董文山 黃寶歆

(濰坊學(xué)院物理與電子科學(xué)系,濰坊 261061)

廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性與Noether守恒量＊

董文山?黃寶歆

(濰坊學(xué)院物理與電子科學(xué)系,濰坊 261061)

(2008年10月26日收到;2009年3月24日收到修改稿)

研究廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性與Noether守恒量,建立Lie對稱性的確定方程、限制方程和附加限制方程,給出結(jié)構(gòu)方程和Noether守恒量的形式,研究Lie對稱性的逆問題,并舉算例說明結(jié)果的應(yīng)用.

廣義非完整力學(xué),Lie對稱性,守恒量

PACC:0320

1.引言

對稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則[1],利用對稱性尋求系統(tǒng)的守恒量是近代分析力學(xué)的重要研究方向.1979年,Lutzky[2]將Sophus Lie研究微分方程在無限小群變換下不變性的方法應(yīng)用于Lanrange力學(xué)系統(tǒng),得到了Noether型守恒量.其后, Lie對稱性方法發(fā)展迅速,被推廣到了各種力學(xué)系統(tǒng),取得了一系列重要成果[1,3—15].

受有廣義非完整約束的廣義經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為廣義非完整力學(xué)系統(tǒng).羅紹凱研究了系統(tǒng)的運(yùn)動方程,給出了系統(tǒng)的Poincaré-Chetaev積分變量關(guān)系和積分不變量[16],Li等研究了廣義非完整力學(xué)中奇異系統(tǒng)的Noether對稱性[17]和Poincaré-Chetaev積分不變量[18],陳立群給出了系統(tǒng)的Vacco動力學(xué)方程[19],本文將對稱性方法推廣至廣義非完整力學(xué)系統(tǒng),研究系統(tǒng)的Lie對稱性,給出系統(tǒng)的確定方程、結(jié)構(gòu)方程和Noether守恒量的形式,最后舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

2.系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程

研究自由度為n的廣義非完整力學(xué)系統(tǒng).假設(shè)系統(tǒng)的位形由廣義坐標(biāo)qi(i=1,…,n)確定,其運(yùn)動受有g(shù)個l階線性非完整約束

式中

在廣義復(fù)合導(dǎo)數(shù)空間,系統(tǒng)的虛位移滿足廣義非完整力學(xué)的Ч е т а е в定義[16]

按照Lagrange乘子法,系統(tǒng)的Routh方程為[16]

在方程(4)積分之前,可由方程(1),(3),(4)先求出約束乘子作為的函數(shù),于是方程(4)可表為下列相應(yīng)完整系統(tǒng)的形式:

Λi為廣義非完整約束反力,引入廣義動量和Hamilton函數(shù)

系統(tǒng)運(yùn)動方程可表為正則形式[16]

令[20,21]

則(1),(3)式中的fβ和(8)式中~Λi可表為

取

正則方程(8)可進(jìn)一步表為

與(16)式相對應(yīng)的逆變代數(shù)方程為

此處

其中

且

這里,0n×n是n階零矩陣,In×n是n階單位矩陣.因系統(tǒng)是非奇異的,由方程(17)可解出a·μ,記作

3.Lie對稱性的判據(jù)

引進(jìn)無限小單參數(shù)變換

在一級近似下,其展開式為

式中ε是無窮小參數(shù),具有一階小量,ξ0和ξμ為無限小單參數(shù)變換的生成元.取無限小變換的生成元向量

它的一次擴(kuò)展

根據(jù)微分方程不變性的判據(jù),在無窮小變換(24)式下,運(yùn)動微分方程(22)的不變性歸結(jié)為如下確定方程:

定義1 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27),則稱相應(yīng)的對稱性為與廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)相應(yīng)的廣義完整力學(xué)系統(tǒng)(6)的Lie對稱性.

廣義非完整約束(1)在變換(24)下的不變性歸為如下限制方程:

定義2 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)以及限制方程(28),則稱相應(yīng)的對稱性為廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)的弱Lie對稱性.

若考慮到廣義非完整力學(xué)的Ч е т а е в定義(3)對無限小生成元ξ0,ξμ的限制,則有

方程(29)稱為附加限制方程.

定義3 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),則稱相應(yīng)的對稱性為廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)的強(qiáng)Lie對稱性.

4.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程和Noether守恒量

對于廣義非完整力學(xué)系統(tǒng),Lie對稱性通過Noether對稱性可導(dǎo)致Noether守恒量.

定理1 對于廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)相應(yīng)的廣義完整力學(xué)系統(tǒng)(6),如果Lie對稱性的無限小生成元ξ0,ξμ和規(guī)范函數(shù)G t,a 滿足如下結(jié)構(gòu)方程:

則相應(yīng)的廣義完整力學(xué)系統(tǒng)(6)的Lie對稱性導(dǎo)致相應(yīng)廣義完整力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量.

