楊永生, 趙梅

(蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院,江蘇蘇州,215011)

0 引言

信號(hào)與系統(tǒng)是電氣工程及其自動(dòng)化、電子信息科學(xué)與技術(shù)以及通信信息工程等專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程,對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)起到承前啟后的作用[1-6]。在《信號(hào)與系統(tǒng)》這門(mén)課程中,主要從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度分別來(lái)講授確定性信號(hào)和線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的分析方法。在分析線性系統(tǒng)過(guò)程中,知道卷積運(yùn)算將輸入信號(hào)、輸出信號(hào)以及沖激響應(yīng)三者之間聯(lián)系起來(lái),主要有時(shí)域和頻域兩種計(jì)算方法。在時(shí)域法中,涉及到信號(hào)的平移、反轉(zhuǎn)運(yùn)算以及沖激響應(yīng)的概念;而在頻域法中,涉及到信號(hào)的傅里葉變換和頻率響應(yīng)的概念。可以看出,卷積運(yùn)算將各種物理概念、分析方法以及知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地銜接起來(lái),是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的一個(gè)重要方面。但是,在筆者多年的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生需要一個(gè)強(qiáng)化的學(xué)習(xí)過(guò)程才能夠掌握卷積運(yùn)算。要想真正理解卷積的物理含義及其應(yīng)用,更是需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。為了能夠保證學(xué)生運(yùn)用卷積來(lái)解決工程實(shí)際問(wèn)題,需要掌握扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1 時(shí)域法求解卷積

對(duì)任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t),卷積的定義為：

為了方便起見(jiàn),通常記作：

其中,“*”表示卷積運(yùn)算。從式(1)可以看出,卷積是一種特殊的積分,它服從交換律、分配律和結(jié)合律。對(duì)信號(hào)來(lái)講,其物理含義是可將任意的信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)沖激信號(hào)之和,即：

根據(jù) LTI系統(tǒng)理論,若沖激響應(yīng)為 h(t),輸入信號(hào) f(t),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)為：

式(3)表明,輸出信號(hào)可表示為輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積。依據(jù)卷積的定義,可以看出,其計(jì)算步驟為,

① 將變量 t改為 τ,則信號(hào)的自變量為 τ,即 f1(τ)和f2(τ);

②將信號(hào) f2(τ)反轉(zhuǎn),并作平移運(yùn)算,其平移量為 t,得信號(hào) f2(t-τ);

③將信號(hào) f1(τ)與 f2(t-τ)相乘;

④對(duì)乘積項(xiàng)進(jìn)行積分,積分限為 [-∞,∞],即 f(t)=

需要注意的是,步驟②信號(hào)f2(t-τ)的平移量 t決定信號(hào) f1(τ)和信號(hào) f2(t-τ)之間是否有重疊區(qū)域,如果有重疊區(qū)域,那么要確定步驟④中的積分上、下限,然后進(jìn)行積分;如果沒(méi)有重疊區(qū)域,則卷積為零。由于兩信號(hào)在時(shí)間軸上的關(guān)系可分為部分重疊、完全重疊和無(wú)重疊三種情況,因此計(jì)算卷積的關(guān)鍵問(wèn)題是找出兩信號(hào)的重疊區(qū)域,確定積分上、下限。采用圖解法可以直觀地來(lái)說(shuō)明卷積運(yùn)算的全過(guò)程。對(duì)于兩個(gè)有限長(zhǎng)的信號(hào) f1(τ)和 f2(-τ),如圖 1所示。

圖 1 信號(hào) f1(τ)和 f2(-τ)

隨著平移量 t的不同,信號(hào) f2(t-τ)在時(shí)間軸 τ的位置變化情況如圖 2所示。當(dāng) t+t2＜t1時(shí),信號(hào) f2(t-τ)的前端還未進(jìn)入信號(hào) f1(τ)的末端,如圖 2(a)所示。此時(shí)兩信號(hào)沒(méi)有重疊區(qū)域,卷積為零。當(dāng) t+t2＜t1且 t+t3＜t1時(shí),信號(hào)f2(t-τ)的前端已進(jìn)入信號(hào) f1(τ)里,但信號(hào) f2(t-τ)的末端還在信號(hào) f1(τ)的外面,如圖 2(b)所示。此時(shí)兩信號(hào)是部分重疊,積分限為[t1,t+t2]。當(dāng) t+t3＞t1且 t+t2＜t0時(shí),信號(hào) f2(t-τ)全部進(jìn)入信號(hào) f1(τ)中,如圖 2(c)所示。此時(shí)信號(hào) f2(t-τ)完全進(jìn)入信號(hào) f1(τ)中,積分限為[t+t3,t+t2]。當(dāng) t+t3＜t0且 t+t2＞t0時(shí),信號(hào) f2(t-τ)的前端已部分移出信號(hào) f1(τ)中,如圖 2(d)所示。此時(shí)兩信號(hào)是部分重疊,積分限為[t+t3,t0]。當(dāng) t+t3＞t0時(shí),信號(hào) f2(t-τ)的末端已移出信號(hào) f1(τ),如圖 2(e)所示。此時(shí)兩信號(hào)沒(méi)有重疊區(qū)域,卷積為零。

2 頻域法求解卷積

圖 2 信號(hào)的卷積運(yùn)算

對(duì)任意兩個(gè)信號(hào) f1(t)和 f2(t),若信號(hào) f1(t)的Fourier變換記為 F1(jω),信號(hào) f2(t)Fourier變換記為 F2(jω),則

從式(5)可以看出,時(shí)域的卷積運(yùn)算與頻域的乘法運(yùn)算相對(duì)應(yīng)。眾所周知,FFT是Fourier變換的一種快速算法,其運(yùn)算量為logN。若信號(hào) f(t)和 f(t)長(zhǎng)度均為 N,則時(shí)域的212卷積運(yùn)算量為 N2,而采用 FFT計(jì)算,其總的運(yùn)算量為 2N+3Nlog2(2N)。表 1為時(shí)域法和頻域法卷積運(yùn)算量的比較。當(dāng)N較大時(shí),頻域法的運(yùn)算效率可提高一個(gè)數(shù)量級(jí)。

在分析 LTI系統(tǒng)時(shí),結(jié)合式(4)和式(5),LTI系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：

式(6)是LTI系統(tǒng)的頻域分析方法的理論依據(jù),在濾波器的設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)的分析以及無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)确矫鎻V泛應(yīng)用。

表 1 時(shí)域法和頻域法卷積運(yùn)算量的比較

3 結(jié)語(yǔ)

分析了時(shí)域法和頻域法計(jì)算卷積的特點(diǎn),并運(yùn)用圖示方法闡述時(shí)域法計(jì)算卷積積分的全過(guò)程,這有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。但在實(shí)際工程中,由于該方法運(yùn)算效率較低而未廣泛采用,通常采用Fourier變換的方法來(lái)提高其運(yùn)算效率。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)講,激勵(lì)信號(hào)、沖激響應(yīng)以及輸出信號(hào)是通過(guò)卷積運(yùn)算相聯(lián)系的。而在雷達(dá)和通信領(lǐng)域中的盲源分離、系統(tǒng)辨識(shí)以及信號(hào)估計(jì)等問(wèn)題常遇到的是時(shí)變系統(tǒng),因此快速解卷積算法需要進(jìn)一步的研究。

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