張 松

（成都電子機(jī)械高等?？茖W(xué)校通信系，四川 成都 610031）

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算是整數(shù)階微積分運(yùn)算概念的延伸，分?jǐn)?shù)階運(yùn)算包括分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換等，它們是分析和處理許多“非”問題和現(xiàn)象(比如非線性、非因果、非最小相位、非高斯、非平穩(wěn)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、混沌等)的有用工具[1]。該問題曾被許多大數(shù)學(xué)家，如Leibniz、Euler、Liouville等研究過，但是把微積分的階次推廣到分?jǐn)?shù)甚至復(fù)數(shù)領(lǐng)域，因其計(jì)算復(fù)雜，過去只是數(shù)學(xué)家研究的對(duì)象。隨著信息科學(xué)的迅猛發(fā)展,分?jǐn)?shù)微積分的應(yīng)用也已逐漸滲透到許多工程應(yīng)用領(lǐng)域, 如各種材資的記憶、力學(xué)和電特性描述、粘彈性阻尼器、分形理論等。分?jǐn)?shù)階運(yùn)算在很多問題的處理過程中所擁有的整數(shù)階運(yùn)算無可比擬的優(yōu)點(diǎn)正逐漸顯露出來[2]。

數(shù)學(xué)家們從各自不同的角度入手，給出了分?jǐn)?shù)階微積分不同的定義，如GL(Gainwald—Letnikov)定義、RL(Riernarm—Liouville)定義、Caputo定義等。

從信號(hào)處理角度出發(fā)，考慮分?jǐn)?shù)演算的頻率域定義為[3]：對(duì)于可微的信號(hào)f(t)，其傅立葉變換為，即其中v為分?jǐn)?shù)演算的階數(shù)（0＜v＜1），可得到分?jǐn)?shù)演算算子在頻域的指數(shù)形式為

將該定義應(yīng)用到拉普拉斯變換，即 f( t) ? F( S),則將 Sv定義為拉氏分?jǐn)?shù)演算算子。

拉氏分?jǐn)?shù)演算算子的電路實(shí)現(xiàn)將為分?jǐn)?shù)階微積分的工程應(yīng)用鋪平道路。一些研究者提出了一些實(shí)現(xiàn)方法，但這些方法都存在著不同的缺陷。例如：階數(shù)限制于1/2階，其它階數(shù)不易實(shí)現(xiàn)[4]。分抗元件由局部和整體具有高度自相似的分形電路實(shí)現(xiàn)，電路元件為無窮多個(gè)，不利于集成化。

為此,在參考文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一款任意階分抗元件，給出其具體設(shè)計(jì)步驟，并利用該分抗元件可獲得信號(hào)的任意分?jǐn)?shù)階微分或積分信號(hào)，通過仿真驗(yàn)證了本設(shè)計(jì)的正確性。

1 分?jǐn)?shù)階函數(shù)（Sν）的逼近

定義每一級(jí)雙線性級(jí)聯(lián)函數(shù)如式（3）所示，將其定義為分?jǐn)?shù)階函數(shù)的基本模塊函數(shù)。

假設(shè)待實(shí)現(xiàn)的分抗階數(shù)為ν=1/3，待逼近的頻率段為（ ΩL,ΩH），其中 ΩL= 2πrad/s,ΩH= 2π ? 106rad/s ，在該頻率段內(nèi)允許的最大逼近誤差為 εmax= 0 .3 d B ，那么如何實(shí)現(xiàn)呢？

⑤令 Ci= β-i+k/Ωo，可得 Ci如下：

圖1 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性

2 可變階次分抗元件的電路實(shí)現(xiàn)

圖2 由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成的基本模塊函數(shù)

由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特性，可得電阻、電容參數(shù)的設(shè)計(jì)如式（4）所示：

3 電路仿真結(jié)果

根據(jù)式（2）和式（4）得到其1/3階分抗元件，將如圖2所示的7級(jí)電路級(jí)聯(lián)，其電路如圖3所示[8]。

按照式（4）計(jì)算相應(yīng)的電容電阻值，此處選擇電容在nF或pF范圍內(nèi)，電阻為1 kΩ到1 MΩ之間，運(yùn)放選用NE5532，通過Pspice仿真，得到其對(duì)應(yīng)的幅頻和相頻特性如圖4所示。將圖4和圖1比較可知，其電路仿真結(jié)果和理論值基本符合。

圖3 1/3階分抗元件電路

圖4 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性

4 結(jié)語

近年來,分?jǐn)?shù)階微積理論成為人們關(guān)注的重要課題，如何將分?jǐn)?shù)階運(yùn)算從理論走向各應(yīng)用領(lǐng)域，分抗元件的實(shí)現(xiàn)是非常重要的環(huán)節(jié)。利用線性電路完成了可變階次的分抗元件的設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)和實(shí)際制作結(jié)果逼近理論值，設(shè)計(jì)電路簡單，容易集成，可根據(jù)工程應(yīng)用需要生產(chǎn)不同類型的分?jǐn)?shù)階芯片，對(duì)工程設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

[1] 袁曉,張紅雨,虞厥邦.分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)字微分器設(shè)計(jì)[J].電子學(xué)報(bào),2004(32)：1658-166.

[2] OLDHAM K B, SPANIER J. The Fractional Calculus[M]. New York and London： Academic Press,1974.

[3] 袁曉,陳向東,李齊良,等.微分算子與子波構(gòu)造[J].電子學(xué)報(bào),2002(30)：769-773.

[4] 廖科,袁曉,蒲亦非,等. 1/2階分?jǐn)?shù)演算的模擬OTA電路實(shí)現(xiàn)[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：工程科學(xué)版,2005(37)：150-154.

[5] HISANO T.A Realization of SαTransfer Function[J].Proc.IEICE Fall Conf’.,1992(A-26)：92．

[6] [美] 奧本海姆 A Y,謝弗 R W,巴克 J R.離散時(shí)間信號(hào)處理[M]．第2版.劉樹棠，黃建國,譯．西安：西安交通大學(xué)出版社，2005：171-180.

[7] [美]賽爾吉?dú)W.佛朗哥.基于運(yùn)算放大器和模擬集成電路的電路設(shè)計(jì)[M]．第3版.劉樹棠，朱茂林，榮玫,譯．西安：西安交通大學(xué)出版社，2004：310-345.

[8] 熊偉,侯傳教,梁青,等．Multisim7電路設(shè)計(jì)及仿真應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：247-251.