項麗麗,唐榮榮

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

一類非線性初值問題的重正規(guī)化解＊

項麗麗,唐榮榮

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

利用重正規(guī)化方法,討論了一類非線性初值問題.先用直接展開法求得方程:y″+py-εky3=f(x,ε),y (0)=A,y′(0)=B的帶有長期項的解的漸近展開式,再用重正規(guī)化方法將所求解一致化,并將結果應用于文獻[9]所討論的問題,得到了文獻[9]中問題的其它形式的解.它們具有兩種不同的性態(tài),但在初值為x(0)=0,x′(0) =0時,它們又有共同的周期,從而豐富了文獻[9]中的相應結論.

非線性;重正規(guī)化;漸近展開式;初值

MSC 2000:34E15

0 引言

非線性Duffing方程是一類振動方程,它在物理和工程等領域中具有廣泛的應用.線性問題與非線性問題有著本質的區(qū)別,處理非線性問題的主要方法有近似解分析法、數(shù)值計算方法等.近年來,對于非線性振動的研究和應用已經(jīng)取得了不少顯著的成果.Nayfeh A H[1]、唐榮榮[2,3]、郝黎明等[4],曾利用攝動展開法,多尺度方法、匹配漸近展開法等解決了一些類型的非線性問題.

現(xiàn)行研究非線性振動問題的近似解法有如下幾種[5～8]:PL K法:包括基本攝動法、奇異攝動法(如頻率展開法、Poincare′、平均法、重正規(guī)化等);KBM法:這一類方法在非線性振動研究中又稱為漸近法;多尺度法:多尺度法的基本思想是將表示響應的展開式考慮成為多變量(或多個尺度)的函數(shù).此外還有其它解法,如直接變分法、閃頻變分法,以及以積分微分方程為基礎的方法.

在文獻[9]中,石晶等通過引入Ans?tz方法[10],討論了非線性軟彈簧作用下作自由振動的方程x″+得到了方程的解

我們知道,Ans?tz方法在偏微分方程中應用較多.石晶等是利用所討論方程的特殊性成功地得到了方程的解,考慮到0<ε?1時,石晶等得到的解是個大解,自然要問這個方程還有沒有其它形式的解.為探討這個方程,從數(shù)學上,我們首先研究比它更廣義的一類問題,然后用它的結果給出單自由度振動系統(tǒng)Duffing方程的其它形式的解.本文討論如下一類非線性的問題:

其中0<ε?1,p為任意常數(shù).函數(shù)f(x,ε)滿足如下條件:

[H1]f(x,ε)對x和ε均具有任意階連續(xù)導數(shù);

1 解的漸近展開式

1.1 解的直接展開式

設解的形式表達式為:

將(3)式代入(1)式和(2)式,得:

比較ε的同次冪系數(shù),有:

方程(5)的通解可以寫為:

將(9)式代入(7)式,并將非齊次項用Fourier級數(shù)表示,得:

對應于(7)式的齊次方程的通解可表示為:

式中a1和b1是任意常數(shù),由于方程(10)是線性的,我們可以利用迭加原理將它的特解表示為分別對應于三個非齊次項的三個特解之和,亦即可以通過求如下三個方程的特解,求得(10)的特解.

y″1+py1=的特解是:

y″1+py1=的特解是:

y″1+py1=的特解是:

由fi(x)=Aicosμix+Bisinμix可知,方程yi″+pyi=的特解一定可以確定.又因為μi≠所以方程的解必定不會產(chǎn)生長期項.所以(10)式的通解是:

由(9)式和(15)式,得出方程(1)如下形式的通解:

式中a0,b0,a1,b1,a2,b2是由初始條件(2)式確定的常數(shù),將(16)式代入(2)式得:

比較(17)、(18)式中的ε的同次冪系數(shù),可得:

ε0階

ε階

由(19)式和(20)式得:

類似地,可由(21)式和(22)式得出:

這樣,一旦從(23)式和(24)式得a0和b0,就可以從(25)式和(26)式中得a1與a2和b1與b2的關系.

注意到

式中a3cos b3=a1cos b1+a2cos b2,a3sin b3=a1sin b1+a2sin b2.考慮到

從(28)式和(29)式得出:

利用(27)、(30)式和(16)式,得:

1.2 解的重正規(guī)化

令t=τ+ω1τε+…=(1+ω1ε+…)τ=ωτ,那么(31)式變?yōu)?

由Taylo r級數(shù)展開,可得:

于是(32)式即為:

考慮到

那么

將(34)式代入(33)式,消去長期項,得原問題(1)-(2)的解:

2 結果應用

為了探究文獻[9]中的方程是否還存在其它形式的解,下面討論方程(1)的特殊形式.

例

以上(35)～(36)式即為(1)式中的p>0,k=1,f(x,ε)=0的情形.

由(31)式得出方程的解為:

式中a、b是由初始條件(36)式確定的常數(shù).

令

將(38)式代入(37)式,重正規(guī)(37)式,得到:

利用初始條件,有:

得出α2=x(0)2.因此得到:

當初始條件x(0)=0,x′(0)=0時,可確定所得解的周期為:

而文獻[9]中的方程所求解的周期為:

3 結論

(1)本文用重正規(guī)化方法討論了方程:y″+py-εky3=f(x,ε),y(0)=A,y′(0)=B,得出了它的漸近解的表達式:

(2)當方程y″+py-εky3=f(x,ε)中p>0,k=1,f(x,ε)=0時,就是文獻[9]中所討論的方程,我們得到的解與文獻[9]所得到的解是兩個形式完全不同的解,它們的性態(tài)差異很大,當ε是小量的時候,文獻[9]中的解是大解,而我們所求得的是更為一般的漸近解.本文的結果說明了文獻[9]中所討論的這種類型的方程除存在由文獻[9]得到的大解以外,還存在與大解具有完全不同性態(tài)的漸近解.

(3)在0<ε?1時,文[9]求得的是大解和用重正規(guī)法求得的漸近解有一個共同的特征,即在初始條件x(0)=0,x′(0)=0下,兩種類型的解具有相同的周期.

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Abstract:This paper,using the renormalization method,discusses a classof nonlinear initial value p roblem s.First,we obtain the asymp totic expansions of solution y″+py-εky3=f(x,ε),y(0)=A,y′(0)= B fo r the p roblem using the direct expansion method,and then use the reno rmalization method to confirm the solution for the p roblem,and finally app ly the resultsof this article for the p roblem that paper [9]has discussed,obtained the other fo rm s of solution fo r the p roblem of paper[9],they have two different behavio rs,but their solutions have common cycle w hen the initial value is x(0)=0,x′(0)=0,the correspondent results in paper[9]are popularized.

Key words:nonlinear;renormalization;asymp totic;initial value

MSC 2000:34E15

The Renormalization Solution for a Class of Nonlinear In itial Value Problem

XIANG Li-li,TANG Rong-rong
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O175.14

A

1009-1734(2010)02-0039-05

2010-03-10

國家特色專業(yè)建設點“數(shù)學與應用數(shù)學”資助;湖州師范學院高等教育研究項目(GJC10021,GJC10022).

項麗麗,湖州師范學院理學院2006級本科生,從事攝動理論研究.