張永鋒

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610064)

0 引言

在目標(biāo)跟蹤或動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域中,非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)越來越得到人們的青眛。中將數(shù)據(jù)融合方法運(yùn)用于機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)中[1],使用傳統(tǒng)的方法處理了估計(jì)及濾波設(shè)計(jì)問題[2-3],文獻(xiàn)[4]中也使用了最小二乘的方法,但主要思想是基于泰勒展式對(duì)非線性系統(tǒng)的線性化,如擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[5-6],但對(duì)高度非線性的系統(tǒng),用(EKF)的效果不是十分好,還有一些使用統(tǒng)計(jì)技術(shù)的方法,如文獻(xiàn)[7]中通過選取樣本粒子去離散化非線性系統(tǒng),然后基于選取的粒子去濾波,如無味濾波,粒子濾波等,遺憾的是這些方法的計(jì)算復(fù)雜度非常大,不適于實(shí)時(shí)的目標(biāo)跟蹤。最近幾十年來,有控制系統(tǒng)領(lǐng)域的學(xué)者提出用模糊推理方法對(duì)非線性系統(tǒng)建模逼近去找狀態(tài)估計(jì)[8],其中最著名的有 T.Takagi和 M.Sugeno提出的模糊規(guī)則逼近模型(T-S模型)。

將模糊推理理論與Kalman濾波結(jié)合,提出一種對(duì)非線性系統(tǒng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的新方法。這個(gè)方法的主要思想是：①用局部狀態(tài)空間模型族表示一個(gè)模糊系統(tǒng);②對(duì)每個(gè)局部狀態(tài)系統(tǒng)濾波得到局部狀態(tài)估計(jì);③從這對(duì) m個(gè)局部狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行模糊線性組合,并進(jìn)行加權(quán)優(yōu)化處理得到全局估計(jì)。能夠證明這樣構(gòu)造的全局狀態(tài)估計(jì)是一個(gè)無偏的,且穩(wěn)定的。在給出的貨車 -拖車仿真實(shí)驗(yàn)中,用此方法與一般的EKF方法進(jìn)行了比較,驗(yàn)證了用T-S模型規(guī)則推理方法得到的估計(jì)值的有效性,并給出一些分析的結(jié)果。

1 問題闡述

一個(gè)非線性函數(shù)可以用一族線性函數(shù)去逼近,同樣,對(duì)任意一個(gè)非線性系統(tǒng)可以用下面的 m個(gè)模糊規(guī)則表示的線性系統(tǒng)去逼近它。

其中：

因?yàn)閦k是xk或uk的非線性函數(shù),用上式表示的系統(tǒng)是時(shí)變的非線性系統(tǒng),為了對(duì)每個(gè)局部的線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),可以構(gòu)造出每個(gè)局部系統(tǒng)的狀態(tài) xi(k)與輸出yi(k)如下：

定理 1 由式(3)定義的狀態(tài)xi(k)與 yi(k)的狀態(tài)方程可用下面的系統(tǒng)來表示：

把式(3)定義的矩陣代入式(5)得到：

式(6)是式(1)描述的全局系統(tǒng)的狀態(tài)模型,因此式(4)式描述的是狀態(tài)xk的動(dòng)態(tài)行為。用同樣的方法可以證明觀測(cè)方程的情形。

2 模糊系統(tǒng)卡爾曼濾波

卡爾曼濾波的理論的發(fā)展已經(jīng)很成熟了,下面給出經(jīng)過修正的模糊線性系統(tǒng)的模糊卡爾曼濾波公式。模糊卡爾曼濾波方程與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程不同的是式(4)表示的是個(gè)模糊的系統(tǒng),經(jīng)過下面的濾波公式,得到局部的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì) ,利用這個(gè)局部的估計(jì)得到一個(gè)所表示的全局模型系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)每個(gè)時(shí)間步,模糊卡爾曼濾波為：

