著入射角度的增大,耦合進(jìn)入平板的能量減少,所以大角度信號(hào)對(duì)像的貢獻(xiàn)大為減少,造成‘線’的截?cái)?但是,這樣的方向性波導(dǎo)似更應(yīng)該歸于周期性散射的結(jié)果,而不同于一般意義上的位置波導(dǎo).因?yàn)橹挥兄芷谛陨⑸?才會(huì)出現(xiàn)通帶和帶隙.而部分帶隙的存在,意味著同一頻率的信號(hào),在不同方向上出現(xiàn)了導(dǎo)通和禁通的傳播差異,這就為出現(xiàn)負(fù)折射特征的成像提供了可能.因此,周期性散射及部分帶隙才是負(fù)折射特征成像的根本原因.周期性減弱,成像變差,甚至像消失.下面關(guān)于隨機(jī)無(wú)序的分析也認(rèn)證了這一點(diǎn).

4.隨機(jī)無(wú)序模型

設(shè)某柱體的原位置為r0,引入無(wú)序后,該柱體的位置變?yōu)閞=r0+δ,δ為無(wú)序平移量,亦即無(wú)序度.體系給定某個(gè)δ值后,各柱體在δ值范圍內(nèi),可向空間各個(gè)方向任意移動(dòng),具體移動(dòng)情況由隨機(jī)函數(shù)確定.δ最大取值受柱體不重疊限制,因此,低填充率系統(tǒng),δ取值范圍大.本文中的平板結(jié)構(gòu),在填充率F=0.2時(shí),對(duì)頻率f=0.7的信號(hào)也有比較好的負(fù)折射成像,見(jiàn)圖5(a).且其最大無(wú)序度(δmax= 0.265)較填充率F=0.403的體系大,更適合調(diào)查無(wú)序?qū)Τ上竦挠绊?因此,以填充率F=0.2的體系為模型,考察其9層聲子晶體平板在不同無(wú)序度下的成像情況.結(jié)果見(jiàn)圖5.

圖5 填充率F=0.2體系在不同無(wú)序度下的點(diǎn)源成像(δ為無(wú)序度,點(diǎn)源頻率f=0.7) (a)δ=0;(b)δ= 0.106;(c)δ=0.212;(d)δ=0.265

從圖5(b),(c),(d)中可以明顯看出,隨著無(wú)序程度的增加,負(fù)折射成像逐漸減弱.在最大無(wú)序δmax=0.265時(shí),圖5(d)中的像基本消失.對(duì)不同填充率體系的調(diào)查發(fā)現(xiàn):不同的填充率結(jié)構(gòu),負(fù)折射像消失的速度是不一樣的.對(duì)高、低填充率模型的比較發(fā)現(xiàn),隨著無(wú)序度增大,小填充率模型的像更容易受到破壞.這可能與小填充率模型半徑較小,無(wú)序變化幅度大,周期性結(jié)構(gòu)更容易被破壞有關(guān).

5.結(jié) 論

通過(guò)本文模型中的負(fù)折射成像研究發(fā)現(xiàn),聲子晶體中負(fù)折射特征的成像與周期性結(jié)構(gòu)和方向性帶隙有密切關(guān)系.周期性結(jié)構(gòu)導(dǎo)致導(dǎo)帶和帶隙的出現(xiàn),而部分帶隙的存在,導(dǎo)致了入射波傳播的各向異性.這種各向異性,表現(xiàn)為在晶體中出現(xiàn)一些方向性通路.這種方向性通路是周期散射的結(jié)果,方向性通路不僅與結(jié)構(gòu)的排列有關(guān),而且與插入體、基體的材料,以及材料彈性性質(zhì)有關(guān).無(wú)序結(jié)構(gòu)通過(guò)破壞結(jié)構(gòu)的周期性而影響部分帶隙,并因此影響方向性通路,進(jìn)而影響成像.隨著無(wú)序程度的增加,周期性減弱,負(fù)折射特征的成像也隨之減弱,甚至消失.材料及其結(jié)構(gòu)的周期性散射是負(fù)折射成像的主要原因.針對(duì)帶隙材料,設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)闹芷诮Y(jié)構(gòu)和部分帶隙,可以實(shí)現(xiàn)在某些頻段的負(fù)折射特征的平板成像.

[1]Veselago V G1968Sov.Phys.Usp.10 509

[2]Smith D R,Padilla WJ,Vier D C,Nemat-Nasser S C,Schultz S 2000Phys.Rev.Lett.84 4184

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PACC:4320,4335

Disorder effect on the focus image of phononic crystal panel with negative refraction＊

Li Xiao-Chun1)2)?Gao Jun-Li1)Liu Shao-E1)Zhou Ke-Chao2)Huang Bo-Yun2)

1)(School of Physics and Technology,Central South University,Changsha 410083,China)
2)(Powder Metallurgy Research Institute,Central South University,Changsha 410083,China)

5 January 2009;revised manuscript

4 May 2009)

By multiple-scattering theory(MST),disorder effect on the focus image in steel/water phononic crystal panel with negative refraction was investigated.It wasfound that sonic waves within certainfrequency range can propagate along certain directions in periodic crystal andform a focus image with negative refraction characteristics.These directional pathways dependon the periodic scattering in the crystal and are different from the ordinary positional guide.Obstacles in pathways have a deep influence on the focus image.With the increasing of degrec of positional disorder of cylinders,the periodic scattering decreases,pathways are broken,and the focus image becomes blurred or disappears.

phononic crystal,negative refraction,disorder,multiple-scattering

＊中南大學(xué)博士后科學(xué)基金資助的課題.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn

＊Project supported by the Central South University Science Foundation for Post-doctoral Scientists of China.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn