林丹玲

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)系，廣東 潮州 521041）

偶數(shù)階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

林丹玲

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)系，廣東 潮州 521041）

研究一類(lèi)非線(xiàn)性的偶數(shù)階中立型時(shí)滯微分方程，得到了該類(lèi)方程解振動(dòng)的幾個(gè)新的判別準(zhǔn)則，得到的結(jié)果推廣了已有文獻(xiàn)中的結(jié)果.

非線(xiàn)性；中立型；時(shí)滯微分方程；振動(dòng)

近年對(duì)中立型時(shí)滯微分方程振動(dòng)性的研究增長(zhǎng)很快[1-5]，然而已有文獻(xiàn)大多研究一階或二階的情況，對(duì)高階研究較少. 本文考慮如下一般形式的非線(xiàn)性偶數(shù)階中立型方程：

1 引理

引理 1[6]設(shè)u∈Cn([t,∞ ),(0,∞))，u(n)(t) ≤0不恒為零，則存在t≥t和整數(shù)l∈ {0,1,,n}，n+奇數(shù)，使對(duì)t≥t有u(k)(t)>0,0≤k≤l且(? 1)k+lu(k)(t) >0,l≤k≤n.

引理2[7]設(shè)引理1的條件成立，且u(n?1)(t)u(n)(t)≤0,t≥t，則存在常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得對(duì)充分大的t有

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)

H2）存在函數(shù)H(t,s)∈C′(D,R)及h(t,s)∈C(D,R)，其中D={(t,s)|t≥s≥t0}滿(mǎn)足

若存在常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得

則方程（1）的所有解振動(dòng).

證明假設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解x(t). 不失一般性，設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，則存在t1≥t0使得x(t)> 0,x(t?τ) >0,x[g(t)]>0,t≥t1.

則有y(t)≥x(t)>0,y(n)(t)≤0,t≥t. 由引理1，存在t≥t使得y′(t)>0,y(n?1)(t)>0,t≥t.

1212

由此可得，對(duì)于任意的t≥t2，有

對(duì)上式令t→∞，并取上極限得

與式（2）矛盾. 證畢.

定理2假設(shè)定理1中的條件H1）成立，如果存在常數(shù)m≥2和函數(shù)ρ(t)∈C′([t0,∞),(0, ∞))，使得

則方程（1）的所有解振動(dòng).

證明假設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解x(t). 不失一般性，設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，則由定理1證明中的式（7），有

令t→∞，并取上極限得：

則方程（1）的所有解振動(dòng).

證明假設(shè)方程（1）有非振動(dòng)解x(t). 不失一般性，設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，則由定理2的證明知存在t2≥t1≥t0及常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得當(dāng)t>u≥t2時(shí)有

令t→∞，取下極限，并由式（13）可得?(u)≤ρ(u)z(u),u≥t2，因此

則由式（10）可知

注意到式（13），有

在式（16）中令t→∞，取上極限，并使用式（17）可得

因此對(duì)充分大的n，有

另一方面，由Schwarz不等式得

令n→∞，并注意到式（19），得

與式（14）矛盾. 證畢.

[1]ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. New oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Appl Math Comput, 2006, 2(1/2): 99-118.

[2]ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. Oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Differential Equations, 2005, 134: 1-18.

[3]WANG Peiguang, GE Weigao. Certain of second differential inequality of neutral type [J]. Appl Math Letters, 2000, 13: 45-51.

[4]WANG Peiguang, WU Yonghong. Further results on differential inequality of a class of second order neutral type [J]. Tamkand Journal of Mathematics, 2004, 35(1): 43-51.

[5]師文英，王培光. 一類(lèi)二階中立型泛函微分方程的振動(dòng)性[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004, 34(3): 125-132.

[6]KIGURADZE I T. On the oscillation of solutions of the equationsgnu=0[J]. Mat Sb, 1964, 65: 172-187.

[7]PHILOS CH G. A new criterion for the oscillatory and asymptotic behavior of delay differential equations [J]. Bull Acad Pol Sci Ser Sci Mat, 1981, 39: 61-64.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Oscillation of Higher Order Neutral Delay Differential Equations

LIN Dan-ling
(Department of Mathematics and Information, Hanshan Teachers College, Chaozhou 521041, China)

The oscillatory criteria of even order nonlinear neutral delay differential equations are studied. The results obtained extend several results in known literature.

nonlinear; neutral; delay differential equation; oscillation

O175

A

1006-7302（2010）02-0006-46

2009-12-10

林丹玲（1963—），女，廣東揭陽(yáng)人，副教授，碩士，研究方向：泛函微分方程，E-mail:cjxldl@126.com.