有了 m個(gè)局部估計(jì) x1[k],x2[k],…,xn[k],就可得到一個(gè)無偏估計(jì) x?k|k=Pk|kXk其中 ：

因?yàn)閷?duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)用T-S模糊規(guī)則的方法得到了一個(gè)全局的狀態(tài)估計(jì)為：x?k|k=Pk|kXk是對(duì) x的線性無偏估計(jì)中,這是因?yàn)槊總€(gè)局部的估計(jì)是線性無偏的,全局估計(jì)是它們的一個(gè)加權(quán)和形式,根據(jù)矩陣論的理論,如此構(gòu)造的全局估計(jì)仍具有無偏性,在后面的仿真實(shí)驗(yàn)中,可以看到在解決高度非線性問題是時(shí),EKF的性能并不是十分好,但用現(xiàn)提出的基于T-S模型的規(guī)則推理得到的估計(jì)可以表現(xiàn)出良好的性能,因此用現(xiàn)提出的方法處理非線性系統(tǒng)具有一定的實(shí)際可行性.

3 仿真與計(jì)算

在文獻(xiàn)[9]中考慮尋求非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制時(shí)提出了下面表述的貨車-拖車系統(tǒng),由于此系統(tǒng)涉及到貨車與拖車的角度信息,所以具有高度的非線性,用EKF方法去估計(jì)系統(tǒng)的角度信息表現(xiàn)出的性能不是很好,下面用這里提出的基于T-S模糊模型的方法處理該系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題,并將于EKF方法進(jìn)行比較

其中,x0(k)是貨車的方向角,x2(k)是拖車方向角,x3(k)是拖車尾部縱向位置,x4(k)是拖車尾部水平位置,uk是轉(zhuǎn)向角.l是貨車的長(zhǎng)度,L是拖車的長(zhǎng)度,T是采樣時(shí)間,v是恒定的倒退速度,在仿真實(shí)驗(yàn)中取L=5.5m,t=0.05 s,l=2.8 m,v=-1.0m/s。對(duì)于式(8)描述的非線性系統(tǒng),利用 T-S模糊規(guī)則理論,可以將它用下面的可加噪聲的模型來表示：

圖 1EKF方法貨車方向角誤差

圖 2 T-S方法貨車方向角誤差

4 結(jié)語

本文利用可加性噪聲的T-S模糊規(guī)則對(duì)非線性系統(tǒng)給出了一個(gè)狀態(tài)估計(jì),是無偏的并且在線性最小誤差方差意義下最優(yōu)估計(jì),仿真的結(jié)果表明用基于 T-S的模糊規(guī)則與EKF結(jié)合的方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)能取的良好的效果,并且能表現(xiàn)出很好的穩(wěn)健性。

[1]趙海,王光興,數(shù)據(jù)融合論在機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].[EB/OL].(2010-03-01)[1995-03-01].http：//www.cnki.com.

[2]徐自勵(lì),華偉,王一揚(yáng).多窗譜估計(jì)法估計(jì)相干函數(shù)的雙端語音檢測(cè)[J].通信技術(shù),2007,40(05)：75-76.

[3]安勇,牟容增,陳家國(guó),等.基于多級(jí)內(nèi)插的基帶信號(hào)成形濾波設(shè)計(jì)[J].通信技術(shù),2008,41(05)：4-6.

[4]崔健陳洪 張爾揚(yáng) .一種 MC-CDMA最小二乘信道估計(jì)的改進(jìn)算法[J].通信技術(shù),2008,41(07)：112-114.

[5]BOZIC S.Digital,Kalman Filtering[M].USA：Halsted Press,1994.

[6]TAKAGI T,SUGENOM.Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling Andcontrol[J].IEEETrans Syst.Man Cybernetics SMC,1985,15(01)：116-132.

[7]PARIZ N.A Robust Fuzzy Model Following Observer‐Based Control Design for Nonlinear System[J].USA：IEEE,2006：5040-5043.

[8]CHEN G,WANG J,SHIEH L.Interval Kalman filter[J].IEEE Trans.Aerosp.Electron.Syst,1997(33)：250-259.

[9]CHEN G,XIE Q,SHIEH L.Fuzzy Kalman filtering[J].Inf.sci,1998(109)：197-209.