王 超,樸大雄

(中國海洋大學數學科學學院,山東青島266100)

時間周期Hamilton-Jacobi方程漸近解的表達式

王 超,樸大雄

(中國海洋大學數學科學學院,山東青島266100)

本文研究時間周期Hamilton-Jacobi方程的長時間漸近解。通過給出時間周期情形下的Aubry集的定義,得到2個周期漸近解的表達式。

表達式;Hamilton-Jacobi方程;漸近解;Aubry集

0 引言

設M為n維光滑無邊緊流形,考慮下面的時間周期Hamilton-Jacobi方程的Cauchy問題

其中Hamilton函數H(t,x,p)滿足下列假設:

(A1)H(t,x,p)∈C(R×M×Rn);

(A2)對于所有的(t,x)∈R×M,H(t,x,p)關于p是嚴格凸的;

(A3)H(t,x,p)是強制的,即對任意R>0,

(A4)H(t,x,p)關于t是以T為周期的,不失一般性假設T=1,即

另外還假設

(A5)u0∈C(M)。

本文研究Cauchy問題(1)的長時間漸近解的表達式。如果存在連續(xù)函數v(x,t)=φ(x,t)-λt,使得

在M上一致成立,則v(x,t)稱為方程的漸近解。這里λ∈R,u(x,t)是Cauchy問題(1)的解,φ(x,t)是方程ut+H(t,x,Du)=0關于t以1為周期的解。

對于自治Hamilton-Jacobi方程解的長時間漸近性態(tài)問題,Namah和Roquejoffre在文獻[1]中運用了PDE方法,Fathi在文獻[2]中運用了動力學方法,他們分別得到了關于解收斂的充分條件。而對于時間周期Hamilton-Jacobi方程的研究相對較少,Bernard和Roquejoffre在文獻[3]及Roquejoffre在文獻[4]給出了時間周期Hamilton-Jacobi方程解收斂到周期解即(2)式成立的充分條件,但其周期漸近解目前還沒有相應的表達式。本文借鑒Ishii[5]和Mitake[6]關于自治Hamilton-Jacobi方程的研究方法,通過定義時間周期Hamilton-Jacobi方程的Aubry集,給出了2個周期漸近解的表達式。

文中提到的方程的解均為粘性解,關于粘性解的基本知識可參見文獻[7-8]。

在假設(A1)-(A5)下,Cauchy問題(1)的粘性解是存在且唯一的。

1 預備知識

本文需要用到以下幾個引理。

引理1[4]存在唯一的λ∈R,使得方程

ut+H(t,x,Du)+λ=0,x∈M

存在周期解。

由此可以唯一確定周期傳播波的速度λ,從而能通過以H-λ代替Hamilton算子H而假設λ=0,這樣本文只需討論方程

用AC([0,t];M)表示所有絕對連續(xù)函數γ:[0,t]→M的全體,則由文獻[4]可知,方程(3)的解可以表示為

引理2 設w(x,t)∈C(M×[0,∞)),wt+H(t,x, Dw)≤0。令a,b∈R且0≤a

證明 由文獻[7]可知φ(x,t)是方程(3)的粘性上解。又由Barron和Jenson[9]得到φ(x,t)同樣是方程(3)的粘性下解,因此φ(x,t)是方程的粘性解。

這個引理說明方程(3)的周期解是存在的。文獻[3-4]證明了φ(x,t)即為周期漸近解,本文后面將給出φ(x,t)的2個表達式。

下面是Cauchy問題(1)的一個比較定理。

引理4[7-8]設Ω是M中的開子集,假設u∈USC(ˉΩ× [0,T))和v∈LSC(ˉΩ×[0,T))分別是方程ut+H(t, x,Du)=0在Ω×[0,∞)上的下解和上解。若在(ˉΩ× {0})∪(?Ω×[0,T))上滿足u≤v,則在ˉΩ×[0,T)上有u≤v成立。

這里USC(Ω×[0,T))和LSC(Ω×[0,T))分別表示Ω×[0,T)上的上半連續(xù)和下半連續(xù)函數。

2 定理及其證明

下面給出周期Hamilton-Jacobi方程投影Aubry集的定義。

定義1 AH?:={y∈M|d?H(·,y)是H?(x,Du)=0在M上的粘性解}。

由文獻[10]可知,AH?是M中的非空閉子集。首先證明A?H上的比較原理。

命題1 假設u,v∈C(M×[0,∞))分別是方程ut+ H(t,x,Du)=0在M×[0,∞)上的下解和上解。對任意T>0,如果在A?H×[0,t)上有u≤v,則在M×[0, T)上也有u≤v。