定理2 如果生成元ξ0,ξμ是廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)的弱Lie對稱性生成元,且存在規(guī)范函滿足結(jié)構(gòu)方程(30),則廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)的弱Lie對稱性導(dǎo)致相應(yīng)完整系統(tǒng)的Noether守恒量(31).

定理3 如果生成元ξ0,ξμ是廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)的強(qiáng)Lie對稱性生成元,且存在規(guī)范函滿足結(jié)構(gòu)方程(30),則廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)的強(qiáng)Lie對稱性導(dǎo)致相應(yīng)完整系統(tǒng)的Noether守恒量(31).

證明

顯然,系統(tǒng)存在守恒量(31)式.

5.系統(tǒng)Lie對稱性的逆定理

首先由已知守恒量求出與其相應(yīng)的Noether對稱性.假設(shè)已知廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)(1),(4)有初積分

則有

將系統(tǒng)運(yùn)動方程(16)的兩端同乘以ξ—μ=ξμ-并對μ求和,得

將(33)與(34)式相加后,分離出含a·ν的項(xiàng),并令其系數(shù)為零,得到

由此解得

其中

令初積分(32)式等于Lie對稱性的守恒量(31)式,得

于是,在給定規(guī)范函數(shù)G的情況下,由方程(36)和(38)可求出生成元ξ0和ξμ,它們對應(yīng)系統(tǒng)(6)的 Noether對稱性.

其次,將所得對稱性生成元ξ0,ξμ代入對稱性確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),檢驗(yàn)此對稱性是否是Lie的.

定理4 如果由方程(36)和(38)確定的無限小生成元ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28)和附加限制方程(29),則對稱性為廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)的強(qiáng)Lie對稱性;如果ξ0,ξμ滿足確定方程(27)、限制方程(28),則對稱性為系統(tǒng)的弱Lie對稱性;如果ξ0,ξμ僅滿足確定方程(27),則對稱性是相應(yīng)廣義完整力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性.

6.算例

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的廣義Lagrange函數(shù)為

受廣義非完整約束

試研究系統(tǒng)的Lie對稱性和Noether守恒量.

首先,研究正問題.

令

系統(tǒng)的廣義動量和Hamilton函數(shù)為

由(8),(40)和(41)式,得

方程(17)和(18)給出Lie對稱性的確定方程(27)給出

Lie對稱性的限制方程(28)給出

由(45),(46)式可求得如下解:

將(47)式代入結(jié)構(gòu)方程(30),求得規(guī)范函數(shù)

(38)式給出系統(tǒng)的守恒量

其次,研究逆問題.

假設(shè)有積分(49),則由(36)和(38)兩式得

當(dāng)取

則有

容易驗(yàn)證,(52)式滿足確定方程(27)式和限制方程(28)式,因此,系統(tǒng)的對稱性為弱Lie對稱性.

7.結(jié)論

由于廣義非完整力學(xué)系統(tǒng)包容了廣義經(jīng)典力學(xué)和一階至高階非完整力學(xué),因此,本文的主要結(jié)果(27),(30)和(31)式具有普遍意義.對于不受約束的力學(xué)系統(tǒng),廣義非完整約束力為Λi=0,本文的結(jié)果蛻化為廣義經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果[21],對于不受非完整約束的非保守力學(xué)系統(tǒng),重新定義Λi為廣義非勢力則本文的主要結(jié)果與文獻(xiàn)[22]的主要結(jié)果相同.

[1]Mei F X 1999Appliications of Lie Groups and Lie Algebras to Constrained Mechanical Systems(Beijing:Science Press)p1(in Chinese)[梅鳳翔1999李群和李代數(shù)對約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用(北京:科學(xué)出版社)第1頁]

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PACC:0320

Lie symmetries and Noether conserved quantities of generalized nonholonomic mechanical systems＊

Dong Wen-Shan?Huang Bao-Xin

(College of Physics and Electranic Science,Weifang University,Weifang 261061,China)

26 October 2008;revised manuscript

24 March 2009)

In this paper we study the Lie symmetries and Noether conserved quantities of generalized nonholonomic mechanical systems,and establish the determining equations,the restriction equations and the additional restriction equations.The structure equation and the formof Noether conserved quantities are obtained.The inverse problems of Lie symmetries are discussed and an example to illustrate the application of the result is given.

generalized nonholonomic mechanics,Lie symmetries,conserved quantity

＊濰坊學(xué)院自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:2008Z03)資助的課題.

?E-mail:dongwenshan@126.com.

＊Project supported by the Natural Science Foundation of Weifang University,China(Grant No.2008Z03).

?E-mail:dongwenshan@126.com.