張 松
(成都電子機(jī)械高等專科學(xué)校通信系,四川 成都 610031)
分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算是整數(shù)階微積分運(yùn)算概念的延伸,分?jǐn)?shù)階運(yùn)算包括分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換等,它們是分析和處理許多“非”問(wèn)題和現(xiàn)象(比如非線性、非因果、非最小相位、非高斯、非平穩(wěn)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、混沌等)的有用工具[1]。該問(wèn)題曾被許多大數(shù)學(xué)家,如Leibniz、Euler、Liouville等研究過(guò),但是把微積分的階次推廣到分?jǐn)?shù)甚至復(fù)數(shù)領(lǐng)域,因其計(jì)算復(fù)雜,過(guò)去只是數(shù)學(xué)家研究的對(duì)象。隨著信息科學(xué)的迅猛發(fā)展,分?jǐn)?shù)微積分的應(yīng)用也已逐漸滲透到許多工程應(yīng)用領(lǐng)域, 如各種材資的記憶、力學(xué)和電特性描述、粘彈性阻尼器、分形理論等。分?jǐn)?shù)階運(yùn)算在很多問(wèn)題的處理過(guò)程中所擁有的整數(shù)階運(yùn)算無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)正逐漸顯露出來(lái)[2]。
數(shù)學(xué)家們從各自不同的角度入手,給出了分?jǐn)?shù)階微積分不同的定義,如GL(Gainwald—Letnikov)定義、RL(Riernarm—Liouville)定義、Caputo定義等。
從信號(hào)處理角度出發(fā),考慮分?jǐn)?shù)演算的頻率域定義為[3]:對(duì)于可微的信號(hào)f(t),其傅立葉變換為,即其中v為分?jǐn)?shù)演算的階數(shù)(0<v<1),可得到分?jǐn)?shù)演算算子在頻域的指數(shù)形式為
將該定義應(yīng)用到拉普拉斯變換,即 f( t) ? F( S),則將 Sv定義為拉氏分?jǐn)?shù)演算算子。
拉氏分?jǐn)?shù)演算算子的電路實(shí)現(xiàn)將為分?jǐn)?shù)階微積分的工程應(yīng)用鋪平道路。一些研究者提出了一些實(shí)現(xiàn)方法,但這些方法都存在著不同的缺陷。例如:階數(shù)限制于1/2階,其它階數(shù)不易實(shí)現(xiàn)[4]。分抗元件由局部和整體具有高度自相似的分形電路實(shí)現(xiàn),電路元件為無(wú)窮多個(gè),不利于集成化。
為此,在參考文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一款任意階分抗元件,給出其具體設(shè)計(jì)步驟,并利用該分抗元件可獲得信號(hào)的任意分?jǐn)?shù)階微分或積分信號(hào),通過(guò)仿真驗(yàn)證了本設(shè)計(jì)的正確性。
定義每一級(jí)雙線性級(jí)聯(lián)函數(shù)如式(3)所示,將其定義為分?jǐn)?shù)階函數(shù)的基本模塊函數(shù)。
假設(shè)待實(shí)現(xiàn)的分抗階數(shù)為ν=1/3,待逼近的頻率段為( ΩL,ΩH),其中 ΩL= 2πrad/s,ΩH= 2π ? 106rad/s ,在該頻率段內(nèi)允許的最大逼近誤差為 εmax= 0 .3 d B ,那么如何實(shí)現(xiàn)呢?
⑤令 Ci= β-i+k/Ωo,可得 Ci如下:
圖1 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性
圖2 由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成的基本模塊函數(shù)
由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特性,可得電阻、電容參數(shù)的設(shè)計(jì)如式(4)所示:
根據(jù)式(2)和式(4)得到其1/3階分抗元件,將如圖2所示的7級(jí)電路級(jí)聯(lián),其電路如圖3所示[8]。
按照式(4)計(jì)算相應(yīng)的電容電阻值,此處選擇電容在nF或pF范圍內(nèi),電阻為1 kΩ到1 MΩ之間,運(yùn)放選用NE5532,通過(guò)Pspice仿真,得到其對(duì)應(yīng)的幅頻和相頻特性如圖4所示。將圖4和圖1比較可知,其電路仿真結(jié)果和理論值基本符合。
圖3 1/3階分抗元件電路
圖4 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性
近年來(lái),分?jǐn)?shù)階微積理論成為人們關(guān)注的重要課題,如何將分?jǐn)?shù)階運(yùn)算從理論走向各應(yīng)用領(lǐng)域,分抗元件的實(shí)現(xiàn)是非常重要的環(huán)節(jié)。利用線性電路完成了可變階次的分抗元件的設(shè)計(jì),其設(shè)計(jì)和實(shí)際制作結(jié)果逼近理論值,設(shè)計(jì)電路簡(jiǎn)單,容易集成,可根據(jù)工程應(yīng)用需要生產(chǎn)不同類型的分?jǐn)?shù)階芯片,對(duì)工程設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。
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