證明 假設存在(x0,t0)∈(MAH?)×[0,T),使得在(x0,t0)處滿足u>v。令ε0=(u-v)(x0,t0)。選出A?H的1個緊鄰域V,使得(x0,t0)∈(MV)×[0,T)且對所有的(x,t)∈V×[0,T),u(x,t)-≤v(x,t)。由文獻[10]中Aubry集的性質,存在函數ψ∈C(M)和常數δ>0,使得在(MV)×[0,T)上有H(t,x,Dψ(x))≤-δ,且H(t,x,Dψ(x))≤0在M×[0,T)上幾乎處處成立。

的w∈C(M×[0,∞))的集合。由引理3方程周期解的存在性,E-(u0)和E(ψ-(x,0))非空,且由文獻[5]可知w在M×[0,∞)上是有界的,于是ψ-和ψ∞的定義是合理的。

定理2 對所有的(x,t)∈M×[0,∞),ψ-(x,t)=

由粘性解的理論有u0-(x,t)∈E-(u0),因此得到u0-(x,t)≤ψ-(x,t)對所有的(x,t)∈M×[0,∞)成立。任給v∈E-(u0),γ∈AC([0,t];M),γ(t)=x,則由引理2,有

任給ε>0,則存在vε∈E(ψ-(x,0))使得在M× [0,∞)上ψ∞(x,t)+ε>vε(x,t)。由引理4,在M×[0,∞)上有vε(x,t)≥ψ-(x,t)。由ε的任意性,ψ∞(x,t)≥ψ-(x,t)。因此對(x,t)∈M×[0,∞),n∈N有ψ∞(x,t)=ψ∞(x,t+n)≥ψ-(x,t+n)=u0-(x,t+n)。令n→∞,得到ψ∞(x,t)≥φ(x,t)。于是在M×[0,∞)上,ψ∞(x,t)=φ(x,t)。

[1] Namah G,Roquejoffre J M.Remarks on the long time behaviour of the solutions of Hamilton-Jacobi equations[J].Comm Partial Differential Equations,1999,24(5-6):883-893.

[2] Fathi A.Sur la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik[J].C R Acad Sci Paris Sér I Math,1998,327(3):267-270.

[3] Bernard P,Roquejoffre J M.Convergence to time-periodic solutions in time periodic Hamilton-Jacobi equations on the circle[J]. Comm Partial Differential Equations,2004,29(3-4):457-469.

[4] Roquejoffre J M.Convergence to steady states or periodic solutions in a class of Hamilton-Jacobi equations[J].J Math Pures Appl,2001,80(1):85-104.

[5] Ishii H.Asymptotic solutions for large time of Hamilton-Jacobi equations in Euclideannspace[J].Ann Inst H PoincaréAnal Non Linéaire,2008,25(2):231-266.

[6] Mitake H.Large time behavior of solutions of the Cauchy-Dirichletproblem for Hamilton-Jacobi equations with periodic boundary data [J].Nonlinear Analysis,2009,71(11):5392-5405.

[7] Barles G.Solutions de viscosit des quations de Hamilton-Jacobi [M].Paris:Springer-Verlag,1994.

[8] Lions P L.Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations[M]. London:Pitman,1982.

[9] Barron E N,Jensen R.Semicontinuous viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations with convex Hamiltonians[J].Comm Partial Differential Equations,1990,15(12):1713-1742.

[10] Fathi A,Siconolfi A.PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasiconvex Hamiltonians[J].Calc Var Partial Differential E-quations,2005,22(2):185-228.

Abstract: This paper studies the asymptotic solutions of time periodic Hamilton-Jacobi equations.Two representation formulas for the time periodic asymptotic solutions are obtained through Aubry set of time periodic cases.

Key words: representation formulas;Hamilton-Jacobi equations;asymptotic solutions;Aubry set

AMS Subject Classifications: 35C99,35F25

責任編輯 朱寶象

Representation Formulas for the Asymptotic Solutions of Time Periodic Hamilton-Jacobi Equations

WANG Chao,PIAO Da-Xiong
(School of Mathematical Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O175.29

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-239-04

2010-01-03;

2010-04-28

王超(1985-),男,碩士生。E-mail:wangchaomath@126.com